LIVRE IV

Scholie, On démontrera , comme dans la proposition V, qu'il ne peut y avoir qu'un seul cercle, et par conséquent qu'un seul polygone maximum qui satisfasse à la question ; et ce polygone serait encore de même surface , de quelque manière qu'on changeât l'ordre de ses côtés.

PROPOSITION VII

THtOlÈHB.

Le polygone réguUer est un maximum entre tous lee polygones ieopêrimètreê et d'un même nombre de côtés.

Car, suivant le théorème II, le polygone maximum a tous ses côtés égaux; et, suivant le théorème précédent, il est inscriptible dans lis cercle; donc ce polygone est régulier.

PROPOSITION VIII

LIKKB.

Deux angles au centre , mesurés dans deux cercles dtfférente, sont entre eux comme les arcs compris divisés par leurs rayons %

AB DEé Ainsi l'angle G est à l'angle comme lé rapport ^ est au rapport 6g. 178.

D'un rayon OF égal à AG décrivez l'arc FG compris entre les côtés OD, 0£, prolongés; à cause des rayons égaux AG, OF, on aura d^abord f^Y^ FG

C : :: AB : FG * , ou :: ^ ^pQ* ^^'c ^ cause des arcs semblables FG, * 17.

FG

SE , on a * FG : DE :: FO : DO ; donc le rapport — est égal au rapport * i ^ ^ , et on a par conséquent ^ • " ^ ' gô'

PROPOSITION IX

THÉORÈXB*

De dev^ polygones réguliers isopérimktres , celui quia le plus grand nombre de côtés est le plus grand.

Soit DE le demi-côté de l'un des polygones, son centre, 0£ son fig< 179. apothème ; soit AB le demi-côté de l'autre polygone , G son centre , €B son apothème. On suppose les centres et G situés à une distance quelconque OG, et les apothèmes, 0£, GB, dans la direction OG : ainsi DOE et AGB seront les demi-angles au centre dés polygones , et cfimme ces angles ne sont pas égaux, les lignes GA, OD, prolongées, se rencontreront en un point F ; de ce point abaisses sur OG.la perp'tn-

GiOHiTlIB.

dicuhdre F6; def points et G, oomme centres, décrivex les ares GI, GH, terminés aux côtés OF, CF.