LIVRE I. 2S

deux sommes sont égales chacune à deax angles droits. Prenez ensuite MN ^ FM et joignez ; Tangle AMF, extérieur au triangle FMN , est égal à la somme des deux intérieurs opposés MFN, MNF* 5 ceux-ci sont égaux entre H'^ g? eux , puisqu'ils sont opposés à des côtés égaux MN , FM ; donc Tangle AMF ou son égal MFG est double de MFN ; donc la droite FN divise en deux parties égales Tangle GFM et rencontre la ligne AB en un point N situé à la distance MN=FM.

Il suit de la même démonstration que 91 on prend NP=FN, on déterminera sur la ligne AB le point P où aboutit la droite FP qui fait Fangle GFP égal à la moitié de l'angle GFN , ou au quart de l'angle GFM.

On peut donc prendre ainsi sucessivement la moitié , le quart, le huitième, etc., de l'angle GFM, et les lignes qui opèrent ces divisions, rencontreront la ligne AB en des points de plus en plus éloignés , mais faciles à déterminer, puisque MN=FM, NP=:FN, PQ=PF, etc. On peut même observer qtie chaque distance d'un de ces points d'intersection au point fixe F, n'est pas tout à-fait double de la distance du point d'intersection précédent, car FN, par exemple, est moindre que FM+MN ou dFM; on a pareillement PP< 2FN, FQ < 2FP, etc.

Mais en continuant de sous-diviser l'angle GFM en raison double, on parviendra bientôt a un angle GFZ plus petit que l'angle donné GFD, et il sera encore vrai que FZ prolongée rencontre AB en un point déterminé : donc à plus forte raison la droite FD comprise dans l'angle EFZ , rencontrera AB.

Supposons 2® que la somme* des deux angles intérieurs , AËF + GFË est plus grande que deux angles droits, si Ton prolonge AË vers B et CF vers D , la somme des quatre angles AEF, BËF, CFË, ËFD, sera égale à quatre angles droits; donc si de cette somme on retranche AËF+GFE plus grande que deux angles droits , il restera la somme BËF + ËFD phis petite que deux angles droits. Donc suivant le premier cas les lignes ËB, FD, prolongées suffisamment, doivent se rencontrer.

GÊOHtTIIE.

Corollaire. Par un point donné F on ne peut mener qa*une seule parallèle à la ligne doAnée AB ; car ayant tiré F£ à volonté , il n'y a qu'une ligne FG qui fasse la somme des deux angles BEF+EFG, égale à deux angles droits; toute autre droite FD ferait la somme des deux angles BEF+ËFD plus petite ou plus grande que deux droits , et rencontrerait par conséquent la ligne AB.

PROPOSITION XXIV

THÉOBfelB.

fig. 38. Si deux lignes parallèles AB, CD, sont rencontrées par une 'sécante EF, la somme des angles intérieurs AGO, GOC, sera égale à deux angles droits.

Car si elle était plus grande on plus petite , les deux droites AB, CD, se rencontreraient d*un côté ou de

* pr. a3. l'autre'^ et ne seraient pas parallèles.

CoroUaire I. Si l'angle GOC est droit , l'angle AGO aera aussi un angle droit ; donc toute ligne perpendiculaire à l'une des parallèles est perpendiculaire à l'autre.

Corollaire Puisque la somme AGO+GOG est égale à deux angles droits , et que la somme GOD + GOC est aussi égale à deux angles droits ; si on retranche de part et d'autre GOC , on aura l'angle AGO = GOD. D'ailleurs

* pr. 5. AGO=BGE , ét GOD = COF* ; donc les quatre angles

aigus AGO, BGE, GOD, COF, sont égaux entre eux; il en est de même des quatre angles obtus AGE, BGO, GOC, DOF. On peut obseryer de plus qu'en ajoutant l'un des quatre angles aigus à l'un des quatre obtus, la somme sera toujours égale à deux angles droits.

Scholie, Les angles dont on Tient de parler , comparés deux à deux , prennent différents noms. Nous avons déjà appelé les angles AGO , GOC , intérieure d'un même côté; les angles BGO, GOD, ont le même nom ; les angles AGO, GOD, s'appellent tdtemee'interneey ou simplement oZ/^mef ; il en est de même des angles BGO , GOC. Enfin on appelle intemee-^xtemee les angles EGB, GOD, ou EGA, GOC, et altemei-exiemee les angles EGB , COF ^ ou AGE , DOF.