I.EMHB

Le triangle CÂB eet équivalent au triangle ieoscèleDCE^ fig' 170. qui a le même angle G , et dont le côté GE égal à GD eet moyen proportionnel entre G A et GB. De plue, H V angle CAB eet droit, la perpendiculaire GF àbaiseée sur la haee du triangle ieoêcèle , sera moyenne proportionnelle entre le côté CA et la demi-somme des côtés GA, GB.

Car, 1» à cause de l'angle commun G, lê triangle ABG est au triangle

isoscèle UGE comme AG X GB est à DGX G£, ou DG*; donc ces irian- * a4, 3.

gles seront équivalents, si DG== AG X GB, ou si BG est moyenne proportionnelle entre AG et CB.

2** La perpendiculaire GGF coupant en deux parties égales l'angle AGB, on a* AG : GB :: AG î GB, d'où résulte, componendo, AG : AG + GB * 17, 3, ou AB :: AG : AG -|- GB ; mais AG est à AB comme le triangle AGG est au triangle AGB ou 2GDF; d'ailleurs, si l'angle A est droit, les triangles rectangles AGG, GBF, seront semblables, et donneront AGG : GBF ::

AC'CF'donc,

ÏG*: 2Cf':: AG :AC + GB.

Multipliant le second rapport par AG, les antécédents deviendront égaux,

et on aura par conséquent 2GF=AG X (AG + CB), ou GF = AC X ^AG I CB ^

( — X j ; donc 2^ si l'angle A est droit , la perpendiculaire GF sera

moyenne proportionnelle entre le côté AG et la demi*«omme des côtés AG, GB.

PROPOSITION XVL

PROBLÈME

Trouver un cercle qui difflre aussi peu qu'on voudra d'un polygone régulier donné.

Soit proposé , par exemple f le carré BMNP ; abaissez du centre G la ^g* 17'* « perpendiculaire GA sur le côté MB , et joignez GB.

Le cercle décrit du rayon GA est inscrit dans le carré , et le cercle décrit du rayon GB est .circonscrit à ce même carré ; le premier sera plus petit que le carre, le second sera plus grand; mais il s'agit de resserrer ces limites.

Prenez GD et G£ égales chacune à la moyenne proportionnelle entre

GiOVtTBIE.

CA. et GB f et joignes EB ; le triangle uoscèle GB£ sera équivalent au triangle CAB*; faites de même pour chacun des huit triangles qui composent le carré, tous formeres ainsi un octogone régulier équivalent au carré BMNP. Le cercle décrit du rayon GF , moyen proportionnel

entre GA et ^^"j"^^-» sera inscrit dans l'octogone f et le cercle décrit

du rayon GD lui sera circonscrit. Ainsi le premier sera plus petit que le carré donné et le second plus grande

Si on change de la même manière le triauf^le rectuigle GDF en un triangle isoscèle équivalent , on formera par ce moyen un polygone régulier de seize côtés , équivalent au carré proposé, he cercle inscrit dans ce polygone sera plus petit que le carré, et le cercle circonscrit sera plus grand.

On peut continuer ainsi jusqu'à ee que le rapport entre lé rayon du cercle inscrit et le rayon du cercle circonscrit diffère aussi peu qu'on voudra de l'égalité. Alors l'un et l'autre cercle pourront être regardés comme équivalents au carré proposé.

Scholie. Yoici à quoi se réduit la recherche des rayons successifs . Soit a le rayon du cer(^e inscrit dans l'un des polygones trouvés , ( le rayon du cercle circonscrit au même polygone ^ soient a' et V les rayons semblables pour lé polygone suivant qui a un nombre de côtés double. Suivant' ce que nous avons démontré , h' est une moyenne proportionneille entra a et h, et a' est une moyenne proportionnelle entre a

et dé sorte qu'on aura V^Vay^h, et 0'=

donc les rayons a et d'un polygone étant connus , on en conclut facilement les rayons a* et V du polygone suivant : et on continuera ainsi jusqu'à ce que la différence entre les deux rayons soit devenue insensible \ alors l'un ou l'autre de ces rayons sera le rayon du cercle équivalent au carré ou au polygone proposé.

Gette méthode est facile à pratiquer en lignes , puisque elle se réduit à trouver des moyennes proportionnelles successives entre des lignes connues ^ mais elle réussit encore mieux en nombres , et c'est une des plus commodes que la géométrie élémentaire puisse fournir pour trouver promptement le rapport approché de la circonférence au diamètre. Soit le côté du carré = 2 , le premier rayon inscrit GA sera 1 , et .le premier rayon circonscrit GB sera ^2 ou 1,4142136. Faisant donc 0=1 , 6 = 1,4142136, on trouvera 6'= 1, 1892071 , et 0' = 1,0986841. Ges nombres serviront à calculer les suivants d'après la loi de continuation.

Voici le résultat du calcul fait jusqu'à sept ou huit chiffres par les tables de logarithmes ordinaires.

UVRB IV. lis

Rayons des cercles circoBscrils. Rayons des cercles inscrits.

Maintenant que la première moitié des chiffres est la même des deux côtés , on pourra, au lieu des moyens géométriques, prendre les moyens arithmétiques , qui n'en diffèrent que dans les décimales ultérieures. De cette manière Topération s'ahrége beaucoup , et les résultats sont :

Donc 1,1283792 est A très peu près le rayon du cercle égal en surface au carré dont le côté est 2. De là il est facile de trouver le rapport dfi la circonférence au diamètre : car on a démontré -que la surface du cercle est égale au carré de son rayon multiplié par le nombre c; donc, si on dÎTise la surface 4 par le carré de 1,1283792, on aura la valeur de «r, qui se trouve par ce calcul de 3,1415926, etc., comme on Ta trouvée par une autre méthode.