LIVRE If

En second lieu , puisque AD=DB , CG est une perpendiculaire élevée sur le milieu de AB ; donc * tout point de * 17, cette perpendiculaire doit être également distant des deux extrémités A et B. Le point G est un de ces points; donc la distance AG=:BG. Mais si la corde AG est égale à la cbrde GB , l'arc AG sera égal à l'arc GB * ; donc le rayon * pr CG, perpendiculaire à la corde AB, divise Tare sous-tendu par cette corde en deux parties égales ail point G.

Sehêliê. Le centre G , le milieu D de la corde AB , et le milieu G de Tare sous-tendu par cette corde , sont trois points situés sur une même ligne perpendiculaire, à la corde. Or, il suffît de deux points pour déterminer la position d'une ligne droite ; donc toute ligne droite qui passe par deux des points mentionnés , passera nécessairement par le troisième, et sera perpendiculaire à la corde.

Il s'ensuit aussi que la perpendietdaire élevée sur h milieu d'une corde fasse par le centre et par le milieu de Varc sous^ tendu par cette co7*de%

Car cette perpendiculaire n'est autre <)ue celle qui serait abaissée du centre sur la même corde , puisqu'elles pas^nt tontes deux par lé milieu de la corde. *

PROPOSITION vn.

THÊORÊHE.

Par trois points donnés, A, iB, C, non en ligne fig. droite, on peut toujours faire passer une circonférence, mais on n'en peut faire passer qu'une.

Joignez AB , BC , et divisez ces deux droites en deux parties égales par les perpendiculaires D£ , FG ; je dis d'abord que ces perpendiculaires se rencontreront en un point 0.

Car les lignes DE , FG , se couperont nécessairement si elles ne sont pas parallèles. Or supposons qu'elles fussent parallèles ; la ligne AB, perpendiculaire à DE , serait perpendiculaire à FG* , et l'angle K serait droit ; mais BK , * %k prolongement de BD , est différente de BF , puisque les trois points A , B , G , ne sont pas en ligne droite ; donc il

Zi GtoxiTaiB.

y aurait deux perpendiculaires BF, BK, ahaissées d*un

* i5. 1. même point sur la même ligne, ce qui est impossible*; donc

les perpendiculaires DE , FG, se couperont toujours en un point O.

Maintenant le point G, comme appartenant à la perpen-

* J7. 1. diculaire DE, est à égale distance des deux points A et B*;

le même point O, comme appartenant à la perpendioalaire FG, est à égale distance des deux points B, G ; donc les trois dbtances OA , OB, OC, sont égales ; donc la eiroonférence décrite du centre et du rayon OB passera par les tr(HS points donnés A, B, G.

11 est prouvé par^la qu'on peut toujours faire passer une circonférence par trois points donnés , non en ligne droite ; je dis de plus qu'on n'en peut faire passer qu'une.

Car s'il y avait une seconde circonférence qui passai par les trois points donnés A, B, G, son centre ne pourrait

* 17, 1. être hors de la ligne DË'*',pnisqn'alors il serait in^le-

ment éloigné de A et de B ; il ne pourrait être non plus hors de la ligne FG par une raison semblable ; donc il serait à-la-fois sur les deux lignes DE, FG. Or deux lignes droites ne peuvent se couper en plus d'un point ; donc il n'y a qu'une circonférence qui puisse passer par trois points donnés.

Corollaire. Deux circonférences ne peuvent se rencontrer en plus de deux points; car si elles avaient trois points communs , elles auraient le même centre , et ne feraient qu*une seule et même circonférence.

PROPOSITION VUI

TfltoatKl.

Deux cordes égales sont éffitlemeni éloignées du centre ; el de deux cardes inhales, la plus peiUe est la plus éloignée du ventm, r.^'. 53. lo Suit la corde AB ««DE : diviseï ces cordes en deox également par les perpendiculaires CF, CG, el tiiei les rayons G A, Cl).

Los trUnglos mUnglos CAF , DGG» ont les hypoténuses

iivai II.

CA , CD, égales ; de plus le côté AF, moitié de AB, est éigal

au GÔto DGy moitié de DE ; donc ces triangles sont égaux * i8, i.

et le troisième côté GF est égal au troisième GG; donc ,

1° les deox cordes égales AB, DE, sont également ëloignées

du centre.

â*" Soit la corde AH pins grande que DE , l'arc AKH sera plus grand que Tare DME''' : sur l'arc AKH prenez la * pr. ^. partie ANB =DME y tirex la corde AB , et abaisser GF , perpendiculaire sur cette corde, et GI, perpendiculaire sur AH ; il est clair qae GF est plos grand que GO, et GO plus grand que GI"*" ; donc à pins forte raison GF ^ GL Mais ' 16, f . GFssGG , puisque les cordes AB , DE , scmt égales f donc on a GG^GI; donc de deux cordes inégales Irplus petite est la plus éloignée du centre.

PROPOSITION IX

TfltOatHB.

La perpendiculaire BD , menée à rextr&nité du «g. 54. rayon CA, est une tangente à la circonférence.

Gar toute oblique GE est plus longue que la perpendiculaire GA'''; donc le point £ est hors du cercle; donc la * 16, i. L'gne BD n^a que le point A commun avec la circonférence; donc BD est une tangente Méf. a.

Scholie. On ne peut mener par un point donné A qu'une seule tangente AD à la circonférence ; car si on en pouvait mener une autre, cette-ci ne serait plus perpendiculaire au rayon GA; donc, par rapport à cette nouvelle tangente , le rayon GA serait une oblique , et la perpendiculaire, abaissée du centre sur cette tangente, serait plus courte que GA ; donc cette prétendue tangente entrerait dans le cercle, et serait une sécante.

PROPOSITION X

TItOltMB.

Deux parallèles AB, DE, interceptent sur la circon- fig. 55. férence des arcs égaux MN , PQ.

Il peut arriver trois cas :

GtOMtTlII.

1« Si les deax parallèles sont sécantes, menex le rayun eu perpendicolaire à la corde MP, il sera en même temps 1. perpendiculaire à sa parallèle NQ * ; donc le point H sera

* 6. à la fois le milieu de l'arc MHP et celui de l'arc NHQ * ;

on aura donc l'arc MH = HP, et l'arc NH = HQ : delà lésulte MH— NH=HP— HQ, c'est-à-dire MN=PQ.

56. 2* Si des deux parallèles AB , DE , l'une est sécante , l'autre tangente; au point de contact H menex le rayon

• 9. CH ; ce rayon sera perpendiculaire à la tangente DE * ,

et aussi à sa parallèle MP. Hais puisque CH est perpendiculaire a la corde MP, le point H est le milieu de l'arc MHP ; donc les arcs IfH, HP, compris entre les parallèles AB , DE , sont ^aux.

S<» Enfin si les deux parallèles DE , IL , sont tangentes^ l'une en H , l'autre en K, menex la sécante parallèle AB , ▼ous aurez , par ce qui vient d'être démontré , MH=HP et MK=KP; donc l'arc entier HMK=HPR, et de plus on voit que chacun de ces arcs est une demi -circonférence.

PROPOSITION XI, TatoBÈn.

Si deux circonférences se coupent en deux points, la ligne guipasse par leurs centres sera perpendiculaire à la corde qui Joint les points d'intersection, et ta divisera en deux parties égales.

Car lu ligne AB , qui joint les points d'intersection , est ^vî Us oorde commune aux deux ceroles. Or, si sur le milieu de cette corde on élève une perpendiculaire, elle doit *6. passer par chacun des deux centres C et D*. Mais par deux points donnés on no peut mener qu'une seule ligne droite ; dono la ligne droite, qui passe par les centres, sera perpendiculaire sur le milieu de la corde comm«ne.

UTRE II.

PROPOSITION XII

THÉORÈME

Si la distance des deux centres est plus courte que la somme des rayons^ et si en même temps le plus grand rayon est moindre que la somme du plus petit et de la distance des centres ^ les deux cercles se couperont.

Car pour qu'il y ait lieu à intersection , il faut que le triangle CAD soit possible : il faut donc non seulement que CD soit AC + AD , mais aussi que le plus grand rayon 58^. AD soit <^AC + CD. Or , tontes les fois que le triangle CAD pourra être construit y il est clair que les circonférences décrites des centres C et D, se couperont en A et B.

PROPOSITION XIIL

THtORÈHE.

Si la distance CD des centres de deux cercles est égale à la somme de leurs rayons C A , AD , ces deux cercles se toucheront extérieurement.

Il est clair qu'ils auront le point A commun; mais ils n'auront que ce point ; car, pour qu'ils eussent deux points communs , il faudrait que la distance des centres fût plus petite que la somme des rayons.

PROPOSITION XIV

THÉORÈME

Si la distance CD des centres de deux cercles est égale à la différence de leurs rayons CA, AD, ces, deux cercles se toucheront intérieurement.

D'abord il est clair qu'ils ont le point A commun : ils n'en peuvent avoir d'autre ; car pour cela il faudrait que le plus grand rayon AD fût plus petit que la somme faite da rayon AC et de la distance des centres CD''' , ce qui n'a * la. pas lieu.

Corollaire. Donc, si deux cercles se touchent, soit intÂ-

fi#OHftT«ll.

l'ieurcment , soit extérieurement , les centres et le point de ccHitact sont sur la même ligne droite.

tî6o? Scholie. Tons les cercles qui ont lenrs centres sur la droite CD^ et qui passent par le point A, sont tangents les uns aux autres ; ils n'ont entre eux que le seul point A de commun. £t si par le point Aon mène AE peipendiculaire à CD, la droite A£ sera une tangente commune à tous ce» cercles.

PROPOSITION XV

THftORtMl.

fig. 6u Dans te même cercle ou dans des cercles égaux j les angles égaux ACB, DCE» dont le sommet est au centre , interceptent sur la circonférence des arcs égaux AB, DE.

Réciproqu^fnent, si les arcs AB, DE, sont égaux , les angles ACB, DCE, seront aussi égaux.

Car, 1» siFangle ACB est égal à Tangle DCE, ces deux angles pourront se placer l'un sur l'autre ; et comme leurs côtés sont égaux, il est clait que le point A tombera en D, et le point B en E. Mais alors l'arc AB doit aussi tomber sur lare DE; car ai les deux arcs n'étaient pas confondus en un seul , il y aurait dans l'un ou dans l'autre des points inégalement éloignés du centre, ce qui est impossible ; donc l'arc AB=DE.

Si on suppose AB=DE, je dis que l'angle ACB sera égal à DCE ; car si ces angles ne sont pas égaux , soit ACB le plus grand , et soit pris ACI=DCE ; on aura , par ce qui Tient d'être démontré , AI == DE : mais , par hypothèse , l'are AB==DE; donc on aurait AI=AB, ou la partie égale . au tout, ce qui est impossible f donc l'angle ACB=DCE.