LITRE II

cercle , est un angle droit * ; donc AB est perpendiculaire à * i8, a. Textrémité du rayon CB , donc elle est tangente.

Seholie, Le point A étant hors du cercle , on voit qu'il y a toujours deux tangentes égales AB , AD , qui passent par le point A : elles sont égales , car les triangles rectangles CBA , CBA ont l'hypoténuse CA commune , et le côté CB=CD ; donc ils sont égaux * ; donc AD = AB , et en * i8, i. même temps l'angle GAD=sGAB.

PROBLÈME XV

Inscrire un cercle dans un triangle donné ABC^ fig. 87.

Divisez les angles A et B en deux également par les lignes AO et BO qui se reitcotitreront eti Q ; du point O abaissez les perpendiculaires OD, 0£, OF, sur les trois côtés du triangle ; je dis que ces perpendiculaires seront égales entre elles ; car, par construction , l'angle DAO = OAF, langle droit ADO=AFO; donc le troisième angle AOD est égal au troisième AOF. D'ailleurs le côté AO est commun aux deux triangles AOD, AOF, et les angles adjacents au côté égal sont égaux ; donc ces deùx triangles sont égaux; donc DO = OF. On prouvera de même que les deux triangles BOD, BOË, sont égaux; donc 0D=:0£, donc les trois perpendiculaires OD , 0£ , OF, sont égales entre elles.

Maintenant si du point O , comme centre , et du rayon OD , on décrit une circonférence , il est clair que cette circonférence sera inscrite dans le trîanjgle ABC ; car le côté AB , perpendiculaire à l'extrémité du rayon OD , est une tangente : il en est de même des côtés BG, AG.

Sçhoh'ê, Les trois lignes qui divisent en deux également les trois angles d'un triangle , concourent en un même point.

PROBLÈME XVI

Sur une droite donnée AB , décrire un segment capa- S^'g^f ble de l'angle donné G , c'est-à-dire , un segment tel que tous les angles qui y sont inscrits soient égaux à V angle donné Ça*

Prolongez AB vers D , faites au point B l'angle DB£=C,

GÉOliTlIB.

tïrêz BO pcrpendicalaire à B£ , et GO perpendicalaire sar le miliea de AB ; du poiot de rencontre O , comme centre , et du rayon OB , décrivez un cercle , le segment demandé sera AMB.

Car puisque BF est perpendiculaire à l'extrémité du rayon OB , BF est une tangente , et l'angle ABF a pour mesure la * 19, 2. moitié de Tare AKB"*" ; d'ailleurs l'angle AMB , comme angle inscrit , a aussi pour mesure la moitié de l'arc AKB , donc l'angle AMB = ABF=EBD = G ; donc tous les angles inscrits dans le segment AMB sont égaux à l'angle donné G.

Scholie. Si l'angle donné était droit , le segment cherché serait le demi-cercle décrit sur le diamètre AB.

pioBitXB xvn,

Cg- 90- Trouver le rapport numérique de deux lignes droites données KR^ CD , si toutefois ces deux lignes ont entre elles une mesure commune^

Portez la plus petite CD sur la plus grande AB autant de fois qu'elle peut y être contenue ; par exemple, deux fois, avec le reste B£«

Portez le reste B£ sur la ligne CD , autant de fois qu'il peut y être contenu, une fois, par exemple, avec le reste DF,

Portez le second reste DiF sur le premier BE , autant de fois qu'il peut y être contenu , une fois , par exemple , avec le reste BG.

Portez le troisième reste BG sur le second DF, autant de fois qu'il peut y être contenu*

Continuez ainsi jusqu'à ce que vouS;ayez un reste qui soit contenu un nombre de fois juste dans le précédent.

Alors ce dernier reste.sera la commune mesure des lignes proposées , et , en le regardant comme l'unité , on trouvera aisément les valeurs des restes précédents et enfin celles des * deux lignes proposées, d'où l'on concluera le rapport en nombres.

Par exemple , si l'on trouve que BG est contenu deux fois jusfe dans FD , BG sera la commune mesure des deux lignes