LIVRE IV

Von cherche , est moyen proportionnel entre les deux poly-

gones connus A et B , et on a par conséquent A' == \/A x B.

2<> A cause de la hauteur commune CM , le triangle GPM

est au triangle GP£ comme PM est à PEl , mais la ligne GP

divisant en deux parties égales l'angle MGE , on a PM : ''17

PE :: GM : GE :: GD : GA :; A : A' ; donc GPM : GPE :: A : A',

et par suite , GPM : GPM + GPE , ou GME :: A : A + A'.

Mais GMPA ou âGMP et GME sont entre eux comme les

polygones B' et B dont ils font partie ; donc B' : B :: SA :

A + A'. On a déjà déterminé A' ; cette nouvelle proportion

ir^f . T>/ 2A X B , déterminera B , et on aura B =-t p ; donc , au moyen

des polygones A, et B ^ il est facile de trouver les polygones A' et B' qui ont dei^x fois plus de côtés.

PROPOSITION XIV

PROBLÈHB. . . < , . '

Trouver le rapport approché de la ctrconférehce au diamètre.

Soit le rayon du cercle = 1 , le côté du carré inscrit sera y^^*9 celui du carré circonscrit sera égal au diamètre 2 ; * 3 donc la surface du carré inscrit =S, et celle du carré circonscrits 4. Maintenant , si on fait A = â et B =4 , on trouvera par le problème précédent l'octogone inscrit A'=

^/ 8=2,8284271 , et l'octogone circonscrit B'=5 -75=

À + yo

3,31^7083. Gonnaissant ainsi les octogones inscrit et circonscrit , on trouvera par leur moyen les polygones d'un nombre de côtés double ; il faudra de nouveau supposer A

=2,8284271, B = 8,81 37085, et on auraA'=i/ AxB

= 3,0614674, et B'=||^^^=8,1828979. Ensuite cespo-

lygones de 16 côtés serviront à connaître ceux de 82 ^ et on continuera ainsi jusqu'à ce que le calcul ne donne plus de différence entre les polygones inscrit et circonscrit, au moins dans l'ordre de décimales auquel on s'est arrêté , qui

GtOHiTRIB.

est le septième dans cet ei^inaple. Arrivé à ce point , on conclura que le cercle est égal au dernier résultat , car le cercle doit toujours être compris entre le polygone inscrit et le polygone circonscrit; donc si ceux-ci ne diffèrent point entre eux jusqu'à un certain ordre de décimales , le cercle n'en différera pas non plus jusqu'au mèoÈe ordre.

Voici le calcul de ces polygones prolongé jusqu'à ce qu'ils ne diffèrent plus dans le septième ordre de décimales.

Nombre des côtés. Polygone innerit. Poljgene circonscrit.

De là je conclus que la surface du cercle sr=3,14 15926. On pourrait avoir du doute sur la dernière décimale à cause des erreurs qui viennent des parties négligées ; mais le calcul a été fait avec une décimale de plus, pour être sûr du résultat que nous venons de trouver jusque dans la dernière décimale.

Puisque la surface du cerde est égale à la demi-circonférence multipliée par le rayon , le rayon étant 1 , la demicirconféreni^ est 8, 1415926 ; ou bien le diamètre étant 1 , la circonféreB<ee est 8^1415926 ; donc le rapport de la circonférence au diamètre désigné ci-dessua par 7=3, 1415926 .