LIVRE III

ABC un triangle DEF, dont les côtés seraient parallèles à ceux du triangle comparé à ABC , et alors la démonstration rentrerait dans le cas de la fîg. 124.

PROPOSITION XXII

THiORÈMB.

Les lignes AF, AG, etc. , menées comme on voudra fig* laS. par le sommet d^un triangle, divisent proportionnellement la base BG et sa parallèle DE , de sorte qu'on a 1)I:BF::IK:FG::KL:GH, etc.

Car, puisque DI est parallèle à BF, le triangle ADI est éqniangle a ABP , et on a la proportion DI : BF : : AI : AF ; de même IK étant parallèle à FG , on a AI:AF::IK:FG; donc , à eause du rapport commun AI : AF, on aura DI : BF : : IK : FG. On tronrera semblablement IK : FG : : KL : GH , etc. ; donc la ligne DE est diviâée aux points I, K, L, comme la base BG l'est aux points F, G , H.

Corollaire, Donc , si BC était divisée en parties égales aux points F, G, H, la parallèle DE serait divisée de même en parties égales aux points I , K , L.

PROPOSITION XXIIL

THÉOEÈMS.

Si de l'angle droit A d'un triangle rectangle on abaisse fig. ia6. la perpendiculaire AD sur l'hypoténuse:

1° Les deux triangles partiels ABD, ADC , seront semblables entre eux et au triangle total ABC ;

2** Chaque côté AB ou AC sera moyen proportionnel entre l'hypoténuse BC et le segment adjacent BD ou DC ;

3** La perpendiculaire AD sera moyenne proportionnelle entre les deux segments BD , DC. '

Car, 1® le triangle BAD et le triangle BAC ont l'angle commun B ; de pins Tangle droit BDA est égal à l'angle droit BAC; donc le troisième angle BAD de l'on est égal au troisième C de Vautre ; donc ces deux triangles sont équian-

GtOMÉTftlB.

gles et semblables. On démontrera de même que le triangle DAGest semblable au triangle BAC ; donc les trois triangles sont éqaiangles et semblables entre eux.

S** Puisque le triangle BAD est semblable au triangle BAC, lenrs côtés homologues sont proportionnels. Or, le côté BD dans le petit triangle est homologue à BA dans le grand , parce qu'ils sont opposés à des angles égaux, BAD, BGA; Thy poténuse BA du petit est homologue à Thypoténuse BC du grand ; donc on peut former la proportion BD : BA ::BA : BC. On aurait de la même manière DC : AC : : AG : BC ; donc , 2^ chacun des côtés AB , AC , est moyen proportionnel entre Thypoténuse et le segment adjacent à ce côté.

Enfin , la similitude des triangles ABD , ADC , donne, en comparant les cotés homologues , B]> : AD : : AD : DC ; donc, 8® la perpendiculaire AD est moyenne proportionnelle entre les segments BD , DC de l'hypoténuse.

- Scholie, La proportion BD : AB : : AB : BC donne , en

égalant le produit des extrêmes à celui des moyens • AB^

BDxBC. On a de mémeÂÎG'=DCxBC ; doncAB+ÂC^ BD X BC4- DC X BC ; le second membre est la même chose

que (BD+DC) x BC, et il sè réduit à BC x BC ou BC ; donc

on a AB+AC = BC ; donc le carré fait sur l'hypoténuse BC est égal à la somme des carrés faits sur les deux autres côtés AB , AC. Nous retombons ainsi sur la proposition du carré' de l'hypoténuse par une voie très-différente de celle que nous avions suivie ; d'où l'on voit qu'à proprement parler, la proposition du carré de l'hypoténuse est une suite de la proportionnalité des côtés dans les triangles équiangles. Ainsi lès propositions fondamentales de la géométrie se réduisent, pour ainsi dire , à celle-ci seule, que les triangles équiangles ont leurs côtés homologues proportionnels.

Il arrive souvent, comme on vient d'en voir Un exemple, qu'en tirant des conséquences d'une ou de plusieurs propositions , on retombe sur des propositions déjà démontrées. En général , ce qui caractérise particulièrement les théorèmes de géométrie , et ce qui est une preuve invincible de

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leur certUude , c'est qn'eo les combinant ensemble d'une manière quelconque , pourvu qu'on raisonne juste , on tombe toujours sur des résultats exacts. Il n'en serait pas de même si quelque proposition était fausse, ou n'était vraie qu'à peu près ; il arriverait souvent que , par la combinaison des propositions entre elles , l'erreur s'accroîtrait et deviendrait sensible. (Test ce dont on voit des exemples dans toutes les démonstrations où nou^ nous servons de la réduction h l'abêurde. Ces démonstrations , où l'on a pour but de prouver que deux quantités sont égales, consistent à faire voir que , s'il y avait entre elles la moindre inégalité, on serait conduit par la suite des raisonnemens à une absurdité manifeste et palpable ; d'où l'on est oblige de conclure que ces deux quantités sont égales.

Corollaire, Si d'un point A de la circonférence on mène fig. les deux cordes AB, AG , aux extrémités du diamètre BG , le triangle BAG sera rectangle en A donc , 1® laperpen- " i8 diculaire AD esi moyenne proportionnelle entre les deux eeg^ mentt BD, DC , du diamètre, ou , ce qui revient au même ,

le carrré AD est égal au rectangle BD X DC.

La corde AB est moyenne proportionnelle entre le diamètre BG et le eegment adjacent BD , ou ce qui revient au

même , AB^BD x BC. On a semblablement AC4=:GD x BC ;

donc AB : AG : : BD : DC ; et si on compare AB à BG , on

aura AB:BC::BD:BC ; on aurait de même AG:BC'::DG:BG. Ces rapports des carrés des côtés , soit entre eux, soit avec le carré de l'hypoténuse, ont été déjà donnés dans les corol. III et IV de la prop. xi.

PROPOSITION XXIV

THÉORÈME

Deux triangles qui ont un angle égal sont entre eux comme les rectangles des côtés qui comprennent Vangle Hégal. Ainsi le triangle ABC est au triangjer AJ^E comme le rectangle AB x AC est au rectangle AD x AE.

GiOHtTBIE.

Tirez BE ; les deux triangles A6E , ADE , dont le sommet commun est E , ont môme hauteur, et sont entre eux * 6. comme leurs bases AB, AD donc,