LIVRE T

PROPOSITION XVI

THÉORÈMR.

Si d'un point A sttué hors d'une droite DE (m mène fîg. la perpendiculaire AB sur cette droite, et différentes obliques AE, AC, AD, etc., à différents points de cette même droite:

V La perpendiculaire AB sera plus courte que toute oblique.

Les deux obliques AC, AE, menées de part et d'autre de la perpendiculaire à des distances égales B'C, BE, seront égales.

• 8* De deux obliques AC et AD, ou AE et AD, menées comme on voudra, celle qui s'écarte le plus de lu perpendiculaire sera la plus longue,

Pi^longcz la perpendiculaire AB d'une quantité BF=

AB, et joignex FC , FD.

1° Le triangle BCF est égal au triangle BCA , car l'angle droit GBF=CBA, le côté CB est commîin, et le côté BF=BA; donc* le troisième côté GF est égal au 'pr. troisième AC. Or,- ABF ligne droite est plus coarCè que ACF ligne brisée; donc AB moitié de ABF est plus courte que AC moitié dé ACF; donc l"* la perpendiculaire est plùs eburte que toute oblique.

2^ Si on suppose BE=BC , comme on a en outre AB commun et l'angle ABE=ABC, il s'ensuit que le tHatigle ABE est égal au triangle ABC*"; donc les côtés AË, AG *pr. sont égaux; donc deux obliques qui s'écartent également de la perpendiculaire sont égales.

S"" Dans le triangle DFA la somme des lignes AC , CF , est plus petite* que la somme des côtés AD, DF ; donc "pr.

AC, moitié delà ligne ACF, est plus courte que AD moitié ADF; âoÎQC S^, les obliques qui s'écartent le plus de

la parpendicttlffire sont les plus longues.

Corollaire I. La perpendiculaire mesure la« vraie dis-

GtOltTRII.

deux triangles, Tangle commun A est compris entre côtés égaux chacun à chacun, savoir: ACsssAB, et AK=AI. Donc le troisième côté C'K. est égal au troisième BI ; donc aussi l'angle AC'K = ABC , et l'angle AKC = AIB.

Je dis maintenant que le triangle B'C'R est égal au triangle AGI, car la somme des deux angles adjacents

a. AKC' + OKB' est égale à deux angles droits*, ainsi que la somme des deux angles AIC+AIB; retranchant de part et d'autre les angles égaux AKC, AIB, il restera l'angle G'KJB'=A1G. Ges angles égaux dans les deux triangles sont compris entre côtés égaux chacun à chacun , savoir , G'K=IB=GI, et KB' = AK=AI, puisqu'on a supposé AB'=1ÀI=2AK. Donc les deux triangles B'G'K, AQ,

6. sont égaux*; donc le côté G'B'=AG, l'angle B'GTL^ AGB, et l'anglb RB'G'=GAI.

Il suit de là 1® que l'angle AG'B' désigné par G' est composé de deux angles égaux aux angles B et G du triangle ABG, et qu'ainsi <m a C'=B + G ; S*" que l'angle A du triangle ABG est composé de l'angle A' oa C'AB' qui appartient au triangle AB'G' et de l'angle CAI égal à l'angle B' du même triangle , ce qui donne A=A'-i-B'; donc A H- B -i- G = A' -4- B' -i- G'. D'ailleurs puisqu'on a par hypothèse AC < AB et par conséquent C'B'<AC', on Toit que dans le triangle AG'B' l'angle en A, désigné par A' , est moindre que B', et comme la somme des deux est égale à l'angle du triangle proposé , il s'ensuit qu'on a l'angle A'<iA.

Si on applique la même construction au triangle AB'G% pour former un tnnsième triangle AG'B'^ dont les angles seront désignés par A'', B'', G', on aura semblablement les deaxégaUtésC'srCH-F, A'=A''-*-B*, d'où résulte A'-i-B'-i-C'=A'+B''-i-G'. Ainsi la somme des trois angles est la même dans ces trois triangles : on aura en même temps l'angle A" ^ ^ A', et par craséquent A' <îA.

Continuant indéfiniment la suite des triangles AG^', AG'B*, etc., on parriendra à un triangle mie dans lequel la somme des trois angles sera toajonrt la même f«e dans