LIVRE II

PROPOSITION XVI

TBtORÈHE.

Dans le même cercle ou dans des cercles égaux, si fig. 62. deux angles au centre ACB, DCE, sont entre eux comme deux nombres entiers , les arcs interceptés AB , DE , seront entre eux comfne les mêmes nombres , et on aura cette proportion : angle ACB : angle DCE : : arc AB : arc DE.

Supposons , par exemple , que les angles AGfi , DCE , soient entre eux comme 7 est à 4 ; ou , ce qui revient au même, supposons que 1 angle M, qui servira de commune mesure, soit contenu sept fois dans l'angle ACB , et quatre dans l'angle DCE. Les angles partiels ACm, mCtty nCp, etc. DCxf afCy, etc. , étant égaux entre eux, les arcs partiels Awi, mtty np, etc., Da?, xy, etc. , seront aussi égaux entre eux*; donc l'arc entier AB sera à l'arc entier DE comme * i5. 7 est à 4. Or il est évident que le même raisonnement aurait toujours lieu , quand à la place de 7 et 4 on aurait d^autres nombres quelconques ; donc , si le rapport des angles ACB, DCE, peut être exprimé en nombres entiers, les arcs AB,'DE, seront entre eux comme les angles ACB , DCE.

Sckolïe, Réciproquement, si les arcs AB, DE, étaient entre eux comme deux nombres entiers , les angles ACB , DCE, seraient entre eux comme les mêmes nombres, et on aurait toujours ACB : DCE :: AB : DE ; car les arcs partiels Am, mn, etc., Dx, ^ry, etc., étant égaux, les angles partiels ACm^ mCn, etc. , DC^ , xCy, etc. , sont aussi égaux.

PTOPOSITION XVII.

THÉOaÊHE.

Quel que soit le rapport des deux angles ACB, ACD , fig. 63-. ces deux angles serçnt toujours entre eux comme les arcs AB , AD^ interceptés entre leurs côtés et décrits de leurs sommets comme centres avec des rayons égaux.

GtOKÉTRIB.

Supposons le plus petit angle placé dans le plus grand : 8Î la proposition énoncée n'a pas lieu , l'angle ACB sera à l'angle ÂCD comme l'arc AB est à- un arc plus grund ou phis petit que AD. Supposons cet arc plus grand , et représentons-le par AO, nous aurons ainsi ;

Angle ACB : angle ACD :: arc AB : arc AO.

Imaginons maintenant que l'arc AB soit divisé en parties égales dont chacune soit plus petite que DO , il y aura au moins un point de division entre D et : soit I ce point , et joignons CI ; les arcs AB , AI , seront entre eux comme deux nombres entiers , et on aura en vertu du théorème précédent :

Angle ACB : angle ACI :: arc AB : arc AI.

Rapprochant ces deux proportions l'une de l'autre , et observant que les antécédents sont les mêmes , on en conclura que les conséquents sont proportionnels , et qu'ainsi

Angle ACD ; angle ACI :: arc AO : arc AI.

Mais l'arc AO est plus grand que l'arc AI : il fondrait donc, pour que la proposition subsistât , que l'angle ACD fut plus grand que l'angle AGI ; or, au contraire il est plus petit ; donc il est impossible que l'angle ACB soit à l'angle ACD comme J'arc AB est à un arc plus grand que AD.

On démontrerait par un raisonnement entièrement semblable que le quatrième terme de la proposition ne peut être plus petit que AD; donc il est exactement AD; donc on a la proportion :

Angle ACB : angle ACD :: arc AB : arc AD.

Corollaire. Puisque l'angle au centre du cercle et l'arc intercepté entre ses côtés ont unè telle liaison que quand l'un augmente ou diminue dans un rapport quelconque, l'autre augmente ou diminue dans le même rapport, on est en droit d'établir l'une de oeA grandeurs pour la mesure de l'autre : ainsi nous prendrons désormais l'arc AB pour la mesure de l'angle ACB. Il fout seulement observer, dans la comparaison des angles entre eux , que les arcs qui leur servent de mesure doivent être décrits avec des rayons égaux; c'est ce que supposent toutes les propositions précédentes.

Scholie I. Il parait plus naturel de mesurer une quantité