AXIOMES

l. Deux quantités égales à. unç 4r>,isiiçjC(é \«qnc'4gâîes^

entre elles. - -

â. Le tout est plus grand qbe 'da ^ru^y^t^T S. Le tout est égal à la somme des parties *(&ids lesquelles

il a été divisé. **v *

4. D'un point à unr autre on ne peut mener qu'une seule ligne droite.

5. Deux grandeurs, ligne, surface ou solide, sont égales, lorsqu'étant placées l'une sur l'autre eHes coïncident dans, toute leur «tendue.

6 GÉOHtTRIE.

PROPOSITION PREMIÈRE

THftORÈHI.

H' i6. £es angles droits soni tous égaux entre euœ.

Soit la ligne droite CD perpendiculaire à AB, et GH à EF ; je dis que les angles AGD, EGH seront égaux entre eux.

Prenez les quatre distances égales GA , GB , GE , GF, la distance AB sera égale à la distance EF, et on pourra placer la ligne EF sur AB, de manière que le point E tombe en A , et le point F en B. Ges deux lignes ainsi posées coïncideront entièrement l'une avec Tautre ; car , sans cela , il y aurait deux lignes droites de A en B , ce * ax. 4. qui est impossible , donc le point G, milieu de EF, toml^è^a Mir le point G, milieu de AB. Le côté GE étant ainsi appliqué sur G A, je dis que le côté GH tombera sur CD ; car supposons, s'il est possible, qu'il tombe sur une * déf. 10. ligne GK difiérente de GD ; puisque , par hypothèse *, l'angle E^q'^ = HGF, il faudrait qu'on eût AGK=:RGB. Mais rairgl껫AGK est plus grand que AGD , l'angle KGB est plus peHf qda BGD ; d'ailleurs , par hypothèse , ACD= BC1>; cU)n^^.iÇii*è«t plus grand que KGB; donc la ligne Glf\ûV P(*ut •^o^lij^*^^!' un® ^Z^^ différente de GD; dona-çÙ^ tt>çiB^.flBfr*(î^^ et l'angle EGH sur AGD; donc tous le$**ff^|^l^* djkiifvl^^ égaux entre eux.

\y PROPOSITION II.

THÉORÈEI.

«g 17 Tout^ lignç droite CD, qui en rencontre une autre ABj fait avec celle-ci deuix angles adjacents AGD, BGD, dont la somme est égale à deux angles droits, . :

Au point G y élevez sur AB , la perpendiculaire GE. L'angle AGD est la somme des angles AGE , EGD ; donc AGD -H BGD sera la somme des trois AGE, EGD, BGD. Le premier de ceux-ci est droit, les deux autres font

Livas I. 7

ensemble Tangle droit BGË ; donc la sommo des deux angles AGD , BGD est égale à deux angles droits.

Corollaire I. Si l'un des angles AGD, BGD est droit, l'autre le sera pareillement.

Corollaire IL Si la ligne DE est perpendiculaire à AB , &g. 18. réciproquement AB sera perpendiculaire à DE.

Gar, de ce que DE est perpendiculaire à AB , il s'ensuit que l'angle AGD est égal à son adjacent DGB, et qu'ils sont tous deux droits. Mais de ce que l'angle AGD est un angle droit, il s'ensuit que son adjacent ACE est aussi un angle droit ; donc l'angle AGE==ACD, donc AB est perpendiculaire à DE.

Corollaire III. Tons les angles consécutifs BAG, G AD, fig. 34. D AE , EAF , formés d'un même côté de la droite BF , pris ensemble , valent deux angles droits ; car leur somme est égale à celle des deux angles adjacents BâG, GÂ!I^.

PROPOSITION III

THftORÈMB.

Deux lignes droites qui ont deux points communs coïncident Punê avec Vautre dans toute leur étendue^ et ne forment qu'une seule et même ligne droite.

Soient les deux points, communs A et B; d'abord les fig- 19* deux lignes n'en^ doivent faire qu'une entre A et B , car sans cela il y aurait deux lignes droites de A en B , ce qui est impossible Supposons ensuite que ces lignes étant pro- * ax. 4. longées , elles commencent à se séparer au point G , l'une devenant GD , l'autre CE. Menons au point G la ligne CF, qui fasse avec GA l'angle droit AGF. Puisque la ligne ^ AGD est droite, l'angle FGD sera un angle droit* ; puisque ^o7. i '. la ligne AGE est droite , l'angle FCE sera pareillement un ^ angle droit. Mais la partie FGE ne peut pas être égale au tout FGD ; donc les lignes droites qui ont deux points A et B communs , ne peuvent se séparer en aucun point de leur prolongement; donc elles ne forment qu'une seule et même ligne droite.

GftOMllTRil.

PROPOSITION IV

H' ao. Si deux angles adjacente ACD, DGB, valent ekeemble deux angles droits, les deux cotes extérieurs AC, CB, seront en ligne droite.

Car si GB n'est pas le prolongement de AG , soit GE ce prolongement ; alors la ligne AGE étant droite , la somme *pr. a. des angles AGD, DGE, sera égale à deux droits*. Mais, par hypothèse, la somme des angles AGD, DGB, est aussi égale à deux droits; donc AGD+DGB serait égale à AGDVDGE; retranchant de part et d*autre l'angle AGD , il resterait la partie DGB égale au tqut PGE, ceqni est impossible { donc GB est le prolongement de AG.

' PROPOSITION V

THÉORkMB.

ai. Toutes les fois ^e deux lignes droites AB, DE, se coupent, les angles opposés au sommet sont égaux.

Gar puisque la ligne DE est droite, la somme des angles AGD, AGE, est égale a deux droits; et puisque la ligue AB est droite , la somme des angles AGE, BGE, est égale aussi à deux droits; donc la somme AGD + AGE est éçale à la somme AGE+BGE. Retranchant de part et d'autre le même angle AGE, il restera l'angle AGD égal à son opposé BGE.

On démontrerait de même que l'angle AGE est égal à son opposé BGD. ^

Scholie, Les quatre angles formés autour d'un point par deux droites qui se coupent , valent ensemble quatre angles droits ; car les angles AGE, BGE, pris ensemble. Talent deux angles droits ^ et les deux autres AGD, BGD, ont la môme valeur.

3 3. En général, si tant de droites qu'on voudra GA, BG, etc., sç rencontrent en un point G, la somme de tous les