LIVRE

Gela posé on pent regarder les propositions suivantes comme étant déjà démontrées.

1° Les angles intérieurs d'un même côté , pris ensemble, ▼aient deux angles droits.

2° Les angles alternes-internes sont égaux, ainsi que les angles internes-externes , et les angles alternes-externes.

Réciproquement si dans ce second cas , deux angles de même nom sont égaux , on peut conclure que les lignes auxquelles ils se rapportent sont parallèles. Spit , par ^ exemple, Fangle AGO=:GOD; puisque GOG + GOD est égal à deux droits, on aura aussi AGO + GOG égal à deux droits, donc''' les lignes AG, GO, sont parallèles. '*pr. aa.

PROPOSITION XXV

THiORÈIB.

Deus lignes AB, CD, parallèles à une troisième EF, H- Sgsont parallèles entre elles .

Menez la sécante PQR perpendiculaire à EF. Puisque AB est parallèle à EF, la sécante' PR sera perpendiculaire a AB"**; de même puisque CD est parallèle à EF, la sécante ^r^'^; PR sera perpendiculaire à CD. Donc AB et GD sont perpendiculaires à la même droite PQ ; donc elles sont parallèles*, 'pr. 21.

^ PROPOSITION XXVI

THiORÈHB.

Deux parallèles sont partout également distantes.

Étant données les deux parallèles AB, CD, si par deux H- 4opoints pris à volonté , on élève sur AB les deux perpendiculaires EG, FH, les droites EG, FH, seront en même temps perpendiculaires à CD * ; je dis de plus que ces * pr. a/|. droites seront égales entre elles.

Car en tirant GF, les angles GFE, FGH, considérés par rapport aux parallèles AB, CD, seront égaux comme ^^^^ alternes-internes'*' ; de même puisque les droites EG , FH, pr. 34*

GtOMtTlII,

sont perpendiculaires à une même droite AB , et par conséquent parallèles entre elles, les angles £GF , GFH , considérés par rapport aux parallèles G£ , FH , seront égaux comme altemes-int^es. Donc les deux triangles £FG , FGU , ont un côté commun FG adjacent à deux angles égaux , chacun à chacun ; donc ces deux triangle» 7* sont égaux donc le côté £G qui mesure la distance des parallèles AB , CD , au point £ , est égal au côté FH , qui mesure la distance de ces mêmes parallèles au point F.

PROPOSITION XXVII

THtORiMB.

Gg. 4i. ' Si deux angles BAC , DEF, ont les côtés parallèles y chacun à chacun y et dirigés dans le même sens j ces deux angles seront égaux.

Prolongez , s*il est nécessaire , D£ jusqu'à la rencontre de AC en G; l'angle D£F est égal à DGG, parce que £F

* pr. a4. est parallèle à GG* ; l'angle DGG est égal a BAC , parce que

DQ est parallèle à AB; donc l'angle D£F est égal à BAC.

Scholie, On met dans cette proposition la restriction que le côté £F soit dirigé dans le même sens que AC et £D dans le même sens que AB ; la raison en est que si on prolonge F£ vers H , l'angle D£H aurait ses côtés parallèles à ceux de l'angle BAC , mais ne lui serait pas égal. Dans ce cas , l'angle D£ et l'angle BAC feraient ensemble deux angles droits.

PROPOSITION XXVIII

THÉORfelE.

Les côtés opposés d'un parallélogramme sont égaux , ainsi que les angles opposés.

fig. 44. Tirez la diagonale BD, les deux triangles ADB, DBC, ont le côté commun BD ; de plus, à cause des parallèles

* pr. 24 AD, BC, l'angle ADB = DBC* , et à cause des parallèles

AB, CD, l'angle ABD = BDC; donc les deux triangles