OB : OC :: OD : OA

Corollaire, Donc le rectangle OA X OB , est égal au rectangle OGxOD.

GÊOMftTBIB.

ÏEOBLftlB XIY.

Deux figures semblables étant données , construire une figure semblable qui soit égale à leur somme au à leur différence.

Soient A et B deux côtés homologues des figures données, cherchez un carré égal à la somme ou à la différence des carrés faits sur A et B ; soit X le côté de ce carré , X sera dans la figure cherchée le côté homologue à A et B dans les figures données. On oonstruira ensuite la figure elle-même par le problème précédent.

Car les figures semblables sont comme les carrés des côtés homologue^; or, le carré du côté X est égal à la somme ou à la différence des carrés faits sur les côtés homologues A et B ; donc la figure faite^ sur le côté X est égale à la somme ou à la différence des figures semblables faites sur les côtés A ei B.

rftOBLÈHB XV.

Construire une figure semblable à une figure donnée, et qui soit à cette figure dans le rapport donné deJlà^» Soit A^un côté de la figure donnée, X le côté homologue dans la figure cherchée ; il faudra que le carré de X soit au * 27. carré de A comme M est à N *^ On trouvera donc X par le problème xn ; connaissant X, le reste, s'achèvera par le problème xin.

PBOBLÈMB XVI.

i5i. Construire une figure semblable à la figure P et équivalente à la figure Q. .

Cherchez le côté M du carré équivalent à la figure P , et le côté N du carré équivalent à la figure Q. Soit ensuite X une quatrième proportionnelle aux trois lignes données M, N, AB; sur le côté X, homologue à AB, décrivez une figure semblable à la figure P; je dis qu'elle sera de plus équivalente a la figure Q.

Car en appeknt Y la figure faite sur le côté X, on aura

UYBK iir.

P ; Y :: AB : X; mais , par construction , AB : X :: M : N ,

OU AB : X :: M : N ; donc P : Y :: M : N. Mais on a aussi, par construction , M'=P et N'=Q ; donc P : Y :: P : Q; donc Y=Q ; donc la figure Y est semblable à la figure P, et équivillente à la figure Q.

PIOIUSHK XYU.

Cansfrutre un rectangle équivalent à un carré donné Sg. is%, C , et dont les côtés adjacens fassent une somme donnée AB.

Sur AB , comme diamètre, décrivez une demi-circonférence, menez parallèlement au diamètre la ligne D£ à une distance AD égale au côté du carré donné G. Du point Ë , où ]a parallèle coupe la circonférence , abaissez sur le diamètre la perpendiculaire EF ; je dis que AF et FB seront les côtés du rectangle cherché.

Car leur somme est égale à AB ; et leur rectangle AF x FB est égal au carré de £F ou au carré de AD ; donc ce * a5. rectangle eat équivalent au carré donné G.

Scholie, Il faut , pour que le problème soit possible , que la distance AD n'excède pas le rayon., c'est-à-dire que le côté du carré G n^excède pas la moitié de la ligne AB.

PaOBLtHB XTIII.

Construire un rectangle équivalent à un carré C, c^fig. i53. dont les côtés adjacens aient entre eux la différence donnée AB.

Sur la ligqe donnée AB , comme diamètre , décrivez und circonférence ; à l'extrémité du diamètre , menez la tangente AD égale au côté da carré G : par le point D et le centre tirez la sécante DE; je dis que DE et DF seront les côtés adjacens du rectangle demandé.

Car 1<» la difierence de^es côtés est égale au diamètre EF

ou AB ; 2» le rectangle DE x DF est égal à AD**; donc ce • 3p. rectangle sera équivalent au carré donné C.

92 OtOKÉTBIl.

PIOBLilE XIX,

Trouver la commune mesure^ y en a une, entre la diagonale et le côté du carré.

fig. 154. SoitÂBGG un carré quelconque , AG sa £agonale. prob. 17 II ^^^^ d'abord porter GB sur CA autant de fois qu'il peut %. liv. y ^^jQ contenu et pour cela, soit décrit du centre G et du rayon ÇB le demi-cercle DBE : on sait que GB est contenu une fois dans AG avec le reste AD , le résultat de la première opération est donc le quotient 1 ayec le reste AD, qu'il faut comparer avec BG ou son égale AB.

On peut prendre AF=AD , et porter réellement AF sur AB ; on trouverait qu'il y est contenu deux fois avec un reste : mais comme ce reste et les suivans vont en diminuant, et que bientôt ils échapperaient par leur petitesse , ce ne serait là qu'un moyen mécanique imparfait , d'oà l'on ne pourrait rien conclure pour décider si les lignes AG, GB, ont entre elles ou n'ont pas une commune mesure : or il est un moyen très-simple d'éviter les li^es décroissantes , et de n'avoir à opérer que sur des lignes qui restent toujours de la même grandeur.

En effet , l'angle ABG étant droit , AB est une tangente ,

* 3o. et AE une sécante menée du même point , de sorte qu'on a""

AD:AB:: AB:AE. Ainsi dans la seconde opération, où il s'pgit de comparer AD avec AB , on peut , au lieu du rapport de AD à AB , prendre celui de AB à AE : or AB ou son égale GD est contenue deux fois dans AE avec le reste AD ; donc le résultat de la seconde opération est le quotient 2 avec le reste AD qu'il faut comparer à AB.

La troisième opération , qui consiste à comparer AD avec AB, se réduira de même à comparer AB ou son égale GD avec AE , et on aura encore 2 pour quotient et AD pour reste.

De là on voit que l'opération ne sera jamais terminée , et qu'ainsi il n'y a pas de commune mesure entre la diagonale et le côté du carré : vérité qui était déjà connue par l'arith-

• II. métique (puisque ces deux lignes sont entre elles :; \/ 2:1)*,

LITME III.

mais qui acquiert un plus grand degré de clarté par la résolution géométrique.

SchoUe. Il n'est donc pas possible non plus de trouver en nombres le rapport exact de la diagonale au côté du carré ; mais on peut en approcher tant qu'on voudra au moyen de la fraction continue qui est égale à ce rapport. La première opération a donné pour quotient 1 ; la seconde et toutes les autres à l'infini donnent 2 : ainsi la fraction dont il s'agit estl+.,

etc. à l'infini.

Par exemple , si on calcule cette fraction jusqu'au quatrième terme inclusivement , on trouve que sa valeur est 1 ^ ou 4^ ; de sorte que le rapport approché de là diagonale au côté du carré est : : 41 : 29. On trouverait un rapport plus approché en calculant un plus grand nombre de termes.