LIVRE ir

leurs rayons AG , DO , et les secteurs semblables ACB , D0£, sont comme les carrés de ces mêmes rayons.^

Car , puisque les arcs sont semblables , Tangle G est égal à l'angle 0*; or l'angle G est à quatre angles droits comme y^f'^^ Tare AB est à la circonférence entière décrite du rayon AG*, et l'angle est à quatre angles droits comme l'arc ^17, a. DE est à la circonférence décrite du rayon OD ; donc les arcs AB, DE, sont entre eux comme les circonférences dont ils font partie : ces circonférences sont comme les rayons AG , DO , donc are AB : arc DE :: AG : DO.

Par la même raison les secteurs AGB , DOE, sont comme les cercles entiers, ceux-ci sont comme les carrés des

rayons ; donc êect. AGB : sect. DOE :: AG : DO.

PROPOSITION XII

THÉORÈME

L'aire du cercle eH égale au produit de sa circonférence par la moitié du rayon.

Désignons par surf. GA la surface du cercle dont le rayon est G A ; je dis qu'on aura 9Uff* GAs^GA x cire. G A.

Garsi^ GA x cire, GA n'est pas l'aire du cercle dont GA fig> i;^est le rayon , cette quantité sera la mesure d'un cercle plus grand ou plus petit. Supposons d'abord qu'elle est la mesure d'un cercle plus grand , et soit , s'il est possible , \ GA X cire. Qk^êurf. GB.

Au cercle dont le rayon est GA circonscrivez un polygone régulier DEFG, etc. , dont les côtés ne rencontrent pas la circonférence qui a GB pour rayon* ; la surface de ce po- * 10. lygone sera égale à «on contour DE + EF + FG + etc» multiplié parfAG* : mais le contour du pblygone et plus *7grand que la circonférence inscrite , puisqu'il l'enveloppe de toutes parts ; donc la surface du polygone DEFG , etc. , est plus grande que^AG x cire. AG , qui , par hypothèse, est la mesure du cercle dont GB est le rayon ; donc le polygone serait plus grand que le cercle. Or au contraire il est plus petit , puisqu'il y est contenu; donc il est impos-.

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sible que j CA x cire. CA soit plus grand que surf. CA , ou , en d'autres termes , il est impossible que la circonférence d*un cercle multipliée par la moitié de son rayon soit la mesure d'un cercle plus grand.

Je dis en second lieu que le môme produit ne peut être la mesure d'un cercle plus petit ;.et, pour ne pas changer de figure , je supposerai qu'il s'agit du cercle dont GB est le rayon ; il faut donc prouver que 7 GB x eirc. GB ne peut être la mesure d'un cercle plus petit , par exemple , du cercle dont le rayon est GA. En effet, soit, s'il est possible, V GB X cirù. GB = êurf. GA.

Ayant fait la même construction que ci-dessus , la surface du polygone DEFG , etc. , aura pour mesure (DE +EF + FG +etc. ) X 7 GA ; mais le contour DE + EF + FG + etc. , est moindre que cire. GB qui l'enveloppe de toutes parts; donc l'aire du polygone est moindre que ^ GA X cire, GB , et à plus forte raison moindre que ^ GB x cire. GB. Gette dernière quantité est , )mr hypothèse , la mesure du cercle dont G A est le rayon; donc le polygone «erait moindre qae le cercle inscrit , ce qui est absurde ; donc il est impossible que la circonférence d'un cercle , multipliée par la moitié de son rayon , soit la mesure d'un cercle plus petit.

Donc enfin la circonférence d'un cercle n^ltipliée par la moitié de son rayon est la mesure de ce même cercle.

fig. 168, Corollaire I. La surface d'un secteur est égale à l'arc de ce secteur multiplié par la moitié du rayon.

Gar le secteur AGB est au cercle entier comme l'aro AMB * 17. 9. est à la circonférence entière ABD ou comme AMB x 7 AC est à ABD x 7 AG. Mais le cercle entier =ABD x 7 AG; dond le secteur AGB a pour mesure AMB X 7 AG.

Corollaire II. Appelons sr la circonférence dont le diamètre est l'unité ; puisque les circonférences sont comme les rayons ou comme les diamètres , on pourra faire cette proportion : le diamètre 1 est à sa circonférence t comme le diamètre âG A est à la circonférence qui a pour rayon GA ;

fig. i65. de sorte qu'on apra 1 : :: 2GA : cire. G A ; donc cire. G A = X GA. Multipliant de part et d'autre par 7 GÀ, on aura 7 GA x cire. GAœt x GA, ou turf. GA=st. CA;