AB : DC : : AC :DE : : BC : CE

PROPOSITION XIX

TSiomloix.

Deux triangle» qui ont les côtés homologues proportionnels ^ sont équiangles et semblables.

fig. 110. Supposons qu'on ait BC:EF: : ABsDE:: AC:DF; je dis que les triangles ABC , DEF, auront les angles égaux, 'savoir, A=D , B=E , C=P.

Faites au point E l'angle F£G=B et au point F l'angle EFG=C, le troisième G sera égal au troisième A, et les deux triangles ABC, £FG, seront équiangles; donc on aura par le théorème furécédent BC : E^: : AB : EG: mais, par hypothèse, BC : EF : : AB : DE ; doncEG=DE. On aura encore , par le même théorème , BC : EF : : AC : FG ; or on a , par hypothèse, BC : EF : : AC : DF ; donc FG=DF ; donc les triangles EGF, DEF, ont les trois côtés égaux chacun à • II, 1. chacun; donc 'ils sont égaux *. Mais , par construction, le triangle EGF est équiangle au triangle ABC; dono aussi les triangles DEF, ABC , sont équiangles et semblables.

LIYBB 111.

. SckoUe I, On voit par ces deux dernières propositions , f que dans les triangles , l'égalité des angles est une suite» do la proportionnalité des côtés, et réciproquement, de sorte qu'âne de ces conditions suffît pour assurer la similitude des triangles. Il n'en est pas de même dans les figures de plus de trois côtés ; car, dès qu'il s'agit seulement des quadrilatères , on peut , sans changer les angles , altérer la proportion des cotés , ou , sans altérer les côtés , changer les angles ; ainsi la proportionnalité des côtés ne peut être une suite de l'égalité des angles , ni vice vertâ. On voit, par fig. exemple , qu'en menant EF parallèle à 6G , les angles du quadrilatère AËFD sont égaux à ceux du quadrilatère ABGD ; mais la proportion des côtés est différente : de même, sans changer les quatre côtSs AB , BG , GD, AD, on peut rapprocher ou éloigner le point B du point D , ce qui altérera les angles.

SehùlieW^ Les deux propositions précédentes qui n'en font proprement qu'une, jointes à celle du carré de l'hypoténuse, sont les propositions les plus importantes et les plus fécondes ' de la géométrie ; elles suffisent presque seules à toutes les applications et à la résolution de tous les problèmes : la raison en est que toutes les figures peuvent se partager en triangles, et un triangle quelconque en deux triangles rectangles. Ainsi les propriétés générales des triangles renferment implicitement celles de toutes les figures.

PROPOSITION XX

THioRtn.

Deux triangles qui ont un angle égal compris entre côtés proportionnels , sont semblables.

Soit l'angle A=D , et supposons qu'on a'ABrDE.'.-AGrDF; figje dis que le triangle ABG est semblable à DEF.

Prenez AG=sDE et menez GH parallèle à BG: l'angle AGH sera égal à l'angle ABG ; et le triangle AGH sera ** a4 équiangle au triangle ABG; on aura donc AB:AG::AG:AH; mais, par hypothèse, AB:DE::AG:DF, et par construction AG=D£, donc AH=DF. Les deux triangles AGH , DEF,

GÉOHÊTRIK.

ont donc an angle ëgal compris entre côtés égaux; donc ils sont égaux. Or le triangle AGH est semblable à ABC ; donc BEF est aussi semblable à ABC.

PROPOSITION XXI

THÊOatHB.

Deux triangles qui ont les côtés homologues parallèles, ou qui les ont perpendiculaires chacun à chacun , sont semblables.

fig. 1 a3. Car, l"» si le côté AB est parallèle à DE , et BG à EF, Fan-

• a7» 1. gle ABC sera égal à DEF * ; si de plus AC est parallèle à

DF, l'angle ACB sera égal à DFE , et aussi BAC à EDF : donc les triangles ABC , DEF, sont équiangles ; donc ils sont semblables*

fig i>4- S** Soit le côté DE perpendiculaire à AB , et le côté DF à AC; dans le quadrilatère AIDH les deux angles I et H seront droits ; les quatre angles valent ensemble quatre angles

* 10, 1. droits ; donc les deux restants lAH, IDH, valent deux

angles droit. Mais les deux angles EDF, IDH , valent aussi deux angles droits ; donc Fangle EDF est égal à lAH ou BAC : pareillement si le troisième côté EF est perpendiculaire au troisième BC, on démontrera que l'angle DFE = C, et DEF=B; donc les deux triangles ABC, DEF, qui ont les côtés perpendiculaires chacun à chacun , sont équiangles et semblables.

Scholie, Dans le cas des côtés parallèles , les côtés homologues sont les côtés parallèles , et, dans celui des côtés perpendiculaires , ce sont les côtés perpendiculaires. Ainsi, dans ce dernier cas, DE est homologue à AB, DF à AC, et EF à BC.

V Le cas des côtés perpendiculaires pourrait offrir une situation relative des deux triangles , différente de celle qui est supposée dans la fig. Iâ4 ; mais l'égalité des angles respecti£s se démontrerait toujours , soit par des quadrilatères tels que AIDH , dont deux angles sont droits, soit par la comparaison de deux triangles qui , avec des angles opposés au sommely auraient lâtaofin un angle droit : d'ailleurs , on pourrait iMi toppCMT ^'on a construit au dedans du triangle