liVre I

L'égalité serait manifeste si le troisième côté BG était égal au troisième £F : supposons , s'il est possible , que ces côtés ne soient pas égaux, et que BG soit le plus grand. Prenez B6=£F, et joignez AG. Le triangle ABG est égal au triangle D£F ; car Tanglé droit B est égal à Fangle droit E, le côté AB== DE, et le côté BG^^EF; donc ces deux triangles sont égaux* et on a par conséquent AG s DF; * pr. 6. mais, par hypothèse, DF=AG; donc AGs=sAG. Mais l'oblique AG ne peut être égale à AG'*', puisqu'elle est *pr. 16. plus éloignée de la perpendiculaire AB ; donc il est impossible qne BG difiere de EF ; donc le triangle ABG est égal an Sangle DEF.

PROPOi^ITION XIX.

THÉOBÈHE.

Dans tout triangle ^ la somme de trois angles est aie à deux angles droits.

Soit ABG le triangle proposé dans lequel nous suppose- fig- 35. rons (1) que AB est le plus grand côté et BG le pins petit, et qu'ainsi AGB est le plus grand angle, et BAG le plus petit *. * pr. 14.

Par le point A et par le point I milieu du côté opposé BG, menez la droite AI que vous prolongerez en G' jusqu'à ce que AG'=: AB ; prolongez de même AB en B' jusqu'à ce que AB' soit double de AI.

Si on désigne par A , B , G , les trois angles du triangle ABG et semblablement par A', B', G' les trois angles du triangle AB'C', je dis qu'on aura l'angle G' =B +G, et l'angle A=A'-*-B', d'où résulte A -h B C=A'-f. B' -f - G', c'est-à-dire que la somme des trois angles est la même dans les deux triangles.

Pour le prouver , faites AK=AI et joignez G'K, voti? aurez le triangle G'AK égal au triangle BAI. Car dans ces

(1) Cette supposition n'exclut pas le cas où le côté moyen AG serait égal à l'un des extrêmes AB ou BG.

GtOMtTEIl.

deux triangles 9 Tangle comman A est compris entre cbiés égaux chacun à chacun, savoir: AC:9ABy et AK^sAl. Donc le troisième côté C'K est égal au troisième BI ; donc aussi l'angle ACK ss ABC , et l'angle AKC s= AIB.

Je dis maintenant que le triangle B'C'K est égal au triangle AGI, car la somme des deux angles adjacents

s. AKC'-h C'KB' est égale à deux angles droits*, ainsi que la somme des deux angles AIC+AIB; retranchant de part et d'autre les angles égaux AKC, AIB, il restera l'angle CKB'=3bA1G. Ces angles égaux dans les deux triangles sont compris entre côtés égaux chacun à chacun 5 savoir , G'K=IB=GI, et KB' = AK=AI, puisqu'on a supposé AB'=3AI=âAK. Donc les deux triangles B'G'K, AGI,

6. sont égaux*; donc le côté G'B'=AG, l'angle B'G'K» AGB, et l'anglb KB'C'=GAI.

11 suit de là l** que l'àngle AG'B' désigné par G' est composé de deux angles égaux ^ux angles B et G du triangle ABG, et qu'ainsi on a G' =B -h G ; 2° que l'angle A du triangle ABG est composé de l'angle A' ou G'AB' qui appartient au triangle AB'G' et de l'angle GAI égal à l'angle B' du même triangle , ce qui donne A=A' + B'; donc A + B-f.G = A'-f.B'-+-G'. D'ailleurs puisqu'on a par hypothèse AC < AB et par conséquent G'B'<AC', on voit que dans le triangle AG'B' l'angle en A, désigné par A' , est moindre que B', et comnie la somme des deux est égale à l'angle du triangle proposé , il s'ensuit qu'on a l'angle A'<iA.

Si on applique la même construction au triangle AB'C% pour former un troisième triangle AG"B" dont les angles seront désignés par A", B", G", on aura semhlahlement les deux égalités G" = C'-+- B', A'=A"-*-B", d'où résulte A'+B'-f-C' = A"-HB''-^C". Ainsi la somme des trois angles est la même dans ces trois triangles : on aura en même temps l'angle A" <^ 7 A', et par conséquent A" <iA.

Gontinuant indéfiniment la suite des triangles AG^' , AG''B", etc., on parviendra à un triangle abc dans lequel la somme des (rois angles sera toujours la même que dans

IIVII I.

le triangle proposé ABC et qui aura l'angle a plus petit que tel terme qu'on voudra de la progression décroissante iA,iA,iA, etc.

On peut donc supposer cette suite de feriangles prolongée jusqu'à ce que l'angle a soit moindre que tout angle donné.

Et si au moyen du triangle aôc on construit le triangle suivant a'6'e% la somme des angles a' + h' de celui*ci sera égale à l'angle a, et sera par conséquent moindre que tout angle donné ; d'où Ton voit que la somme des trois angles du triangle a'B'c' se réduit presque au seul angle c'.

Pour avoir la mesure précise de cette somme , prolongeons le côté aV vers d\ et appelons a/ l'angle extérieur è^o'd' ; cet angle dr', joint à l'angle c' du triangle fait une somme égale à deux angles droits'*' ; ainsi en dé- * pr. ». signant l'angle droit par on aura e'=âD — s'} donc la somîne des angles du triangle a'c^b^ sera

Mais on peut concevoir que le triangle a'c'b' varie dans ses angles et ses côtés , de manière à représenter les triangles successifs qui naissent ultérieurement de Ta même construction et s'approchent de plus en plus de la limite oÀ les angles a* et b' seraient nuls. Dans cette limite la droite aV^i' se confondant avec a'b', les trois points a', e', h\ finissent -par être exactement en ligne droite; alors les angles b' et s' deviennent nuls en même temps que a', et la quantité âD + a'-f-^ — s, qui mesure la somme des trois angles du triangle a^c'b^, se réduit à SD, donc dans tout triangle la tomme de» troie onglée eei égale à deux anglee droite.

CeroUaire I. Deux angles d'un triangle étant donnés, ou seulement leur somme , on connaîtra le troisième en retranchant la somme de ces angles de deux angles droits.

IL Si deux angles d'un triangle sont égaux à deux angles d'un autre triangle , chacun à chacun , le troisième de l'un sera égal au troisième de l'autre , et les deux triangles seront équiangles entre eux..

ciostran.

III; Dans nn triangle il ne pent y aToîr qu'on seul angle droit ; car 8*il y en arait denx, le troiMème derrait être nol ; à plos forte raiton nn triangle ne peat4l aymr qn'nn seul an^e obtus.

IV. Dans un triangle rectangle la somme des deux angles aigus est ^^le à un angle droit.

Y. Dans un triangle éqnilatëral chaque angle est le tiers de deux angles droits ou les deux tiers d'un angle droit. Donc si Tangle droit est exprimé par 1, Fan^ du triangle ëquilatéral le sera par f .

VI. Dans tout triangle ABC si on prolonge le côté AB Ters D , l'angle extérieur GBD sera égal à la somme des deux intérieurs opposés A et C ; car en ajoutant de part et d'autre ABC, les deux sommes sont égales à deux angles droits.

PBOPOSraON XX.

TiioBÈn.

La somme de tous les angles intérieurs d'un polygone est égale à autant de fois deux angles droits qu'il y a d'unités dans le nombre des côtés moins deux.

Soit ABGD etc., le polygone proposé; si du sommet fig. 4a. d'un même angle A , on mène à tons les sommets des angles opposés les diagonales AG , AD , A£ , etc. » il est aisé de voir que le polygone sera partagé en cinq triangles, s'il a sept côtés; en six triangles, s'il avait huit côtés; et en général , en autant de triangles que le polygone a de côtés moins deux ; car ces triangles peuvent être conâ* dérés comme ayant pour sommet commun le point A , et pour bases les différents côtés des deux polygones, excepté les deux qui forment l'angle A. On voit en m»ie temps que la somme des angles de tous ces triangles ne diffère point de la somme des angles du polygone; donc cette dernière somme est égale i autant de fois deux angles droits qu*il y a do triangles , c'est-à-dire , qu'il y a d'unités dans le nombre des côtés du polygone moins deux.

LIVBB I.

Corollaire 1. La somme des angfles d*un quadrilatère est ég^ale à deux angles droits multipliés par 4 — 2, ce qui fait quatre angles droits. Donc si tous les angles d'un quadrilatère sont égaux, chacun d'eux sera un angle droit; ce qui justifie la définition xvn où l'on a supposé que les quatre angles d'un quadrilatère sont droits , dans lè cas du rectangle et du carré.

IL La somme des angles d'un pentagone est égale à deux angles droits multipliés par S — S /ce qui fait 6 angles droits. Donc lorsqu'un pentagone est iquiangle, c'est* â-dire lorsque ses angles sont égaux les uns aux autres, chacun d'eux est égal au cinquième de six angles droits , ou aux I d'un angle droit.

in. La somme des angles d'un hexagone est de 2 x (6 — 2) ou 8 angles droits; donc dans l'hexagone équiangle, chaque angle est f ou j d'angle droit.

Scholie. Si on voulait appliquer cette proposition à un fig- 4^polygone dans lequel il y aurait un ou plusieurs angUê rentrante y il faudrait considérer chaque angle rentrant comme étant plus grand que deux angles droits. Mais , pour éviter tout embarras , nous ne considérerons ici et dans la suite, que les polygones à angles saillantê, qu'on peut appeler autrement jvo/yyon^^ convexes. Tout polygone convexe est tel, qu'une ligne droite, menée comme on voudra , ne peut rencontrer le contour de ce polygone qu'en deux points.

PROPOSITION XXI

Si deux lignes droites AB, CD, sont perpendiculatres fig. à une troisième FG, ces deux lignes seront parallèles y c^est'à'dire qu'elles ne pourront se rencontrer à quelque distance gfu'ùn les prolonge.

Car si elles se rencontraient en un point 0, il y aurait deux perpendiculaires OF , OG , abaissées d'un même point sur une même ligne FG, ce qui est impossible * pr. i5.

GtOXtTRM.

. 6. dans le premier cas , le côté CB serait égal à £F*; dans. ,1e second , GB serait plus petit qae £F ; or l'an et l'autre est contraire à la supposition ; donc Tangle BAC est plus. Çrand que £DF.

/ PROPOSITION XI

Deux triangles sont égaux y lorsqu'ils ont les trots côtés égaux chacun à chacun,

a3. Soit le côté AB=DE , AC =DF , BC=;EF, je dis qu'on aura l'angle A = D, B=E, C = F.

€ar si l'angle A était plus grand que l'angle D, comme les côtés AB, AG, sont égaux aux côtés DE, I>F, chacun à chacun, il s'ensuirrait , par le théorème précédent, que le côté BG est plus grand que EF; et si l'angle A était plus petit que l'angle D, il s'ensuivrait que le côté BC est plus petit que EF; or, BG est égal à EF; donc l'angle A ne peut être ni plus grand ni plus petit que l'angle D; donc il lui est égal. On prourera de même que Tangle B=:E, et que l'angle G=F.

Scholie. On peut remarquer que les angles égaux sont opposés à des côtés égaux : ainsi les angles égaux A et D sont opposés aux côtés égaux BG, EF.

PROPOSITION XII

tb£orèhe.

Dans un triangle tsoscèle , les angles opposés aux côtés égaux sont égaux.

a8. Soit le côté AB = AG , je di» qu^'on aura l'angle G=B. Tirez la ligne AD du sommet A au point D, milieu de la hOfSe BC, les deux triangles ABD, ADC, auront les trois côtés chacun à chacun ; savoir AD commun, ABs AC par hypothèse, et BD=DG par construction ; donc , en vertu du théorème précédent , l'anglp B est égal à l'angle G.

LIVEB I.

deax floinmes sont égales chacune a deux angles droits. Prenez ensuite MNisFM et joignez ^FN; Fangle AMF, extérieur au triangle FMN , est égal à la somme des deux intérieurs opjposés MFN, MNF* ; ceux-ci sont égaux entre eux , puisqu'ils sont opposés à des côtés égaux MN , FM ; donc l'angle AMF ou son égal MFG est double de MFN ; donc la droite FN divise en deux parties égales Tangle GFM et rencontre la ligne AB en un point N situé à la distance MN=FM.

11 suit de la même démonstration que si on prend NP=FN, on déterminera sur la ligne AB le point P où aboutit la droite FP qui fait Fangle GFP égal à la moitié de l'angle GFN , ou au quart de l'angle GFM.

On peut donc prendre ainsi sucessivement la moitié , le quart, le huitième, etc., de l'angle GFM, et les lignes qui opèrent ces divisions, rencontreront la ligne AB en des points de plus en plus éloignés , mais faciles à déterminer, puisque MN=FM, NP=FN, PQ=PF, etc. On peut même observer qùe chaque distance d'un de ces points d'intersection au point fixe F, n'est pas tout à-fait double de la distance du point d'intersection précédent, car FN, par exemple, est moindre que FM-f-MN ou 2FM; on a pareillement FP< 2FN, FQ < 2FP, etc.

Mais en continuant de soas-diviser l'angle GFM en raison double, on parviendra bientôt à un angle GFZ plus petit que l'angle donné GFD, et il sera encore vrai que FZ prolongée rencontre AB en un point déterminé : donc à plus forte raison la droite FD comprise dans l'angle EFZ , rencontrera AB.

Supposons 2<* que la somme* des deux angles intérieurs , AËF+GFE est plus grande que deux angles droits, si Ton prolonge AË vers B et CF vers D , la somme des quatre angles AEF, BEF, GFE, EFD, sera égale à quatre angles droits; donc si de cette somme on retranche AEF + GFE plus grande que deux angles droits , il restera la somme BEF 4- EFD plus petite que deux angles droits. Bone suivant le premier cas les lignes EB, FD, prolongées soffisamment, doivent se rencontrer.

ttÊOXÉTRIB.

Corollaire^ Par un point donné F on ne peat mener qa'une seule parallèle a la ligne donnée AB ; car ayant tiré F£ à volonté , il n'y a qu'une ligne FG qui fasse la somme des deux angles BËF+ËFG, égale à deux angles droits; toute autre droite FD ferait la somme des deux angles BEF+EFD plus petite ou plus grande que deux droits y et rencontrerait par conséquent la ligne AB.

PROPOSITION XXIV

THÉORÈXB.

fig. 38. Si deux lignes parallèles AB, CD, sont rencontrées par une sécante £F, la somme des angles intérieurs AGO, GOC, sera égale à deux angles droits.

Car si elle était plus grande on plus petite , les deux droites AB, CD, se rencontreraient d'un côté ou de

* pr. a3. l'autre* et ne seraient pas parallèles.

Corollaire I. Si l'angle GOC est droit , l'angle AGO sera aussi un angle droit ; donc toute ligne perpendiculaire à l'une des parallèles est perpendiculaire à l'autre.

Corollaire II. Puisque la somme AGO + GOC est égale à deux angles droits , et que la somme GOD + GOC est aussi égale à deux angles droits ; si on retranche de part et d'autre GOC, on aura l'angle AGO = GOD. D'ailleurs

* pr. 5. AGO=BGE , et GOD = COF* ; donc les quatre angles

aigus AGO, BGE, GOD, COF, sont égaux entre eux; il en est de même des quatre angles obtus AGE, BGO, GOC, DOF. On peut observer de plus qu'en ajoutant l'un des quatre angles aigus à l'un des quatre obtus, la somme sera toujours égale à deux angles droits.

Scholie, Les angles dont on vient de parler , comparés deux à deux, prennent différents noms. Nous avons déjà appelé les angles AGO, GOC, intérieurs d'un même côté; les angles BGO, GOD, ont le même nom ; les angles AGO, GOD, s'appellent allemee-intemes^ ou simplement alterne* ; il en est de même des angles BGO , GOC. Enfin on appelle internee-extemea les angles EGB , GOD, ou EGA, GOC, et alternes-externes les angles EGB , COF , ou AGE , DOF.

LIVEB 1.

Gela posé on peut regarder les propositions suivantes comme étant déjà démontrées.

P Les angles intérieurs d'un même côté , pris ensemble, ▼aient deux angles droits.

2® Les angles alternes-internes sont égaux, ainsi que les angles internes-externes , et les angles alternes-externes.

Réciproquement si dans ce second cas , deux angles de même nom sont égaux , on peut conclure que les lignes auxquelles ils se rapportent sont parallèles. Soit, par exemple, l'angle AGO=GOD; puisque GOG + GOD est égal à deux droits, on aura aussi AGO + GOC égal à deux droits, donc'*' les lignes AG, CO, sont parallèles. '* pr. sa,

PROPOSITION XXV

THÉORÈHB.

Deux lignes AB, CD, parallèles à une troisième EF, <îg. 39sonl parallèles entre elles.

Menez la sécante PQR perpendiculaire à EF. Puisque AB est parallèle à £F, la sécante' PR sera perpendiculaire à AB*; de même puisque CD est parallèle à EF, la sécante ^^l^'^; PR sera perpendiculaire à CD. Donc AB et CD sont perpendiculaires a la même droite PQ ; donc elles sont parallèles"". *pr. ai.

- PROPOSITION XXVI

THiOlÈMB.

Deux parallèles sont partout paiement distantes.

Étant données les deux parallèles AB, CD, si par deux fig- 4o. points pris à volonté, on élève sur AB les deux perpendiculaires £G, FH, les droites £G, FH, seront en même temps perpendiculaires à CD ; je dis de plus que ces * pr. 34. droites seront égales entre elles.

Car en tirant GF, les angles GFE, FGH, considérés par rapport aux parallèles AB, CD, seront égaux comme ^^^^ alternes-internes* ; de même puisque les droites EG , FH, pr. a4.

sont perpendiculaires à une même droite AB , et par conséquent parallèles entre elles , les angles EGF , GFH , considérés par rapport anx parallèles G£ , FH , seront égaux comme alternes-internes. Donc les deux triangles £F6 , FOU , ont un côté commun FG adjacent à deux angles égaux , chacun à chacun ; donc ces deux triangles v^- 7* sont égaux ; donc le côté £G qui mesure ta distance des parallèles AB , CD , au point £, est égal au côté FH , qui mesure la distance de ces mêmes parallèles au point F.

PROPOSITION XXVIL niioRft».

Cg. 4i. ' St deux angles BAC , DEF, ont lea côtés parallèles ^ chacun à chacun j et dirigés dans le même sens , ces deux angles seront égaux.

Prolongez , s^il est nécessaire , DE jusqu'à la rencontre de AC en G ; l'angle DEF est égal à DGC, parce que EF * pr. a4. est parallèle à GC* ; l'angle DGG est égal a BAC , parce que DQ est parallèle à AB; donc Tangle DEF est égal à BAC.

SchoUe. On met dans cette proposition la restriction que le côté EF soit dirigé dans le même sens que AC et ED dans le même sens que AB ; la raison en est que si on prolonge FE vers H , l'angle DEH aurait ses côtés parallèlea à ceux de l'angle BAC , mais ne lui serait pas égal. Dans ce cas , l'angle DE et l'angle BAC feraient ensemble deux angles droits.

PROPOSITION XXVIII

TBtORÈHI.

Les côtés opposés d'un parallélogramme sont égaux y f ainsi que les angles opposés.

Cg. 44. Tirez la diagonale BD, les deux triangles ADB, DBC, ont le côté commun BD ; de plus , à cause des parallèles

♦ pr 24. AD, BC, l'angle ADB = DBC* , et à cause des parallèles AB, CD, Vangle ABD = BDC;donc les deux triangles