GI GH

Cela posé, on aura par le lemme précédent ® • ^ Qg* qqî ®^ est au périmètre du premier polygone comme l'angle est à quatre angles droits , et AB est au périmètre du second conune l'angle G est à quatre angles droits ; donc , puisque les périmètres des polygones sont

GI m

égaux, DE : AB :: : G, ouDE : AD :: : t;--. Multipliant les antécédente

par OG et les conséquente par GG, on aura DE X OG : AS X GG :: GI : GH. Mais les triangles semblables ODE , OFG, donnent 0£ : OG ::D£:FG, d'où résulte DE X OG = 0£ X FG ; on aura de même AB X CG=: GB X FG ; doncOExFG:GBxFG::GI:GH, ou OE : GB :: Gf : GH. Si donc on fait Toir que l'arc GI est plus grand que l'arc GH , il s'en suivra que l'apotbème OE est plus grand que GB.

De l'autre côté de GF soit faite la figure CSix entièrement égale à la figure GG^;, de sorte qu'on aitGK = GG, l'angle HGK=HGG, et l'arc Kr = â7G,la courbe KxGi enveloppera l'ac KHG, et sera plus * 9> grande que cet arc *. Donc Gtx > moitié de la courbe , est plus grande que GH moitié de l'arc ; donc , à plus forte raison , GI est plus faraud que GH.

Il résulte de là que l'apothème OE est plus grand que GB : mais les deux polygones ayant même périmètre sont entre eux conune leurs ' 7* apothèmes donc le polygone qui a pour demi-côté DE est plus iprand que celui qui a pour demi-côté AB : le premier a le plus de côtés , puisque son angle au centre est le plus petit ; donc de deux polygones réguliers isopérimètres , celui qui a le plus de côtés est le plus grand.

PROPOSITION X

^ THtOBÈHB.

i8o. Le cercle est plus grand que tout polygone isopérimètre.

Il est déjà prouvé que de tous les polygones isopérimètres et d'un même nombre de côtés le polygone régulier est le plus grand ; ainsi il ne s'agit plus que de comparer le cercle à un polygone régulier quelconque isopérimètre. Soit Al le demi-côté de ce polygone, G son centre. Soit dans le cercle isopérimètre l'angle DOE=AGI, etconséquemroent l'arc DE égal au demi-côté AI. Le polygone P est au cercle G comme le triangle AGI est au secteur ODE; ainsi on auraP : G:: |AI XGl:iDExO£::GI:OE. Soit menée au pQÎnt E la tangente £G qui rencontre OD prolongé en G; les triangles semblables AGI, GOE, donneront la proportion GI : OE :: AI ou DE : GE ; donc P : G :: DE : GE , ou comme DE X ^ OE qui est la mesure du secteur DOE est à GE Xi OE qui est la mesure du triangle GOE : or le secteur est plus petit que le triangle ; donc P est plus petit que G, donc le cercle est plus grand-que tout polygone isopérimètre. ^

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