LIVIE I

ABB, DBC , sont égaux"*" ; donc le côté AB opposé à Fan- * pr. 7. gle ADB est égal au côté DG opposé à l'angle égal DBG, et pareillement le troisième côté AD est égal au troisiième 'BG; donc les côtés opposés d'un parallélogramme sont égauxk

En second lieu, de Fégalité des mêmes triangles il s'ensuit queTangle A est égal à Fangle G, et aussi que Fangle ADG , composé des deux angles ADB, BDG, est égal a l'angle ABG , composé des deux angles DBG, ABD , donc les angles opposés d'un parallélogramme sont égaux.

Corollaire. Donc deux parallèles AB, CD, comprises entre deux autres parallèles AD, BG, sont égales.

PROPOSITION XXIX-

THÉOIÈM.

Si dans un quadrilatère ABGD les côtés opposés sont fig. 44égaux, en sorte qu'on ait AB = GD, et AD = BG, les côtés égaux seront parallèles^ et la figure sera un parallélogramme.

Car, en tirant la diagonale BD, les deux triangles ABD, BDG, auront les trois côtés égaux chacun à chacun ; donc ib selront égaux; donc l'angle ADB opposé au côté AB, est égal à l'angle DBG opposé au côté GD ; donc * le côté 'pr. »4- AD est parallèle à BG. Par une semhlahle raison , AB est parallèle à GD ; donc le quadrilatère ABGD est un parallélogramme.

PROPOSITION XXX

THÉORfcHB.

Si deux côtés opposés AB, GD, d'un quadrilatère sont égaux et parallèles, les deux autres côtés seront pareillement égaux et parallèles , et la figure ABGD sera un parallélogramme.

Soit tirée la diagonale BD ; puisque AB est parallèle à GD, les angles alternes ABD, BDG, sont égaux : d'ail- * pr. 34.

GtOHÉTftIB.

leors le côté AB = DC, le côté DB est commun , donc le

* pr. 6. triangle ABO est égal au triangle DBG* ; donc le côté

AD=^C, Fangle ADB=DBG, et par conséquent AD est parallèle à BG ; donc la figore ABGD est un parallélogramme.

PROPOSITION XXXI

THÉOlÈaB.

fis* 4^- Les deux diagonales AG, DB, d^un parallélogramme se coupent mutuellement en deux parties égales.

Gar , en comparant le triangle ADO au triangle GOB , *pr. a4. on trouve le côté AD=GB, l'angle ADO=CBO*; et

* pr. 37. l'angle DAO = OGB; donc ces deux triangles sont égaux* ;

donc AO, côté opposé à l'angle ADO , est égal à OG , côté opposé à l'angle OBG ; donc aussi DO=OB.

SchoUe. Dans le cas du losange , les côtés AB , BG , étant ^[aux, les triaogles AOB , OBG, ont les trois côtés égaux chacun à chacun , et sont par conséquent égaux ; d'où il suit que l'angle AOB=BOG, et qu'ainsi les deux diagonales d'un losange se coupent mutuellement à angles droits.

MA V\A/\AA/W\AAA/WWV\A/V'\WWV\/VV\'WA W\ VV\ X'W \\f\ VV\/WV V\A WWXA/WXVU