LIVRE lY

donc la surface d'un cercle eet égale au produit du carré de son rayon par le nomère constant qui représente la circonférence dont le diamètre est \ ^ ou le rapport de la circonférence au diamètre.

Pareillement la surface du cercle qui a pour rayon OB

sera égale à ir x OB ; or t x GA : x OB :: GA : OB; donc les surfaces des cercles sont entre elles comme les carrés de leurs rayons j ce qui s'accorde ayec le théorème précédent.

Scholie. Nous avons déjà dit que le problème de la quadrature du cercle consiste à trouver un carré égal en surface à un cercle dont le rayon est connu ; or on vient de prouver que le cercle est équivalent au rectangle fait sur la circonférence et lamoitîé du rayon , et ce rectangle se change en carré en prenant une moyenne proportionnelle entre ses deux dimensions'*' : ainsi le problème de la quadrature du * cercle se réduit à trouver la circonférence quand on connaît le rayon , et pour cela il suifit de connaître le rapport de la circonférence au rayon ou au diamètre.

Jusqu'à présent on n*a pu déterminer ce rapport que d'une manière approchée ; mais l'approximation a été poussée si loin , que la connaissance du rapport exact n'aurait aucun avantage réel sur celle du rapport approché. Aussi cette question , qui a beaucoup occupé les géomètres lorsque les méthodes d'approximation étaient moins connues, est maintenant reléguée parmi les questions oiseuses dont il n'est permis de s'occuper qu'à ceux qui ont à peine les premières notions de géométrie.

Archimède a prouvé que le rapport de la circonférence au diamètre est compris entre 3^ et 3^ ; ainsi ^ ou ^ est une valeur déjà fort approchée du nombre que nous avons représenté par t , et cette première approximation est fort en usage à cause de sa simplicité. Métiue a trouvé pour le même nombre la valeur beaucoup plus approchée 77^. Enfin la valeur de développée jusqu'à un certain ordre de décimales, a été trouvée par d'autres calculateurs 3,U15926535897982 , etc. , et on a eu la patience de prolonger ces décimales jusqu'à la cent vingt-septième ou même

GtOMtTBlB.

jusqu'à la cent-quarantième. Il est évident qu'une telle approximation équivaut à la vérité , et qu'on ne connaît pas mieux les racines des puissances imparfaites.

On expliquera , dans les problèmes suivants , deux des méthodes élémentaires les plus simples pour obtenir ces approximations.

PROPOSITION XIII

PROBLÈMB.

Étant données les surfaces d'un polygone résulter inscrit et d'un polygone semblable circonscrit, trouver les surfaces des polygones réguliers inscrit et circonscrit d'un nombre de côtés double.

169. Soit AB le côté du polygone donné inscrit j £F parallèle à AB , celui du polygone semblable circonscrit^ G le centre du cercle; si on tire la corde AM et les tangentes AP, BQ, la corde AM sera le côté du polygone inscrit d'un nombre de côtés double ; et PQ double de PM sera celui du polygone

* 6. semblable circonscrit *• Cela posé , comme la même construction aura lieu dans les différents angles égaux à ACM , il suffit de considérer l'angle ACM seul , et les triangles qai y sont contenus seront entre eux comme les polygones entiers. Soit A la surface du polygone inscrit dont AB est on côté, B la surface du polygone semblable circonscrit, A' la surface du polygone dont AM est un côté , B' la surface du polygone semblable circonscrit ; A et B sont connus , il s'agit de trouver A' et B'.

1° Les triangles AGD , ACM, dont le sommet commun est A , sont entre eux comme leurs bases GD , GM ; d'ailleurs ces triangles sont comme les polygones A et A' dont ils fon^ partie; donc A 2 A' GD : GM. Les triangles GAM , GME, dont le sommet commun est M, sont entre eux comme leurs bases CA , CE ; ces mêmes triangles août comme les polygo-' nés A' et B dont ils font partie ; donc A' : B u Cl : GE. Mais à cause des parallèles ÂD , ME . on a CD : CM :: GA : CE ; donc A : A' 1: A' î B ; donc le ptilyguuc Â' , Tun de ceux que