LIVRE ï

angles consécutifs ACB , BCD, DCE, ECF, FCA, sera égale à quatre angles droits : car si on formait au point C quatre angles droits au moyen de deux lignes perpendiculaires entre elles, le même espace serait rempli, soit par les quatre angles droit», soit par les angles successifs ACB , BCD , etc.

PROPOSITION .VI. V

Deux triangles sont égaux ^ lorsqu'ils ont un angh égal coMpris entre deux côtés égaux chacun à chacun.

àoit l'angle A égal à l'angle D, le côté AB égal à DE, fig, a3. lé côté AG égal à DF ; je dis que les triangles ABC, DEF , seront égaux.

Eu effet , ces triangles peuvent être posés l'un sur l'autre de manière qu'ils coïncident parfaitement. Et d'abord si on place le côté DE sur sou égal AB, le point D tombera en A et le pmnt E en B : mais puisque l'angle D est égal à l'angle A, dès que le côté DE sera placé sur AB, le côté DF preudra la direction AG. De plus DF. est égal à AC; donc le point F tombera en G, et le troisième côté EF couvrira exactement le troisième côté BG ; donc le triangle DEF est égal au triangle ABG*. * aie. 5,

Corollaire, De ce que trois choses sont égales dans deux triangles, savoir, l'angle A =D, le côté AB = DE, et le côté AG=DF( on peut conclure que les trois autres le sont, savoir, l'angle B = E, l'angle G = F, et le côté BG = EF.

PROPOSITION VH.

TBfiOBÈME.

Deux triangles sont égaux, lorsqu'ils ont un câté égal adjacent à deux angles égaux chflcun à chacun..

Soit le côté BC égal au côté EF, l'angle B égal à l'angle fig. 2^ £, et l'angle G égal à l'angle F; je dis que le triangle DEF sera égal au triangle ABC.

10 GiOKtTBIl.

Car, pour opérer la superposition , soit placé EF sur son égal BG, le point E tombera en B, et le point F ed (1 Puisque Tangle E est égal à Tangle B» le côté ED prendra la direction BA; ainsi le point D se tronvera sur quelque point de la ligne BA. De même , puisque l'angle F est égal à l'angle G , la ligne FD prendra la direction GA , et le point D se trouvera sur quelque point du côté GA; donc le point D qui doit se trouver à la fois sur les deux lignes BA, GA, tombera sur leur intersettion A; donc les deux triangles ABG, DEF, coïncident Fun avec Tantre, et sont parfaitement égaux.

Corollaire. De ce que trois choses sont égales dans deux triangles, savoir , BG=EF, B=E, G=F, on peut conclure que les trois autres le sont, savoir, AB=DE, AG=DF, A = D.

PROPOSITION VIII

THÉORÈMfi.

Dans Umt triangle un côté quelconque est plus petit que la somme des deux autres.

Cg. s3. Gar la ligne droite BG , par exemple, est le plus court •déf. 3. chemin de B en G* , donc BG est plus petit que AB-4-AG.

PROPOSITION IX

THÉORÈME

Cg a4- Si d'un point pris au-dedans du triangle ABG, ùn mène aux extrémités dun côté BC les droites QB, OG, la somme de ces droites sera moindre que celle des deux autres côtés AB, AC.

Soit prolongé BO jusqu'à la rencontre du côté AG en * F. 8. D; la ligne droite OG est plus courte que OD+DG* : ajoutant de part et d'autre BO, on aura BO + OG^BO -f-OD-+-DG, ou BO-f-OG<BD-t-DG.

On a pareillement BD <^ BA + ,AD ; ajoutant de part et d'autre DG , on aura BD + DG <^ BA + A.G. Mais on vient de trouver BO+OG<^BD-hDG ; donc à plus forte raison, B0+0G<BA-t-AG.

PROPOSITION X

THÉORÈME

Si lej^ deux côtés AB , AÇ , du^ triangle ABC sont égaux aux deux côtés "DE^ DF, du iriaéigle DEF, chacun fig aS. à chacun; si en même temps l'angle BAC, compris par les premiers y est plus grand que l'angle EDF , compris par les seconds; je dis que le troisième côté BC du premier triangle sera plus grand que le troisième EF du second.

Faites Fangle CAG^D, prenez AG = DE, et joignez CG, le irîkigle GAG sera égal aa triangle DEF, puisqu'ils ont par construction un angle égal compris entre côtés égaux*; on aura donc CG = EF. Maintenant il peut y *pr. 6. avoir trois cas, selon que le point G tombe hors du triangle ABC, ou sur le côté BC ; ou au-dedans du même triangle.

Premier cas. La ligne droite GC est plus courte que fig. a5. Gl + IC, la ligne droite AB est plus courte que AI + IB ; donc GC AB est plus petit que GI AI IG IB , ou , ce qui est la même chose, GC AB < AG -H BC. Retranchant d'ua côté AB et de l'autre son égale AG , il restera GC < BC : or GC=:=EF ; donc on aura EF < BC.

Second cas. Si le point G tombe sur le côté BC, il est «g- a^. évident que GC ou son égale EF sera plus petit que BC.

Troisième cas. Enfin si le point G tombe au-dedans du fig. 27triangle ABC, on aura, suivant le théorème précédent, / , AG GC < AB + BC. Retranchant d'une part AG , et de l'autre «on égale AB , il restera GC < BC , ou EF < BC.

Scholie. Réciproquement, si les deux côtés AB, AC, du triangle ABC sont égaux aux deux côtés DE, DF, du triangle DEF ; si, de plus:, le troisième côté CB du premier triangle est plus grand qye le troisième EF du second , Je dis ^ue l'angle BAC du premier triangle sera plus grand que l'angle EDF du siBcond. .

Car si cm nie cette proposition , il faudra que l'angle' BAC. soit égala EDF, ou qu'il soit plus petit que EDF;

G&OMiTRM.

. 6. dans le premier cas , le côté GB serait égal à EF'''; dans, .le second , GB serait plus petit que ËF ; or l'un et Taatre est contraire à la supposition ; donc l'angle BAG est plus ÇVAnd que EDF.

PROPOSITION XL

Deux triangles sont égaux , lorsqu'ils ont les trois côtés égaux chacun à chacun.

a3. Soit le côté AB=DE , AG =DF , BG=;EF, je dis qu'on aura l'angle A=D, B=E, G = F.

Gar si l'angle A était plus grand que l'angle D, comme les côtés AB, AG, sont égaux aux côtés DE, ]>F, chacun à chacun , il s'ensuivrait , par le théorème précédent , que le côté BG est plus grand que EF; et si l'angle A était plus petit que l'angle D, il s'ensuivrait que le côté BG est plus petit que ËF ; or , BG est égal à EF; donc l'angle A ne peut être ni phis grand ni plus petit que l'angle D; donc il lui est égal. On prouvera de même que Tangle B=E, et que l'angle G = F.

Schoîie, On peut remarquer que les angles égaux sont opposés à des côtés égaux : ainsi les angles égaux A et D sont opposés aux côtés égaux BG, EF.

PROPOSITION XII

THtORÈHB.

Dans un triangle tsoscèle y les angles opposés aux l côtés égaux sont égaux.

a8. Soit le côté AB = AG , je di» q»'on aura l'angle G=sB. ïirez la ligne AD du sommet A au point D, milieu de la hofse BG, les deux triangles ABD, ADG, auront les trois côtés égaux chacun à chacun; savoir AD commun, AB=AG par hypothèse, et BD=DG par construction; donc, en vertu du théorème précédent^ l'angle B est égal à l'angle G.

lîTRt T. lâ

Corollaire. Un triangle équilatéral est en même teny>8 ëqniangle , c'est-à-dire , qu'il a ses atigles égaux.

Scholte. L'égalité des triangles ABD, AGD, prouve en même temps que l'angle BAD=DAG, et que l'angle BDA = ADG ; donc ces deux derniers sont droits ; donc la ligne menée du eommei d'un triangle isoecïle au milieu de ea base, eet perpendiculaire à cette haee^ et diviee l'angle du sommet en deux parties égales.

Dans un triangle non isoscèle on prend indifféremment pour hase un cèté quelconque , et alors son sommet est celui de l'angle apposé. Dans le triangle isoscèle on prenil particulièrement pour base le cêté qui n'est point ^ x a l'un des deux autres.

PROPOSITION XIII

THfioRÈHB. J*^> :^v;

Réciproquement j si deux angles sont égaux dans un triangle y les côtés opposés seront égaux, et le triangle sera isoscèle. -^^^

Soit Pangle ABC = AG^, je dis que le côté AC sera égal au côté AB. \ cU*j n^,

Gar si ces côtés ne sont pas égaux, soit AB le plus grand des d6ux. Prenez BD=AG, et joignez DG. L'angle DBG est, par hypothèse, égal à ACB; les deux côtés DB, BG sont égaux aux deux AC , GB ; donc le triangle DBG* * pr. 6. serait égal au triangle AGB. Mais la partie ne peut pas être égale au' tout; donc il n'y a point d'inégalité entre les côtés AB , AG ; donc le triangle ABG est isoscèle.

PROPOSITION XlV.

THiORÈMB.

De deux côtés d'un triangle , celui-là est le plus grand qui est opposé à un plus grand angle, et réciproquement, de deux angles d'un triangle, celui-là est le plus grand qui est opposé à un plus grand côté.

1" Soit l'angle G > B, je dis que le côté AB opposé fig. 3o.

u ' ' ' ,k GÉOMtTRll.

à l'angle G est plus grand que le côté AG opposé à TangleB. Soit fait l'angle BGD = B ; dans le triangle BDG on «pr. i3. aura"" BD=sDG. Mais la ligne droite AG est plos courte queADH-DC,et AD + DG:^AD-4-DB«:AB; donc AB . est plus grand que AG.

â"" Soit le côté AB > AG, je dis que l'angle G opposé au côté AB sera dIub grand que l'angle B opposé au côté AG.

Gar si on avait G<^B, il s'ensuivrait, par oe qui vient d^étre démontré, AB^AC, ce qui est contre la suppo- * pr. i3. sîtion. Si on avait G= B , il s'ensuivrait * AB as AG , ce qui esl encore contre la supposition ; donc il faut que 'angle G soit plus grand que B.

' i ^ PROPOSITION XV.

S^" jii V TBfiORÈHK.

Rg. 3w D'un point A donné hors d'une droite DE, on ne peut l mener qu une seule perpendiculaire à cette droite.

Gar supposons qu'on puisse ea mener deux AB et AG ; prolongeons l'une d'elles AB d'une quantité BF=AB, et joignons G.

Le triapgle GBF est égal au triangle ABG : c^r l'angle GBF çst\ droit ainsi que CBA, le côté GB est commun, et le *pr. 6. côté BF=AB ; donc ces triangles sout égaux*, et il s'ensuit que Tangle BCF=BCA.. L'angle BCA est droit par hypothèse ] donc l'angle BCF l'e&t aussi. Mais si les aagles adjacents BCA, BGF,. valent ensemble deux «angles droits,

* pr. 4. il faut que la ligne ÂGF soit droite d'où il résulte

qu'entre les deux mêmes points A et F, on pourrait mener

* ax. 4. deux lignes droites ABF, AGF; ce qui est impossible'*'; donc

il est pareillement impossible que deux perpendiculaires soient memées d'un même point sur la même ligne droite. H' 17 * Seholtê. Par un même point G donné sur la ligne AB , il est également impossible de mener deux perpendicalaires à cette ligne : car si GD et GE étaient ces deux perpendiculaires, l'angle DCB serait droit ainsi qué BÇE, et la pai^tie serait égale au tout.