AG:DF::AG;DF

il en résultera,

' 'ABxAG:DExDF::AC':DF'

Donc ,

ABG:DEF::AC:DF." Donc deux triangles semblables , ABG , DEF, sont entre

lIVRB Ilï. 77

eux comme les carrés des côtés homologues ÂG, DF, ou comme les carrés de deux autres côtés homologues quelconques.

PROPOSITION XXVÏ.

THÉOEÈMB.

Deux polygones semblables sont composés d'un m^ne nombre de triangles semblables chacun à chacun et semblablement disposés.

Dans le polygone A6GDE , menez d'un même angle A les fig. i diagonales AG , aux autres angles. Dans Fautre polygone FGHIK , menez semblahlement de Tangle F homologue à A , les diagonales FH , FI aux autres angles.

Puisque les polygones sont semblables , l'angle ABC est égal à son homologue FGH et de plus les côtés AB , BG, * déf. sont proportionnels aux côtés FG , GH ; de sorte qu'on a AB : FG::BG : GH. Il suit de là que les triangles ABC, FGH, ont un angle égal compris entre côtés proportionnels ; donc ils sont semblables* ; donc l'angle BGA est égal à GHF. Ces * ao. angles égaux étant retranchés des angles égaux BGD , GHI, les restes AGD , FHI seront égaux : mais puisque les triangles ABC , FGH sont semblables , on a AG : FH : : BG : GH ; d'ailleurs , à cause de la similitude des polygones *, BG : déf. a GH::GD:HI; donc AG: FH::GD :HI : mais on a déjà vu que l'angle AGD=FHI; donc les triangles AGD , FHI, ont un angle égal compris entre côtés proportionnels , donc ils sont semblables. On continuerait de même à démontrer la similitude des triangles suivants, quel que fût le nomibre des côtés des polygones proposés; donc deux polygones semblables sont composés d'un même nombre de triangles semblables et semblahlement disposés.

Scholie, La proposition inverse est également vraie : Si deux polygones sont composée Hun même nombre de trianglee semhlahlee et semblahlement disposés ^ ces deus polygones seront semblables.

Car la similitude des triangles respectifs donnera l'angle ABG=FGH, BGA=GHF, ACD=FHI; doncBCD=GHI,

GtOVtTBIB.

de même GDE = HIK, etc. De plus, on aura AB:FG: : BG : GH : : AG : FH : : CD : HI, etc.; donc les deux polygones ont les angles égaux et les côtés proportionnels ; donc ils sont semblables.

PROPOSITION XXVII

Titoaisi.

Lèé contours ou périmètres des polygones semblables sont comme les côtés homologues , et leurs surfaces sont comme les carrés de ces mêmes côtés.

39- Gar, 1^ puisqu'on a , par la nature des figures semblables , AB : FG : 3 BG : GH : : GD : HI, etc. , on peut conclure de cette suite de rappojjls égaux : La somme des antécédents AB+BG+GD , etc., périmètre de la première figure, est à la somme des conséquents FG+GH+HI, etc., périmètre de la seconde figure , comme un antécédent est à son conséquent , ou comme le côté AB est à son homologue FG. 2"* Puisque les triangles ABG, FGH sont semblables , on

25. a * ABG : FGH :: AG* : FH*; de même les triangles semblables AGD, FHI, donnent AGD : FHI :: ÂG\- FH'; donc, à cause du rapport commun AG' : FH*, on a

ABG : FGH :: AGD : FHI.

Par un raisonnement semblable on trouverait AGD. FHI:: ADE:FIK;

et ainsi de suite , s*il y avait un plus grand nombre de triangles. De cette suite de rapports égaux on conclura : La somme des antécédents ABG+AGDh-ADE, ou le polygone ABGDË, est à la somme des conséquents FGH + FHI + FIK, ou au polygone FGHIK, comme un antécédent ABC est à son conséquent FGH, ou comme ÂB* est à FG*; donc les surfaces des polygones semblables sont entre elles comme les carrés des côtés homologues.

Corollaire. Si on construit trois figures semblables dont les côtés homologues soient égaux aux trois côtés d'un