LIVRE I

ABB, DBC , sont égaux'*' ; donc le côté AB opposé à Tan- • pr. 7. gle ADB est égal au côté DG opposé à Tangle égal DBG, et pareillement le troisième c6lé AD est égal au troidème 'BC; donc les côtés opposés d*un parallélogramme sont égauxk

£n second lieu, de Tégalité des mêmes triafigles il s ensuit que Tangle A est égal à l'angle G, et aussi que l'angle ADG , composé des deux angles ADB, BDG, est égal a l'angle ABG , composé des deux angles DBG, ABD , donc les angles opposés d'un parallélogramme sont égaux.

Corollaire^ Donc deux parallèles AB, CD, comprises entre deux autres parallèles AD, BG, sont égales.

PROPOSITION XXIX

TBiOlÈHB.

Si dans un quadrilatère ABGD les côtés opposés sont fig. 44égaux j en sorte qu'on ait AB = CD, et AD = BG, les côtés égaux seront parallèles^ et la figure sera un parallélogramme.

Car, en tirant la diagonale BD, les deux triangles ABD, BDG, auront les trois côtés égaux chacun à chacun ; donc ils seront égaux ; donc l'angle ADB opposé au côté AB, est égal à l'angle DBG opposé au côté CD ; donc le côté 'pr. «4. AD est parallèle à BG. Par une semblable raison , AB est parallèle à CD ; donc le quadrilatère ABGD est un parallélogramme.

PROPOSITION XXX

THiORfcHE.

Si deux côtés opposés AB, CD, d'un quadrilatère sont égaux et parallèles y les deux autres côtés seront pareillement égatêx et parallèles y et la figure ABGD sera un parallélogramme.

Soit tirée la diagonale BD ; puisque AB est parallèle à CD, les angles altenies ABD, BDG, sont égaux : d'ail- ♦ pr. 34.

GtOHtTRII.

deux triangles, l'angle commun A est compris entre côtés égaux chacun à chacun, savoir: ACassAB, et AKssAl. Donc le troisième côté G'K. est égal au troisième BI ; donc aussi Tangle ACK=: ABC, et l'angle AKC=: AIB.

Je dis maintenant que le triangle B'C'K est égal au triangle AGI, car la somme des deux angles adjacents

s. AKG' + C'KB' est égale à deux angles droits*, ainsi que la sonmie des deux angles AIG+AIB; retranchant de part et d'autre les angles égaux AK.G', AIB, il restera l'angle G'K.B'asAlG. Ges angles égaux dans les deux triangles sont compris entre côtés égaux chacun à chacun , savoir , G'K=IB = GI, et KB' = AK=AI, puisqu'on a supposé AB'=9AI=âAK. Donc les deux triangles B'G'K, AGI,

6. sont égaux*; donc le côté G'B'=îAG, l'angle B'G'K= AGB, et Tanglb KB'G'=GAI.

11 suit de là 1® que l'àngle AG'B' désigné par G' est composé de deux angles égaux aux angles B et G do triangle ABG, et qu'ainsi on a G'=B + G ; 2® que l'angle A du triangle ABG est composé de l'angle A' ou G'AB' qui appartient au triangle AB'G' et de l'angle GAI égal à l'angle B' du même triangle , ce qui donne A=A'-hB'; donc A •+ B G = A' -h B' -H G'. D'ailleurs puisqu'on a par hypothèse AC < AB et par conséquent G'B'<AC', on voit que dans le triangle AG'B' l'angle en A, désigné par À' , est moindre que B', et comnie la somme des deux est égale à l'angle du triangle proposé , il s'ensuit qu'on a l'angle A' <T A.

Si on applique la même construction au triangle AB'G', pour former un troisième triangle AG"B" dont les angles seront désignés par A", B", G", on aura semhlahlement les deux égalités G" = C'-*. B', A'=A''-+-B", d'où résulte A'-i-B'-i-C' = A"-4-B"H-C". Ainsi la somme des trois angles est la même dans ces trois triangles : on aura en même temps l'angle A" <^ j A', et par conséquent A'' <iA.

Continuant indéfiniment la suite des triangles AG'B% AG'^B", etc., on parviendra à un triangle aèc dans lequel la somme des (rois angles sera toujours la même que dans

LIYRI I.

le triangle proposé ABC et qui aura l'angle a plus petit que tel terme qu'on roudra de la progression décroissante iA,^A,iA, etc.

On peut donc supposer cette suite de triangles prolongée jusqu'à ce qae l'angle a soit moindre que tout angle donné.

£t si au moyen du triangle abc on construit le triangle suivant a'è*e\ la somme des angles a' + de celui-ci sera égale à l'angle a, et sera par conséquent moindre que toot angle donné ; d'où Ton yoit que la somme des trois angles du triangle a'è'c' se réduit presque au seul angle

Pour avoir la mesure précise de cette somme , prolongeons le côté aV vers (2% et appelons s/ l'angle extérieur ^c'(2'; cet angle a?', joint à l'angle c' du triangle a'6'c% fait une somme égaie à deux angles droits* ; ainsi en dé- * pr. a. signant l'angle droit par D, on aura <?'=2D — jr'; donc la somine des angles du tringle aV^ sera

âD + a'-*.^' — ar'.

Mais on peut concevoir que le triangle a'c'h' varie dans ses angles et ses côtés , de manière à représenter les triangles successifs qui naissent ultérieurement de Ta même construction et s'approchent de plus en plus de la limite où les angles et b' seraient nuls. Dans cette limite la droite a'c'd' se confbndant avec ti^b', les trois points a', c*, b% finissent par être exactement en ligne droite; alors les angles b' et s* deviennent nuls en môme temps que a', et la quantité âD + a'-t-^ — qui mesure la somme des trois angles du triangle a'c'b^, se réduit à SD, donc dan^ toui triangïê la toràme deê iroh an^eê est ègaî&a deux angle* droilê.

Corollaire I. Deux angles d'un triang^ étant donnés ^ ou seulement leur somme , on connaîtra le troisième en retranchant la somme de ces angles de deux angles droMs.

11. Si deux angles d'un triangle sont égaux a deux angles d'un autre triangle , chacun à chaonn » le troisième de l'an sera égal au troisième de l'autre , et les deux triangles seront équiangles entre eux..

GÉOltTRIE.

III. Dans un triangle il ne peut y avoir qu'an seul angle droit ; car s'il y en avait deux, le troisième devrait être nul ; à pi as forte raison un triangle ne peut-il avoir qu'un seul angle obtus.

IV. Dans un triangle rectangle la somme des deux angles aigus est égale à un angle droit.

y. Dans un triangle équilatëral chaque angle est le tiers de deux angles droits ou les deux tiers d'un angle droit. Donc si l'angle droit est exprimé par 1 , l'angle du triangle équilatëral le sera par |.

YI. Dans tout triangle ABC si on prolonge le côté AB vers D , l'angle extérieur CED sera égal à la somme des deux intérieurs opposés A et G ; car en ajoutant de part et d'autre ABC, les deux sommes sont égales à deux angles droits.

PROPOSITION XX

THiORÈIE.

La somme de tous les angles intérieurs d'un polygone est égale à autant de fois deux angles droits qu'il y a d'unités dans le nombre des côtés moins deux.

Soit ABCD etc., le polygone proposé; si du sommet 49. d'un même angle A , on mène à tous les sommets des angles opposés les diagonales AC , AD , A£ , etc. , il est aisé de voir que le polygone sera partagé en cinq triangles, s'il a sept côtés; en six triangles, s'il avait huit côtés; et en général , en autant de triangles que le polygone a de côtés moins deux ; car ces triangles peuvent être considérés comme ayant pour sommet commun le point A , et pour bases les différents côtés des deux polygones, excepté les deux qui forment l'angle A. On voit en même temps que la somme des angles de tons ces triangles ne diffère point de la somme des angles du polygone; donc cette dernière somme est égale à autant de fois deux angles droits qu'il y a de triangles , c'est-à-dire , qu'il y a d'unités dans le nombre des côtés du polygone moins deux.