LIVRE I. 3t

Corollaire 1. La tomme des angles d'un quadrilatère est égale à deux angles droits multipliés par \ — 2, ce qui fait quatre angles droits. Donc si tous les angles d'uti quadrilatère sont égaux, chacun d'eux sera un angle droit ; ce qui justifie la définition xyn où l'on a supposé que les quatre angles d'un quadrilatère sont droits , dans le cas du rectangle et du carré.

IL La somme des angles d'un pentagone est égale a deux angles droits multipliés par S — S /ce qui fait 6 angles droits. Donc lorsqu'un pentagone est èquiangUj c'est* à-dire lorsque ses angles sont égaux les uns aux autres, chacun d'eux est égal au cinquième de six angles droits , ou aux I d'un angle droit.

in. La somme des angles d'un hexagone est de 2 x (6 — 2} ou 8 angles droits; donc dans l'hexagone équiangle, chaque angle est § ou j d'angle droit.

Scholie, Si on voulait appliquer cette proposition à un fig. 4^polygone dans lequel il y aurait un ou plusieurs angUê rentranUj il faudrait considérer chaque angle rentrant comme étant plus grand que deux angles droits. Mais , pour éviter tout embarras , nous ne considérerons ici et dans la suite, que les polygones à angles saillant*, qu'on peut appeler autrement jpo/yy<m^.r convexes. Tout polygone convexe est tel, qu'une ligne droite, menée comme on voudra , ne peut rencontrer le contour de ce polygone qu'en deux points.

PROPOSITION XXI

Si deux lignes droites AB, CD, sont perpendiculaires fig. 36. à une troisième FG, ces deux lignes seront parallèles^ c'est-à-dire qu^ elles ne pourront se rencontrer à quelque distance ^u'on les prolonge.

Car si elles se rencontraient en un point 0, U y aurait deux perpendiculaires OF , OG, abaissées d'un même point G sur une même ligne FG, ce qui est impossible * pr. i5.

GÉOliTRlE.

PROPOSITION XXII

THiORfeHE.

ûg. 36. Si deux lignes droites AB , CD , font avec une troisième EF, deua; angles intérieurs BEF, DFE, dont la somme soit égale à deux angles droits, les lignes AB, CD, seront parallèles.

Si les angles BEF, DFE, étaient ëganx, ils seraient droits l'un et l'autre, et on tomberait dans le cas de la proposition précédente; supposons donc qu'ils sont inégaux et par le point F, sommet du plus grand , abaissons FG perpendiculaire sur AB.

Dans le triangle EFG., la somme des deux angles aigus

*Jo;4?' PEG + EFG est égale à un angle droit*, cette somme étant retranchée de la sondme BEF + DFE égale par hypothèse à deux angles droits, il restera l'angle DFG égal à un angle droit. Donc les deux lignes AB, CD, sont perpendicu-

* pr. ai. lairei i une même ligne FG, donc elles sont parallèles *,

PROPOSITION XXIII

THÉOalWI.

flg- S7. Si deux lignes droites AB, CD, font avec une troisième EF, deux angles intérieurs d'un même côté, dont la somme soit plus petite ou plus grande que deux angles droits, les lignes AB, CD ^ prolongées su^amment, devront se rencontrer.

Soit 1* la somme BEF + EFD plus petite que deux angles droits, menez FG de manière que Tangle EFG=AEF, TOUS aurez la somme BEF + EFG égale à la somme BEF + AEF et par conséquent égale à deux angles droits, et puisque BEF + EFD est plus petite que deux angles droits , la droite DF sera comprise dans l'angle EFG.

Par le point F tirez une oblique FM qui rencontre AB en M, Vangle AMF sera égal à GFM, puisqu'on ajoutant de part et d'autre une même quantité EFM + FEM, les