LE CERCLE ET LA MESURE DES ANGLES
Divimnoifs.
I. La circonférence du cercle est une ligne conrbe, dont fig. 46. tous les points sont également distants d'un point intérieur qu'on appelle centre.
Le cercle est l'espace* terminé par cette ligne courbe.
m, B. Quelquefois dans le discours on confond le cercle avec sa circonférence ; mais il sera toujours facile de rétablir l'exactitude des expressions, en se souvenant que le cercle est une surface qui a longueur et largeur, tandis que la circonférence n'est qu'une ligne.
IL Tonte ligne droite CA, CE, CD, etc., menée du centre à la circonférence, s'appelle rayon ou demi-diamètre; toute ligne, comme AB, qui passe par le centre et qui est terminée de part et d'autre à la circonférence , s'appelle diamètre.
En Tertn de la définition du cercle, tous les rayons sont égaux; tous les diamètres sont égaux aussi , et doubles du rayon.
III. On appelle are une port^pn de circonférence telle queFHG.
La carde ou soue-tendant» de l'arc est la ligne droite FG qui joint ses deux extrémités. '
lY. Segment e%i la surface ou portion de cercle comprise entre l'arc et la corde.
N. B. A la même corde FG répondent toujours deux arcs FHG, FE6, et par conséquent aussi deux segnaents ; mais c'est toujours le plus petit dont on entend parler, à moins qu'on n'exprime le contraire.
y. Secteur est la partie du cercle comprise entre un arc DE et les deux rayons CD, CE, menés aux extrémités de cet arc.
SO GtOXtTRIE.
H' \j' VI. On appelle l^ne inscrite dans le cercle , celle dont les extrémités sont à la circonférence, comme AB.
Angle inscrit j un angle tel que BAC, dont le sommet est a la circonférence , et qui est fornlé par deux cordes.
Triangle inscrit, un triangle tel que BAC , dont les trois angles ont leurs sommets à la circonférence.
Et en général Jigure inscrite , celle dont les angles ont leurs sommets à la circonférence : en même temps on dit que le cercle est circonscrit à cette figure, fig. 48. VU. On appelle sécante une ligne qui rencontre la circonférence en deux points : telle est AB.
VIII. Tangente est une ligne qui n'a qu'un point de commun avec la circonférence : telle est CD.
Le point commun M s'appelle point de contact.
IX. Pareillement deux circonférences sont tangentes l'une à l'autre , lorsqu'elles n'ont qu'un point de commun.
lig. i6o. X. Un polygone est circonscrit à un cercle, lorsque tous ses côtés sont des tangentes à la circonférence; dans le même cas on dit que le cercle est inscrit dms le polygone.
PROPOSITION PREMIÈRE
THiORÈllé
fig. 49. Tout diamètre AB divise le cercle et la circonférence en deux parties égales.
Gar^ion applique la figure AEBsur AFB, en conservant la base commune AB, il fàudra que la ligne courbe AEB tombe exactement sur la ligne courbe AFB , sans quoi il y aurait dans l'une ou dans l'autre des points inégalement éloignés du centre, ce qui est contre la définition du cercle.
PROPOSITIOiN II.
^ TltOlÈHE*
Toute corde est plus petite que le diamètre.
fig. 49. Car si aux extrémités de la cordé AD on mène les rayons AC, CD , on aura la ligne droite AD ^ AC -h CD, ou AD<AB,
UYR£ II.
Corollaire. Donc la plus grande ligne droite qu'on puisse inscrire dans un cercle est égale à son diamètre.
PROPOSITION III
TBtOlÈHE.
Une ligne droite ne peut rencontrer une circonférence en plus de deux points.
Car si elle la rencontrait en trois, ces trois points seraient également distants du centre ; il y aurait donc trois droites égales menées d*un même point sur mne même ligne droite, ce qui est impossible ^l^'?*
PROPOSITION IV
THftOBtal.
Dans un même cercle ou dans des cercles égaux y les arcs égaux sont sous-tendus par des cordes égales ^ et réciproquement les cordes égales sous-tendent des arcs égaux.
Le rayon AG étant égal au rayon EO, et Tare AMD égal à fig. 5o. Tare £NG, je dis que la corde AD sera égale à la corde £G.
Car le diamètre AE étant égal au diamètre ËF, le demicercle AMDB pourra s'appliquer exactement sur le demicercle ËNGF, et la ligne courbe AMDB coïncidera entièrement avec la ligne courbe ENGF. Mais on suppose la portion AMD égale à la portion ENG; donc le point D tombera sur le point G; donc la corde AD est égale à la corde EG»
Réciproquement, en supposant toujours le rayon AC s=£0, si la corde AD=EG, je dis que l'arc AMD sera égal à l'arc ENG.
Car en tirant les rayons CD, 00, les deux triangles ACD, EOG, auront les trois côtés égaux chacun à chacun, saToir, ACsEO, CD=OG, et AD=EG; donc ces triangles sont égaux ; donc l'angle ACDssEOG. Mais en posant * u, t. le demi-cercle ADB sur son égal EGF, puisque l'angle * ACD=EOG , il est clair que le rayon CD tombera sur le
GtOMÊTIlIE.
rayon OG, et le point D sur le point G; donc Farc AMD est égal à l'arc ENG.
PROPOSITION V
THÉORÈHK.
Dans le même cercle ou dans des cercles égaux y un • plus grand arc est sous-tendu par une plus grande
corde y et réciproquement y si toutefois les arcs dont il s'agit sont moindres qu'une demi-circonférence. fig. 5o. Car soit l'arc AH plus grand que AD, et soient menées les cordes AD, AH, et les rayons CD, CH : les deux côtés AC, CH, du triangle ACH sont égaux aux deux côtés AC, CD, du triangle ACD : l'angle ACH est plus grand que
* io> I- ACD ; donc* le troisième côté AH est plus grand que le
troisième AD; donc la corde qui sous-tend le plus grand arc est la plus grande.
Réciproquement , si Ifi corde AH est supposée plus grande que AD, on conclura des mêmes triangles que l'angle ACH est plus grand que ACD, et qu'ainsi l'arc AH est plus grand que AD. '
ScTiolie, Nous supposons que les arcs dont il s'agit sont plus petits que la demi-circonférence. S'ils étaient plus grands , la propriété contraire aurait lieu ; l'arc augmentant, la corde diminuerait, et réciproquement : ainsi l'arc AKBD étant plus grand que AKBH, la corde AD du premier est plus petite que la corde AH du second*
PROPOSITION VI
THÉORÈHK*
6g. 5i. Le rayon CG, perpendiculaire à une corde AB, divise cette corde et l'arc sous-tendu AGB, chacun en deux parties égales.
Menez Ws rayons CA, CE; ces rayons sont, par rapport à ia perpendiculaire CD, deux obliques égales;
• i€, I. dope ils s'écartent également de la perpendiculaire * ;
donc AD=DB.
