LES POLYGONES RÉGULIERS, ET LA MESURE DU CERCLE

OÉriNITION.

Un polye^nd qui est i ia fois éqaiangle et ëqnilatéral , «'appelle polygone règîdiê9/'.

Il y a des polygones réguliers de fout nombre de côtés. Le triangle éqnilatëral est celui de trois c6tës ; et le càrré, eelui de quatre.

PROPOSlTIOif PREMIÈRE.

THÉORftHB.

Deux polygones réguliers d'un même nombre de côtes sont deux figures semblables.

fig. i55. Soient, par exemple, les deux hexagones réguliers XBCDEF, abcdef; la somme des angles est la même dans Tune et dans Tautre figure; elle est égale à huit angles *a8, 1. droits *. L'angle A est la sixième partie de cette somme aussi bien que l'angle a; donc les deux angles A et a sont égaux ; il en est par conséquent de même des angles B et b, des angles CetCy etc.

De plus, puisque par la nature de ces polygones les côtés AB, BC, CD, etc., sont égaux, ainsi que àby hc, cd, etc., il est clair qu'on a les proportions AB:a^::BC: hc:iQX>i cd, etc. ; donc les deux figures dont il s'agit ont les angles égaux et les côtés homologues proportionnels ; * *ifv ^3.* ^^^^ semblables *.

Corollaire. Les périmètres de deux polygones réguliers d'un même nombre de côtés sont entre eux comme les

LITRE lY.

c6të9 homologues , et leurs aorfiaces sont comme les carrës

(le ces mêmes côtés *, * 27, 3.

Sehûlie, L'angle d'un polygone régulier se détermine par le nombre d^ ses côtés comme celui d'un polygone équiangle * 20, i.

^ PROPOSITION II

Tout polygone régulier peut être inscrit dans le cercle, et peut lut être circonscrit.

Soit ABGDË, eto. « ïe porygone dont U s'agii, imagines fig. i56. qu'on fasse passer une circonféreince par leë trois points B , G ; soit O son centre^ et OP la perpefidiculaire abaissée sur le milieu du cité BG ; jo%uez AO ei OD .

Le quadrilatère OPCD et le quadrilatère OPBA peuvent être superposés : en effet le côté OP est commun , l'angle * OP(k=OPB, puisqu'ils sont droits; donc le tsèté PG s'appliquera sur son égal PB, et le point G tombinra en B* De plus, par la nature du polygone , l'angle PGD=sPB A , donc GD prendra le direction BA , et puisque GD=BA , le point D tombera en A, et les deux quadrilatères coïncideront entièrement l'un avec l'autre. La distance OD est donc égale à AO , et par conséquent la circonférence qui passe par les trois points A , B , C , paAsera aussi par le point D : mais , par un raisonnement semblable , on prouvera que la circonféi^nce qui passe par les trois sommets B, G, D, passera par le sommet suivant Ë, et ainsi de suite; donc la même circonférence qui passe pàr les. points A, B/C, passe par tous les sommets des angles du polygone , et le polygone est inscrit dans cette circonférence.

En second li^u , par rapport a cette circonférence , tous les côtés AB, BG , GD ^ etc., sont des cordes égales ; elles sont donc également éloignées du centre *^ donc si du point * 8,a . 0, comme centre , et du rayon OP, on dé^t une circonférence , cette circonférence touchera le côté BG et tous les autrea côtés du polygone, chacun dans son milieu, et la^

96 eftOMÈTRIB.

circonférence sera inscrite dans le polygone, ou le polygone circonscrit a la circonférence.

Scholie I. Le point O, centre commun du cercle inscrit et du cercle circonscrit , peut être regardé aussi comme le centre du polygone , et par cette raison on appelle angle au centre y l'angle AOB formé par les deux rayons menés aux extrépiités d'un même côté AB.

Puisse toutes les cordes AB, BG, etc., sont égales, il est clair que tous les angles au centre sont égaux, et qu'ainsi la valeur de chacun se trouve en divisant quatre angles droits par le nombre des côtés du polygone.

Scholie II. Pour inscrire un polygone régulier d'un certain nombre de côtés dans une circonférence donnée, il ne s^agit que de diviser la circonférence en autant de parties 6g. i58. égales que le polygone doit avoir de côtés; car, les arcs étant égaux, les cordes AB, BG, CD, etc., seront égales; les triangles ABO, BOG , GOD , etc. , seront égaux aussi, parce qu'ils sont équilatéraux entre eux; donc tous les angles ABG, BGD, GDE, etc. , seront ^ux ; donc la figure ABCDE, etc., sera un polygone régulier.

PROPOSITION III

• Inscrire un carré dans une circonférence donnée. fis. 157. Tirez deux diamètres AG , BD , qui se coupent à angles droits ; joignez les extrémités A, B, G, D, et la figure ABCD sera le carré inscrit : car les angles AOB, BOG, etc., étant égaux, les cordes AB, BG, etc., sont égales.

Scholie, Le triangle BOG étant rectangle et isoscèle , on * II» 3. a BG : BO :: ^ â. 1 ; donc U côté du carré inscrit est au rayon comme la racine carrée de ^ est à r unité.

PROPOSITION IV

PBOBLftHS.

Inscrire un hexagone régulier et un triangle équilatéral dans une circonférence donnée, fig- i58. Supposons le problème résolu , et soit AB un côté de

LIVEE IV.

rhexagone inscrit ; si on mène les rayons AO, OB , je dis que le triangle AOB sera équilatéraL

Car l'angle AOB est la sixième partie de quatre angles droits ; ainsi en prenant Tangle droit pour unité, on aura AOB=|=^ : les deux autres angles ABO, BAO, du même triangle Talent ensemble 2 — f ou |, et comme ils sont égaux, chacun d'eux =|, donc le triangle ABO est ëquilatérai ; donc le côté de Fhexagone inscrit est égal au rayon.

n suit de là que pour inscrire un hexagone régulier dans une circonférence donnée , il faut porter le rayon six fois sur la circonférence, ce qui ramènera au même point d'où on était parti.

L'hexagone ABGDËF étant inscrit, si Ton joint les sommets des angles alternatiTement , on formera le triangle équilatéral AGE.

Scholie. La figure ABGO est un parallélogramme et même un losange, puisque AB=BG=s:GO=:AO ; donc * la somme ' i4> 3.

des carrés des diagonales AG+BO, ést égale à la somme des

carrés des côtés , laquelle est 4 AB ou 4 BO ; retranchant

de part et d'autre BO, il restera AG^sS BO ; donc AG : BO :: . 3 : 1, ou AG : BO :: |/ 3 : 1 ; donc UeéU du triangle équilaièral in»erit ê»t au rayon comme la racine .carrée de h cet k Vunifé,

PROPOSITION V

PBOBLteS.

Inscrire dans un cercle donné un décagone régulier, ensuite un pentagone et un pentédécagone.

Divisez le rayon AO en moyenne et extrême raison au Og. iSg. point M *, prenez la corde AB égale au plus grand seg- * p*^J**ment OM, et AB sera le côté du décagone régulier qu'il faudra porter dix fois sur la circonférence.

Gar en joignant MB, on a par construction AO : OM : : OM : AM; ou, à cause de AB=OM, AO : AB : : AB : AM; donc les triangles ABO, AMB, ont un angle commun A compris entre côtés proportionnels; donc ils sont sem-

GtoatTMIE.

blables Le triangle OAB est isoscèle , donc le triangle AMB Test aassi , et on a AB = BM : d'aillears AB =s OM ; donc aossi MBssOM ; donc le triangle BMO est isOBoèle. L'angle AMB , extérieur au triangle i808cèle BMO , est 19» I. double de Tintërieur *; or Tangle AMB=MAB; donc le triangle OAB est tel que chacun des angles à la base, OAB ou OBA, est double de Tangle au sommet ; donc les trois angles du triangle valent cinq fois l'angle O, et ainsi l'angle est la cinquième partie de deux angles droits , ou la dixième de quatre : donc l'arc AB est la dixième partie 4e la circonférence , et la corde AB est le côté du décagone régulier.

Corollaire L Si on joint de deux en deux les sommets du décagone régulier, on formera le pentagone régulier AGEGL

Corollaire IL AB étant toujours le côté du décagone, soit AL le côté de l'hexagone; alors l'arc BL sera, par rapport à la eircoâférence, ^ — ou -y; donc la corde BL sera le côté du pentédécagone ou polygone régulier de 15 côtés. On voit en même temps que l'arc CL est le tiers de GB.

Scholie, Un polygone régulier étant inscrit , si on divise les arcs sons-tendus par ses côtés en deux parties égales , et qu'on tire les cordes des dêrai««rcs , celles-ci formeront un nouveau polygone régulier d'un nombre de côtés double : ainsi on voit que le carré peut sertir à inscrire successivement des polygones réguliers de 8, 16, ^% etc., côtés. De même l'hexagone servira à inscrire des polygones réguliers de 12, 24, -48, etc., côtés; le décagone, des polygones de 20, 40, 80, etc., côtés; le pentédécagone , des polygones de 80, 60, 120, etc., côtés (1).

PROPOSITION VI

PBOBLtME.

«g. 160, Étant donné le polygone réffUiter inscrit ABCD , etc, circonscrire à la même circonférence un polygone semblable.

(l) On a cru long-temps que ces polygones étaient les seuls qui pussent être inscrits par les procédés de la^géométrie élémentaire ^ ou, ce

UVRK IT.

Au point T, mâieu de l'arc AB , venez la tangente GH, qui sera parallèle à AB'*' ; faites la même chose au milieu de * lo, s. chacun des autres arcs BG , CD , etc. ; ces tangentes formeront par leurs intersections le polygone régulier circonscrit GHIK , etc. , semblable au polygone inscrit.

Il est aisé de voir d'abord que les trois points 0, B, H, sont en ligne droite^ car les triangles rectangles OTH, OHN, ont l'hypoténuse commune OH , et le côté OTas(^; donc ils sont égaux * ; donc l'angle TOUaHON , et par * i8, i. conséquent la Hjgne OH passe par le point B milieu de l'arc TN : par la même, raison le point I est sur le prolongement de OC , etc. Mais , puisque GH est parallèle à AB.et HI à BG, l'angle GHI = ABG'^; de même HIKeaBGD, etc.; * >6, i. donc les angles du polygone circonscrit sont égaux à. ceux du polygone inscrit. De plus , à cause de ces mèmes: parallèles, on a GH : AB :: OH : OB, et HI: BG OH:OB; donc GH:AB::HI:BG. Mais AB=:BG, donc GHsHI.

Par la même raison HI = IS. « etc. ; donc les côtés du polygone circonscrit sont égaux entre eux ; donc oe polygone est régulier et semblable an polygone inscrit.

Corollaire I. Réciproquement , si on donnait le polygone circonscrit GHIK, etc. , et qu'il fallut tracer par son moyen le polygone inscrit ABG, etc. , on voit qu'il sufiirait de mener aux sommets G , H , I, etc. , du polygone donné les lignes OG , OH , etc. , qui rencontreraient la circonférence aux points A , B , G , etc. ; on joindrait ensuite ces points par les cordes AB , BG, etc., qui formeraient le polygone inscrit. On pourrait aussi , dans le même cas , joindre tout simplement les points de contact, T, N, P, etc. , par les cordes TN , NP , etc. , ce qui fortnerait également un polygone inscrit semblable au circonscrit.

Corollaire II. Donc on peut circonscrire à un cercla donné

qui revient au même , par la résolution des équations du premier et du secoad degré : mais H. Gauas a prouvé, dans son ouvrage intitulé Disquiaitioneê ArithmeHçœ, Lipêi/Bf 1801, qu'on peut inscrire par de semblables moyens le polygone régulier de dix-sept côtés, et en général celui de 2"+! côtés, pourvu que 2"+l soit un nombre premier.

GÉOMÊTBIE,

tous les polygones réguliers qu'on sait inscrire dans ce cercle^ et réciproquement.

PROPOSITION VII

THtORÈHI.

L'atre d'un polygone régulier est égale à son périmètre multiplié par la moitié du rayon du cercle inscrit. fig. i6o. Soit, par exemple , le polygone régulier GHIK, etc. , le triangle GOH a pour mesure GH x ^OT ^ le triangle OHI a pour mesure HI x ^ON : mais ON=OT ; donc les deux triangles réunis ont pour mesure ( GH + HI) x jOT. En continuant ainsi pour les autres triangles, on yerra que la somme de tous les triangles , ou le polygone entier a pour mesure la somme des bases GH , HI , IK , etc. , ou le périmètre dii polygone , multiplié par {OT , moitié du rayon du cercle inscrit.

Scholie, Le rayon du cercle inscrit OT n'est autre chose que la perpendiculaire abaissée du centre sur un des côtés; on l'appelle quelquefois Y apothème du polygone.

PROPOSITION VIIL

THÉORÈME

Les périmètres des polygones routiers d'un même nombre de côtés sont comme les rayons des cercles circonscrits y et aussi comme les rayons des cercles inscrits : leurs surfaces sont comme les carrés de ces mêmes rayons.

fij.^. i6i. Soit AB un côté de l'un des polygones dont il s'agit, son centre , et par conséquent AO le rayon du cercle circonscrit, et OD, perpendiculaire sur AB, le rayon du cercle inscrit ; soit pareillement ah le côté d'un autre polygone semblable , o son centre , oa et od les rayons djes cercles circonscrit et inscrit. Les {)érimètres des deux polygones sont entre eux comme les côtés AB et ah; mais les angles A et o sont égaux comme étant chacun moitié de l'angle du poly-

LIVHB IV.

gone; il en est de même des angles B et & ; donc les triangles ABO y ahOf sont semblables, ainsi qne les triangles ADO , ado; donc AB : ab :: AO : ao :: DO : do; donc les périmètres des polygones sont entre eax comme les rayons AO, a<7, des cercles circonscrits , et aussi comme les rayons DO, doy des cercles inscrits.

Les surfaces de ces mêmes polygones sont .entre elles comme les carrés des côtés homologues AB , ai ; elles soiit par conséquent aussi comme les carrés des rayons des. cercles circonscrits AO, aoy ou comme les carrés des rayons des cercles inscrits OD , od,

PROPOSITION IX

LKMHE.

Toute ligne courbe ou polygone qui enveloppe (tune extrémité à l'autre la ligne convexe kTAB est plus longue que la ligne enveloppée AMB.

Nous avons déjà dit que par ligne convexe nous enten- fi^- 16:^. dons une ligne courbe ou polygone , ou en partie courbe et en partie polygone , telle qu'une ligne droite ne peut la couper en plus de deux points. Si la ligne AMB avait des parties rentrantes ou des sinuosités , elle cesserait d'être convexe , parce qu'il est aisé de voir qu'une ligne droite pourrait la couper en plus dé deux points. Les arcs de cercle sont essentiellement convexes; mais la proposition dont il s'agit maintenant s'étend à une ligne quelconque qui remplit la condition exigée.

Gela posé , si la ligne AMB n'est pas plus petite qne toutes « celles qui l'enveloppent, il existera parmi ces dernières une ligue plus courte que toutes les autres , laquelle sera plus petite que AMB , ou tout au plus égale a AMB. Soit ACDËB cette ligne enveloppante ; entre les deux lignes menez partout où vous voudrez la droite PQ , qui ne rencontre point la ligne AMB , ou du moins qui ne fasse que la toucher , la droite PQ est plus courte que PGDEQ, donc , si à la partie PCDEQ on substitue la ligne droite PQ , on aura la ligne

GiOM&TRII.

eovdoppante APQB plus courte qiie APDQB. MaU , par hypothèse , celle-ci doit être la plus courte de toutes ; donc cette hypothèse ne saurait subsister ; donc toutes les lignes enveloppantes sont plus longues que AMB.

fig. i63. Seholie, On démontrera absolument de la même manière qu'une ligne conyexe et rentrante sur elle-même AMB, est plus courte que tonte ligne qui TenTelopperait de toutes paits^ soit que la ligne enyeloppanteFHG touche AMB en un ou plusieurs points, soit qu'elle l'environne sans la toucher.

PROPOSITION X

LEHHE.

Deux circonférences concentriques étai^l données ^ on peut toujours inscrire dans la plus grande un polygone régulier dont les côtés ne rencontrent pas la plus petite , et on peut aussi circonscrire à la plus petite un polygone régulier dont les côtés ne rencontrent pas la grande de sorte que dans l'un et dans l'autre cas les côtés du polygone décrit seront renfermés entre les deux circonférences.^

6g. 164. Soient GÀ , CB , les rayons des deux circonférences données. Au point A menez la tangente DE terminée à la grande circonférence en D et Ë : inscrivez dans la grande circonférence l'un des polygones réguliers qu'on peut inscrire par les problèmes précédents , divisez ensuite les arcs soustendus par les côtés en deux parties égales , et menez les cordes des demi-arcs ; vous aurez un polygone régulier d'un nombre de côtés double. Continuez la bissection des arcs jusqu'à ce que vous parveniez à un arc plus petit que DBE. Soit MBN cet arc ( dont le milieu est supposé en B ) ; il est clair que la corde MN sera plus éloignée du centre que DË, et qu'ainsi le polygone régulier dont MN est le côté ne saurait rencontrer la circonférence dont GA est le rayon.

Les mêmes choses étant posées , joignez GM et GN qui rencontrent la tangente DE en P et Q ; PQ sera le côté d'un polygone circonscrit à la petite circonférence , semblable

LIVRS lY.

au polygone inscrit dans la grande, dqnt le côté est MN. Or il est clair que le polygone circonscrit qui a pour côté PQ, ne saurait rencontrer la grande circonférence, puisque CP est moindre que CM.

Donc , par la même construction , on peut décrire un polygone régulier inscrit dans la grande circonférence , et un polygone semblable circonscrit à la petite , lesquels auront leurs côtés compris entre les deux circonférences.

Scholie, Si on a deux secteurs concentriques FCG, IGH, on pourra de même inscrire dans le plus grand une portion de polygone régulier^ ou circonscrire au plus petit une portion de polygone semblable , de sorte que les contours des deux polygones soient compris entre les deux cireonfé* rences : il suffira de diviser Tare FBG successivement en â, 4, 8, 16, etc» , parties égales , jusqu'à ce qu'on parvienne à une partie plus petite que DB£.

Nous appelons ici portion âe polygone régulier la figure terminée par une suite de cordes égales inscrites dans l'arc FG d'une extrémité à l'antre. Cette portion a les propriétés principales des polygones réguliers , elle a les angles égaux, et les côtés égaux , elle est à la fois .inscriptible et circon* soriptible au cetcle; cependant elle ne ferait partie d'un polygone régulier proprement dit, qu'autant que l'arc soustendu par un de ses côtés serait une partie aliquote de 1» circonférence.

PROPOSITION XI

THÉORÈMI.

^ Les circonférences des cercles sont entre elles comme les rayons y et leurs surfaces comme les carrés, des rayons.

Désignons, pour abréger, par cire, CA la circonférence fig. i65. qui a'pour rayon CA ; je dis qu'on aura cire. CA : cire, OB:;CA:OB.

Car , si cette proportion n'a pas lieu , CA sera a OB comme cire. CA est à un quatrième terme plus grand ou plus petit que cire. OB : supposons-le plus petit , et soit , s'il est possible, CA : OB cire, CA : cire, OD.

GtOliTRIB.

Inscriyei dans la circonférence dont OB est le rayon un' polygone régulier ËFGKLE, dont les côtés ne rencontrent * 10. point la circonférence dont OD est le rayon * ; inscrivez un polygone semblable MNPTSM dans la circonférence dont G A est le rayon.

Gela posé, puisque ces polygones sont semblables , leurs périmètres MNPSM, ËFGKE sont entre eux comme les *8. rayons G A , OB , des cerles circonscrits et on aura HNPSM : EFGKE :: GA : OB ; mais , par hypothèse, GA : OB :: eirc. GA : être. OD ; donc MNPSM : EFGKE :: cire. CA : être. OD. Or, cette proportion est impossible, car le contour * 9. MNPSM est moindre que eire, GA"*" , et au contraire EFGKE est plus grand que être. OD; donc il est impossible que GA soit a OB comme env. GA est à une circonférence plus petite que être. OB , ou , en termes plus généraux , il est impossible qu'un rayon soit à un rayon comme la circonférence décrite du premier rayon est à une circonférence plus petite que la circonférence décrite da second rayon.

De là je conclus qu'on ne peut avoir non plus, G A est à OB comme être» GA est à une circonférence plus grande que être, OB ; car si cela était , on aurait , en renversant les rapports : OB est à GA comme une circonférence plus grande que eire. OB est à être. G A , ou , ce qui est la même chose , comme eire. OB est à une circonférence plus petite que être. GA ; donc un rayon serait à un rayon comme la circonférence décrite du premier rayon est à une circonférence plus petite que la circonférence décrite du second rayon , ce qui a été démontré impossible.

Puisque le quatrième terme de la proportion GA : OB :: eire. GA : X ne peut être ni plus petit ni plus grand que eire. OB , il faut qu'il soit à eire. OB; donc les circonférences des cercles sont entre elles comme les rayons.

Un raisonnement et une construction entièrement semblables serviront à démontrer que les surfaces des cercles sont comme les carrés de leurs rayons.

Nous n'entrerons pas dans d'autres détails sur cette proposidon , qui d'ailleurs est un corollaire de la suivante. 6g. 166. Corollaire. Les arcs semblables AB « DE , sont coiiune*