SA

co5B = Rx

aABxBC

xLvi. Soient A, B, C, les trois angles d'un, triangle ^^elcone[ue; a, b, c, les côtés qui leur sont respectivement opposés , on aura , suivant cette dernière*

374 TRIGONOMSTRIB

proposition cos B = R.— — — . Le même pnncipi

étant appliqué à chacun des deux autres angles , don-

nera semblablement cos A == R. ; — -. , cw C

Ces 'trois formules suffisent seules' pour résoudre tons les problèmes de la trigonométrie rcctiligne ; car^étariltis données trois des six quantités A. ^B y C^ a, b, c, oui ftt m ces formules les équations nécessaires pour déterminer ki trois autres. Il faut par conséquent que les principes ë^ ei posés , et ceux qu'on pourrait leur ajouter ^ ne soient qu'une conséquence de ces trois formules principales.

En effet , la valeur de cos B donne. •.••.•••.••

sin* B=R'— co*' B=:R'.-! !^— ï- ^=— r:

4 a* c' 4flV

(2a*è' + 2«*c*-f-2ft*c'— ^ï* — 6* — c*); donc

sinB K ^ , , , ,, ,,

b 2 abc

Le second membre étant une fonction de a, 6, c,àm

laquelle ces trois lettres entrent toutes également ^ il at

clair qu'oâ peut faire la permutation de deux de ces lettiti | *

, . . sin B sïn A sîn C . I ^

a volonté, et qu amsi on aura — - — z=. z= , ccqa

bac

est le principe du n** xLiy. Et de celuirci se déduiraiot facilement les principes des n»» xlii et xliii«

XL VII. Dans tout triangle rectiligne la somnte de deux côtés est à leur différence y comme l^ tangente de la demi-somme des angles opposés à ces côtés y est à la tangente de la demidiffirence de ces mêmes angles.

f'g4et5. Car de la proportion AB : AC :: stn C : sin B,oii trie AG -h AB : AC — AB : : sin B -f- sin C : sin B — m C

mBCTILIGNX. / 373

^■iSAis^ d'après les formules de l'art, xxix^ bii a

; B+C B— C ^ sin B+sin C : sin B — sin C * : tang — — : tang j

fîilionc

B— I— P B— "C AC-f-AB : AC— AB :: tang — — : tang-^ ;

ce qui est le principe énoncé.

Avec ce petit nombre de principes , on est en ^tat de résoudre tous les cas de la trigonométrie srectiligne.

^ Résolution des triangles rectangles.

• xiiVni. Soit A l'angle droit d'un triangle rectangle proposé^ B et C les deux autres angles; soit a l'hypoténuse , b le côté opposé à l'angle B , et c le côté opposé à l'angle C. Il faudra se rappeler que les deux angles B et C sont complémentis l'un de l'autre , et qu'ainsi , suivant les différents cas , on peut prendre j//i C=zcos B, sin B=cos C, et pareillement long B=:cot Cy tang C=co^ B. Cela posé , les différents problêmes qu'on peut avoit* à résoudre sur les triangles rectangles se réduiront toujours aux ijuatre cas suivants.

PREMIER CAS

- xLTx. Etant donnés V hypoténuse a et un coté b , trouver le troisième côté et les deux angles aigus.

Pour déterminer l'angle B, on a la proportion* *xlhj 4» : A : : R : sin B. Connaissant l'angle B , on connaîtra en même temps son complément ioo<> — B=C; ort pourrait aussi avoir C directement par la proportio» uib ::B. :cos C.

Quant auL: troisième côté c^ il peut se trouver d*

37 T&IGOirOWSTBIS

deux manières. Après avoir trouve Tangle B^oilfi *'xLxzi. peut faire la proportion* R : cot B :: & : c, qui doo-li nera la valeur de c; ou bien on peut tirer directe* T ment la valeur de c^ de Téquation c*=a* — b^ fi donne c=l/ (a' — A') , et par conséquent

logcz=z\log{a+b)+^log{a—b).

DSUXIBMB CAS.

L. Etant donnés les deux côtés h et c de Vnn^ droit , trouver Vhypoténuse a et les angles,

*%Lxn, O^ 2L\xv2i Tangle B par la proportion* c : i :: R: |t umg B. Ensuite on aura G=ioo^ — B. On troaTerait aussi C directement par la proportion i : c ::; R : tang C.

Connaissant Tangle B , on trouvera rhypoténme par la proportion sin B : R :: & : a; ou bien on peut avoir a directement par Tëquation û=v/ (A'-f-c'); mais cetie expression , dans laquelle é' + c* ne peut se décomposer en facteurs ^ est peu commode pour le calcul logarithmique.

TROISIEME CAS

Li. Etant donnés ï hypoténuse a et un angle B , trouver les deux autres côtés h et c.

On fera les proportions R : sin B :: « : J, R : cosB :: a : Cj lesquelles donneront les valeurs de b et c. Quant à Tangle C , il est égal au complément de B.

QUATRIEME CAS

xii. Etant donné un côté b de V angle droite avec Vun des angles aigus ^ trouver V hypoténuse et l'autre côté.

Connaissant Tun des angles aigus on connaîtra Tautre , ainsi on peut supposer connus le côté b^ et

BBCTILIGNB^ $77

l^angle oppose B. Ensuite, pour déterminer a et c^ on aura les proportions

sinBiVi:: b:a, Rtco^B :: b:c.

Résolution des triangles rectiUgnes en

général.

Soient A, B, C,les trois angles dVn triangle recti^gne proposé, et soient a^ &^ c^ les côtés qui leur spnt res* peetiyement opposés : les différents problèmes qui peuvent avoir lieu pour déterminer trois de ces quantités par le moyen des trois autres , se réduiront tou<* |Oiirs aux quatre cas suivàtits.

PREMIER CAS

liii. Etant donnés le côté a et deux des angles

du triangle^ trouver les deux autres côtés b et c. i Les deux angles connus feront connaître le troi- ^ «ieme , ensuite on trouvera les deux côtés 6 et c par les proportions*,

51/1 A i sin'R :: a i b.

sinA : sinC :: a : c.

DEUXIEME CAS

LIT. Etant donnés les deux côtés a ef b , avec

V angle A opposé à F un de ces côtés , trouver le

'" troisième côté c et les deux autres angles B et Ç.

On trouvera d'abord Tangle B par la proportion

a i b II sinA : sin B.

. Soit M Fangle aigu dont le sinus = , on

^ pourra , d'après la valeur de sin B, prendre ou B=M ou B=:200° — M. Mais ces deux solutions n'auront lieu qu'autant qu'on aura à la fois l'angle A aigu et

^ b>a. Si l'angle A est obtus , B ne saurait l'être ^

XUT.

ainsi il n^ y aura qu'une solution ; et si A éëufl aigo on a & < a^ il n'y aura non plus qu^une solution, parce (^'alors on a M < A , et qu'en^ fsdsant B = 200° — M , on aurait A -f- B > aoo® , ce qui ne peut avoir lieu.

Connaissant les angles A et B , on en conclura le troisième G. Ensuite on aura le troisième côté c par la proportion

sin A : sin C :: a*: c.

On peut aussi déduire c directement de Téquatioii -^

«»*+c'— a* ., bcosa f b*sm*k\