LIVRE tf

par Hne quantité de la même espèce , et sur ce principe il eonviendrait de rapporter tous les angles à l'angle droit : .ainsi l'angle dtoit étant l'unité de mesure -, un angle aigu serait exprimé par un nombre compris entre et 1 , et un angle obtu» par un nombre entre 1 et S. Maïs cette manière d'exprimer les angles ne serait pas la plus commode dans l'usage ; on a trouvé beaucoup plus simple de les mesurer par des arcs .de eerde , à cause de la facilité de faire des arcs égaux à des arcs donnés , et pour beaucoup d'autres raisons. Au reste, la mesure des angles par les arcs de cercle est en quelque sorte indirecte , il n'en est pas moins facile d'obtenir par leur moyen la mesure directe et absolue ; car si vous comparez l'arc qui sert de mesure à un angle avec le quart de la circonférence, vous aurez lè rapport de l'angle donné à l'angle, droit , ce qui est la mesure absolue.

Scholie II. Tout ce qui a été démontré dans les trois propositions précédentes pour la comparaison des angles avec leurs arcs , a lieu également pour la comparaison des secteurs avec les arcs : car les secteurs sont égaux lorsque les angles le sont, et en général ils sont proportionnels aux aiigles ; donc deux secteurs ACB , ACD, pris dans le même cercle ou dans des cercles égauXy sont entre euS comme les arcs A6 , AD, hases de ces mêmes secteurs.

On voit par-là que les arcs de cercle qui servent de mesure aux angles peuvent aussi servir de mesure aux différents secteurs d'un même cercle ou de cercles égaux.

PROPOSITION XVIII

TBftORÊHE.

L'angle inscrit BAD a pour n^esure la moitié de l'arc ^fes^ BD compris entre ses côtés.

Supposons d'abord que le centre , du cercle soit situé dans l'angle BAD , on mènera le diamètre A£ et les rayons fig- 64. GB) CD. L'angle BCË , extérieur au triangle ABC , est égal à la somme des deux intérieurs CAB, ABC' : mais le*i9it* triangle BAC étant isoscèle , l'angle GAB =; ABC ; donc

4S otoitniB.

Tangle BCE est double de BAC. L'aogle BCE, commo angle au centre, a pour metare l'arc BE; donc l'angle BAC aura pour mesure la moitié de BE. Par une raison semblable, Tangle CAD aura pour mesure la moitié de ED ; donc BAC + CAD ou BAD aura pour mesure la moitié de BE+ED ou la moitié de BD.

fig- 65. Supposons en second lieu que le centre G soit situé hors de Fangle BAD; alors menant le diamètre AE, Fangle BAE aura pour mesure la moitié de BE, l'angle DAE la moitié de DE; donc leur différence BAD aura pour mesure la moitié de BE moins de la moitié de ED, ou la moitié de BD.

Donc tout angle inscrit a pour mesure la moitié de l'arc compris entre ses côtés, fig. 66 CoroUairê I. Tous les angles BAC, BDC, etc., inscrits dans le même segment sont égaux; car ils ont pour mesure la moitié du même arc BOG.

67. II. Tout angle BAD inscrit dans le demi-cercle est un angle droit ; car il a pour mesure la moitié de la demicirconférence BOD , ou le quart de la circonférence.

Pour démontrer la même chose d'une autre manière , tirez le rayon AG; le triangle BAC est isoscèle, ainsi l'an* gle BAGsABG; le triangle CAD est pareillement isoscèle ; donc l'angle CAD=ADC; donc BAC + CAD ou BAD = ABD+ADB. Mais si les deux angles B et D du triangle ABD valent ensemble le troisième BAD , les trois angles du triangle vaudront deux fois l'angle BAD; ils valent d'ailleurs deux angles droits; domc l'angle BAD est un angle droit.

fig 66. III. Tout angle BAC inscrit dans un segment plus grand que le demi-cercle , est un angle aigu ; car il a pour mesure la moitié de l'arc BOG moindre qu'une demicirconférence.

Et tout angle BOG , inscrit dans un segment plus petit que le demi-cerçle, est un angle obtus ; car il a pour mesure la moitié de l'arc BAC plus grande qu'une demi* circonférence.

iîg. 68. IV. Les angles opposés A et G d'un quadrilatère inscrit

LIVBE II. 4â

ABCD, valent ensemblç deux angles droks; car Tangle BAD a pour mesure la moitié de Tare BCD , l'angle BGD a pour mesure la moitié de l'arc BAD ; donc les deux angles BAD , BGD , pris ensemble , ont pour mesure la moitié de la circonférence ; donc leur somme équivaut à deux angles droits.

PROPOSITION XIX

THiOBÈHB.

L'angle BAC, formé par une tangente et une corde y fig. ^. a pour mesure la moitié de Varc AHDC compris entre ses côtés. .

Au point de contact A menez le diamètre AD; l'angle BAD est droit'*' , il a pour mesure la moitié de la demi-cir- *9. conférence AMD , l'angle D AG a pour mesure la moitié de DG ; donc BAD-f DAG ou BAC a pour mesure la moitié de AMD , plus la moitié de DG , ou la moitié de l'arc entier AMDG.

On démontrerait de même que l'angle GAE a pour mesure la moitié de l'arc AG compris entre ses côtés.

Problèmes relatifs auœ detur premiers livres.

PIOBLÈHK PREHIBR.

Diviser la droite donnée AB en deux parties égales, «g- 70- Des points A et B , comme centres , avec un rayon plus grand que la moitié de AB , décrivez deux arcs qui se coupent en D; le point D sera également éloigné des points A et B : marquez de même au-dessus ou au-dessous de la ligne AB un second point £ également éloigné dqs points A et B , par les deux points D et Ë, tirez la ligne DE ; je dis que DE coupera la ligne AB en deux parties égales au point G.

Car les deux points D et E étant chacun également éloignés des extrémités A et B , ils doivent se trouver tous deux dans la perpendiculaire élevée sur le milieu de AB. Mais.

GtOHÉTlIE.

par deux points donnés il ne peut passer qu'une seule ligne droite; donc la ligne DE sera cette perpendiculaire ellemême qui coupe la ligne AB en deux parties égales aa point C.

PBOBLÈHS n.

Cg. 7»- Par un point donné sur la ligne BC, élever une perpendiculaire à cette lign^.

Prenez les points B et G à égale distance de A , ensuite ^ des points B et G , comme centres , et d'un rayon plus grand que BA , décriyez deux arcs qui se coupent en D ; tirez AD qui sera la perpendiculaire demandée.

Car le point D étant également éloigné de B et de G , appartient à la perpendiculaire éleyée sur le milieu de BG; donc AD est cette perpendiculaire.

SchoUe^ La même construction sert à faire un angle droil BAD en un point donné A sur une ligne donnée BG.

PBOBIÈHB III.

r.g. 7a. D'un point A , donné hors de la droite BD, abaisser une perpendiculaire sur cette droite.

Du point A , comme centre , et d'un rayon suffisamment grand, décrivez un arc qui coupe la ligne BD aux deux points B et D ; marquez ensuite un point £ également distant des points B et D , et tirez A£ qui sera la perpendiculaire demandée.

Gar les deux points A et £ sont chacun également distants des points B et D ; donc la ligne A£ est perpendiculaire sur le milieu de BD.

PBOBLÈHB iv.

fig. 73 ^4u point A de la ligne AB, faire un angle égal à l'angle donné K.

Du sommet R, comme centre , et d'un rayon à volonté , décrivez Tare IL terminé aux deux côtés de l'angle ; du. point A , comme centre , et d'un rayon AB égal à RI , décrivez l'arc indéfini BO ; prenez ensuite un rayon égal à la

LITRE n. 45

eorde LI ; <Lu point B , comme centre , et de ce rayon ^ décrivez un arc qai coope en D l'arc indéfini BO ; tirez AD , et rangle DAB sera égal à l'angle donné K.

Car les deux arcs BD , LI , ont des rayons égaux et des cordes égales ; donc Us sont égaux * ; donc l'angle BAD s * 4, IKL.

PBOBLiHK y.

Diviser un angle ou un arc donné en deux parties fig. égales,

1° S'il faut diviser l'arc AB en deux parties égales, des point A et B , comme centres ^ et avec un même raypn , décrirez deux arcs qui se coupent en D ; par le point D et par le centre G tirez CD qui coupera l'arc AB en deux parties égales au point £.

Car les deux points C et D sont chacun également distants des extrémités A et B de la corde AB ; donc la ligne CD est perpendiculaire sur le milieu de cette corde ; donc elle divise l'arc AB en deux parties égales au point * 6,

â° S'il faut diviser en deux parties égales l'angle ACB , on commencera par décrire du sommet C , comme centre , l'arc AB , et le reste comme il vient d'être dit. Il est clair que la ligne CD divisera en deux parties égales Tangle ACB, -

Scholie, On peut, par la même construction , diviser chacune des moitiés AE , £B , en deux parties égales ; ainsi , par des sous-divisions successives , on divisera un angle ou un arc donné en quatre parties égales , en huit , en seize , etc.

PROBLÈME VI

Par un point donné A, mener une parallèle à la fig. ligne donnée BC.

Du point A , comme centre , et d'un rayon suffisamment grand , décrivez l'arc indéfini £0 ; du point £ , comme centre , et du même rayon , décrivez l'arc AF , prenez £D= AF , et tirez AD qui sera la parallèle demandée.

Car en joignant A£ , on voit que les angles alternes AEF ,

GiOlliTBlI.

£ AD , sont égaux ; donc les lignes AD , £F , sont parallè- *a4»i' les*. ,

PROBLÈIB TII.

£g. 76. Deux angles ketJi d'un triangle étant donnés , trouver le troisième.

Tirez la ligne indéfinie DEF , faites an point £ Tangle DEG= A , et l'angle C£H=:B : l'angle restant HEF sera le troisième angle requis ; car ces trois angles pris ensemble valent deux angles droits.

PROBiJùiB ym.

Hg. 77. Étant donnés deux côtés B et C» d'un triangle et Vangle A qu^ils comprennent , décrire le triangle.

Ayant tiré la ligne indéfinie D£ , faites au pointD l'angle EDF égal a l'angle donné A; prenez ensuite DG=By DH=C , et tirez QH ; DGH sera le triangle demandé.

PBOBLtaB IX.

Étant donnés un côté et deux angles dun triangle,

décrire le triangle.

Les deux angles donnés seront ou tous deux adjacents au

côté donné, ou l'un adjacent , l'autre opposé : dans ce der- * pr. 7. nier cas , cherchez le troisième tous aurez ainsi les deux

angles adjacents. Cela posé , tirez la droite DE égale au fig. 78. côté donné , faites au point D l'angle EDF égal à l'un des

angles adjacents , et au point £ l'angle DEG égal à l'autre ;

les deux lignes DF» EG , se couperont en H , et DEH sera le

triangle requis.

PROBLÈME X

Les trois côtés A , B , C , d'un triangle étant donnés , décrire le triangle. / 79* Tirez DE égal aujîôté A; du point £, comme centre , et d'un rayon égal au second côté B , décrirez un arc ; du point D, comme centre, et d'un rayon égal au troisième

LIVBE II.

eôtë C , déorivez un antre arc qui coupera le premier en F; tirez DF, EF, et D£F sera le triangle requis.

Schûlie. Si l'un des côtés était plus grand que la somme des deux autres , les arcs ne se couperaient pas ; mais la solution sera toujours possible , si la somme des deux côtés, ' pris.comme on voudra , est plus grande qne le trrâième.

PROBLÈME XI

Étant donnés deux côtés k et ^ d'un triangle ^ avec Vangle C opposé au côté 'B^ décrire le triangle.

Il y a deux cas : si Tangle G est droit ou obtus , faites fig. 80. l'angle EDF égal à l'angle C ; prenez D£=A ; du point £ , comme «entre , et d^ rayon égal au côté donné B , décrivez un arc qui coupe en F la ligne DF ; tirez ££, et DEF sera le triangle demandé.

Il faut , dans ce premier cas , que le côté B soit plus grand que A , car l'angle C étant droit ou obtus , est le plus grand des angles du triangle ; donc le côté opposé doit être aussi le plus grand.

Si l'angle G est aigu , et que B soit plus grand que A , fig. 81 . la même construction a toujours lieu , et D£F est le triante requis.

Mais si , l'angle G étant aigu , le côté B est moindre que fig. 8a. A , alors l'arc décrit du centre £ avec le rayon £Fs=:;B , coupera le côté DF en deux points F et G /situés du môme côté de D ; donc il y aura deux triangles D£F , DEG, qui satisferont également au problème.

Scholie^ Le problème serait impossible dans tous les cas, si le côté B était plus petit que la perpendiculaire abaissée de £ sur la ligne DF.

PROBLÈME xn.

Les côtés adjacents AetB d'un parallélogramme étant fig. 83. donnés avec l'angle C qu'ils comprennent, décrire le parallélogramme.

Tirez la ligne DE=A , faites au point D l'angle FDEssG, prenez DFs?J3 ; décrivez deux arcs , l'un du point F comme

GÈOMiTin.

centre , et d*un rayon FG=D£ , l'autre du point Ë comme centre , et d'un rayon £G=DF : au point G , où ces deux arcs se coupent, tirez FG, £G ; etDEFG sera le parallélogramme demandé.

Car, par construction , les côtés opposés sont égaux , * 3o, I. donc la figure décrite est un parallélogramme Z**, et ce parallélogramme est formé arec les côtés donnés et l'angle donné.

Corollaire. Si l'angle donné est droit, la figure sera un rectangle; si, de plus, les côtés sont égaux, ce sera un carré.

PBOBLÈmi XIÏI.

Trouver le centre d'un cercle ou d'un arc donné, ^s- ^^ Prenez à volonté dans la circonférence ou dans l'arc trois points A , B , G ; joignez ou imaginez qu'on joigne AB et BC , divisez ces deux lignes en deux parties égales par les perpendiculaires DE , FG ; le point , où ces perpendicu*» laires se rencontrent , sera le centre cherché.

Seholte. La même construction sert à faire passer une circonférence par les trois points donnés A , B 9 G , et aussi à décrire une circonférence dans laquelle le triangle donné ABG soit inscrit.

PROBLÈME XIV

Par un point donné mener une tangente à un cercle donné.

fig. 85. Si le point donné A est sur la circonférence , tirez le rayon G A , et menez AD perpendiculaire à GA ; AD sera *9, a. la tangent^ demandée *.

fig. 86. Si le point A est hors du cercle , joignez le point A et le centre parla ligne droite GA ; divisez G A en deux également au point ; du point , comme centre , et du rayon OC , décrivez une circonférence qui coupera la circonférence donnée au point B ; tirez AB , et AB sera la tangente demandée.

Gar en menant CB , l'angle GBA , inscrit dans le demi-