LES PLANS ËT LES ANGLES SOLIDES

DÈFlNITlOIfS.

L Une ligne droite est perpendiculaire a un plan , lorsqu'elle est perpendiculaire à toutes les droites qui passent par son pied dans le plan Réciproquement le plan est 'pr. 4. perpendiculaire à la ligne.

Le pied de la perpendiculaire est le point où cette ligne rencontre le plan.

IL Une ligne est pallalèle à un plan, lorsqu'elle ne peut le rencontrer à quelque distance qu'on les prolonge l'un et l'autre. B.ëciproquement le plan est parallèle à la ligne.

III. Deux plane eont parallèles entre eux , lorsqu'ils ne peuvent se rencontrer à quelque distance qu'on les prolonge l'un et l'autre.

IV. Il sera démontré* que l'intersection commune de *pr. 3, deux plans qui se rencontrent est une ligne droite : cela poséi r angle ou Vinelinaieon mutuelle de deux plans est la quantité plus ou moins grande dont ils sont écartés l'un de l'autre; cette quantité se mesure^ par l'angle que font * pr. 7. entre elles les deux perpendiculaires menées dans chacun

de ces plans au même point de l'intersection commune.

Cet angle peut être aigu , droit, ou obtus.

y. S'il est droit, les deux^Zan^ sont perpendiculaires entre eux.

YI. Angle solide est Tespace angulaire compris entre plusieurs plans qui se réunissent en un même point.

Ainsi l'angle solide S est formé par la réunion des plans fig. 199 ASB, BSC,CSB,DSA.

Il faut au mollft trois plans pour former un angle solide.

GiOKftTIIS.

PROPOSITION PREMIÈRE

THtORiU.

Une ligne droite ne peut être en partie dans un plan , en partie au dehors.

Car, suivant la définition du plan, dès qu'une ligne droite a deux points communs avec un plan , elle est tout entière dans ce plan.

Scholîe. Pour reconnaître si une surface est plane , il faut appliquer une ligne droite en différents sens sur cette surface^ et Toir si elle touche la surface dans toute son étendue.

PROPOSITION U

THiORtME.

Deux lignes droites qui se coupent sont dans un même plan j et en déterminent la position,

/ig. i8i. Soient AB , AG, deux lignes droites qui se coupent en À : on peut concevoir un plan où se trouve la ligne droite AB; si ensuite on fait tourner ce plan autour de AB, jusqu'à ce qu'il passe par le point G, alors la ligne AG, qui a deux de ses points A et G dans ce plan, j sera tout entière^ donc la position de ce plan est déterminée par la seule condition de renfermer les deux droites AB , AG.

Corollaire I. Un triangle ABG , ou trois points A, B , G , non en ligne droite, déterminent la position d'un plan.

fig. ï8a. Corollaire IL Donc aussi deux parallèles AB, GD, déterminent la position d'un plan ; car si on mène la sécante EF, le plan des deux droites AE, EF, sera celui des parallèles AB, CD.

PROPOSITION m.

THÊORiME.

Si deux plans se coupent^ leur intersection commune sera une ligne droite.

Gar, si dans les points communs aux jftsux plans on en

LIVHI V.

trouTait trois qui ne fassent pas en li^e droite , les deux plans dont il sîagit, passant chacun par ces trois points , ne feraient qu*un seul et même plan * , ce qui est contre la * i. supposition. .

PROPOSITION IV

THÉORtKE.

Si une ligne droite liP est perpendiculaire à deux au- fig. iSS. très PB , PC , qui se croisent à son pied dans le plan MN , elle sera perpendiculaire à une droite quelconque PQ menée par son pied dans le même plan y et ainsi elle sera perpendiculaire au plan MN.

Par un point Q , pris à volonté sur PQ, tirez la droite ' BC dans l'angle BPC , de manière que BQs=QC* , joigne» " AB, AQ, AC.

La base BC étant divisée en deux parties égales au point Q , le triangle BPC donnera * , * i4> 3-

PG'+râ=2PQ + 2QC.

Le triangle BAC donnera pareillement ,

ÏC + Âb'=2ÂQ + 2QC!

Retranchant la première égalité de la seconde , et obser- Tant que les triangles APC , APB, tous deux rectangles en

P , donnent ÂC ~ PC ="ÂP , et AB — PB = AP"; on aura ,

AP+ AP=2AQ— 2PqV

Donc , en prenant les moitiés de part et d'autre , on a

AP"=ÂQ— ou ÂQ==ÂP'+ PQ, donc le triangle APQ est rectangle en P* ; donc AP est perpendiculaire à PQ. • i3, 3.

SchoUe. On voit par là , non seulement qu'il est possible qu'une ligne droite soit perpendiculaire à toutes celles qui passent par son pied dans un plan , mais que cela arrive toutes les fois que cette ligne est perpendiculaire à deux droites menées dans le plan ; c'est ce qui démontre la légitimité de la définition I.

ISS

etOHtTlIB.

Corollaire I. La perpendiculaire AP est plos courte qu*nne oblique quelconque AQ ; donc elle mesure la yraie distance du point A au plan PQ.

Corollaire IL Par un point P donné sur un plan , on ne peut élever qu'une seule perpendiculaire a ce plan ; car si on pouvait élever deux perpendiculaires par le même point P , conduisez , suivant ces deux perpendiculaires , un plan dont Vintersection avec le plan MN soit PQ ; alors les deux perpendiculaires dont il s'agit seraient perpendiculaires à la Ugne PQ , au même point et dans le même plan , ce qui est impossible.

Il est pareillement impossible d'abaisser d'un point donné hors d,*un plan deux perpendiculaires a ce plan , car soient AP, AQ, ces deux perpendiculaires , alors le triangle APQ aurait deux angles droits APQ, AQP, ce qui est impossible.

PROPOSITION V

THiORtMB.

Les obliques également éloignées de la perpendiculaire sont égales ; et , de deux obliques inégalement éloignées de la perpendiculaire, celle qui s'en éloigne le plus est la plus longue.

184. Car les angles APB , APC , APD étant droits , si on suppose les distances PB , PC , PD , égales entre elles , le» triangles APB , APC , APD , auront un angle égal compris entre côtés égaux ; donc ils seront égaux ; donc les hypoténuses ou les obliques AB , AC , AD , «seront égales entre elles. Pareillement, si la distance PB est plus grande que PD ou son égale PB , il est clair que l'oblique AË sera plus grande que AB , ou son égale AD.

Corollaire, Toutes les obliques égales AB, AG, AD, etc., aboutissent S la circonférence 6CD , décrite du pied de la perpendiculaire P comme centre ; donc étant donné un poiîit A hors d'un plan , si on veut trouver sur ce plan le point P où tomberait la perpendiculaire abaissée de A , il faut marquer sur ce plan trois points B , G , D , également

uvai V. 128

éloignés du poiat A, et chercher ensuite le centre du cercle qui passe par ces points ; ce centre sera le point cherché P.

Scholte» L'angle ABP est ce qu'on appelle Vinclinaison de V oblique AB eur le plan MN ; on voit que cette inclinaison est égale pour toutes les obliques AB, AG, AD, etc., qui s'écartent également de la perpendiculaire; car tous les triangles ABP, AGP, ADP, etc., sont égaux entre eux.

PROPOSITION VI

THÉORftn.

Soit AP une perpendiculaire au plan MN et BG une fig- i85. ligne située dam ce plan ; si du pied P de la perpendiculaire on abaisse PD perpendiculaire sur BC , et qtûon joigne AD, je dis que AD sera perpendiculaire à BC.

Prenez DB=DG, et joignez PB, PG, AB, AC : puisque DB=DC, l'oblique PB = PG; et par rapport à la perpendiculaire AP, puisque PB=PG, l'oblique AB=AC*;'5. donc la ligne AD a deux de ses points A et D également distants des extrémités B et G ; donc AD est perpendiculaire sur le milieu de BG.

CaroUaire. On voit en même temps que BG est perpendiculaire au plan APD, puisque BG est perpendiculaire à la fois aux deux droites AD , PD.

Seholie. Les deux lignes AË, BG, offrent l'exemple de deux lignes qui ne se rencontrent point, parce qu'elles ne sont pas situées dans un même plan. La plus courte distance de ces lignes est la droite PD , qui est à la fois perpendiculaire à la ligne AP et à la ligne BG. La distance PD est la plus courte entre ces deux lignes ; car si on joint deux autres points , comme A et B , on aura AB ^ AD , AD > PD ; donc , à plus forte raison , AB > PD.

Les deux lignes A£ , GB , quoique non situées dans un même plan , sont censées faire entre elles un angle droit , parce que AD et la parallèle menée par un de ses points à la ligne BG feraient entre elles un angle droit. De même la ligne AB et la ligne PD , qui représentent deux droites

OÉOHtTllI.

quelconques non situées dans le même plan , sont censées faire entre elles le même angle que ferait avec AB la parallèle à PD menée par un des points de AB.

PROPOSITION VII

THiORÈHE.

fig. i8& Si la ligne AP est perpendiculaire au plan MN , toute ligne DE parallèle à AP sera perpendiculaire au même plan.

Suivant les parallèles AP , DE , conduisez un plan dont rintersection avec le plan MN sera PD ; dans le plan MN menez BG perpendiculaire à PD, et joignez AD.

Suivant le corollaire du théorème précédent , BG est perpendiculaire au plan APDE ; donc l'angle BDË est droit : mais l'angle ËDP est droit aussi , puisque AP est perpendiculaire à PD , et que DE est parallèle à AP ; donc la ligne DE est perpendiculaire aux deux droites DP , DB ; donc elle est perpendiculaire à leur plan MN.

Corollaire I. Réciproquement si les droites AP , DE sont perpendiculaires au même plan MN, elles seront parallèles ; car si elles ne l'étaient pas , conduisez par le point D une parallèle à AP, cette parallèle sera perpendiculaire au plan MN; donc on pourrait, par un même point D , élever deux perpendiculaires à un même plan, ce qui est impos- • 4* Bible *.

Corollaire IL Deux lignes A et B , parallèles à une troisième G , sont parallèles entre elles ; car imaginez un plan perpendiculaire à la ligne G , les lignes A et B , parallèles a cette perpendiculaire, seront perpendiculaires au même plan; donc, par le corollaire précédent , elles seront parallèles entre elles.

Il est entendu que les trois lignes ne sont pas dans le a5, 1. même plan, sans quoi la proposition serait déjà connue

LITBE y.

PROPOSITION VIIL

THtORÈBS.

St ia ligne AB est parallèle à une droite CD menée fi;. 187. dans le plan MN , elle sera parallèle à ce plan.

Car si la ligne AB , qai est dans le plan ABGD , rencontrait le plan MN , ce ne pourrait être qu'en quelque point de la ligne CD , intersection commune des deux plans : or, AB ne peut rencontrer CD , puisqu'elle lui est parallèle ; donc elle ne rencontrera pas non plus le plan MN ; donc elle est parallèle à ce plan * déf. %,

PROPOSITION IX

THiOlÈHB.

Deux plans 'iSS ^ PQ, perpendiculaires à une même fig. 188. droite AB, sont parallèles entre eux.

Car s'ils se rencontraient quelque part, soit un de leurs points communs , et joignez OA , OB ; la ligne AB , perpendiculaire au planMN, est perpendiculaire à la droite OA menée par son pied dans ce plan ; par la même raison AB est perpendiculaire à BO; donc OA et OB seraient deux perpendiculaires abaissées du même point sur la même ligne droite , ce qui est impossible ; donc les plans MN , PQ , ne peuyent se rencontrer ; donc ils sont parallèles.

PROPOSITION X

THÉORÈHI.

Les intersections £F, GH, de deux plans parallèles fig. 189. MN , PQ , par un troisième plan FG , sont parallèles.

€ar si les lignes EF, GH , situées dans un même plan , ne sont pas parallèles, prolongées elles se rencontreront; donc les plans MN , PQ , dans lesquels elles sont , se rencontreraient aussi ; donc ils ne seraient pas parallèles.

PROPOSITION XI

fig. 1^8. La ligne AB , perpendiculatre au plan MN , est perpendtculatre au plan VQ^ parallèle à Mil,

Ayant tiré à volonté la ligne BG dans le plan PQ , suivant AB et BG , conduisez un plan ABC dont l'intersection avec

* 10. le plan MN soit AD, l'intersection AD sera parallèle à BG"*" ;

mais la ligne AB perpendiculaire au plan MN est perpendiculaire à la droite AD; donc elle sera aussi perpendiculaire à sa parallèle BG ; et puisque la ligne AB est perpen* diculaire à toute ligne BG menée par son pied dans le plan PQ, il s'ensuit qu'elle est perpendiculaire au plan PQ*

PROPOSITION XII

THiORftHI*

fis. 189. Les parallèles EG , FH, comprises entre deux plans parallèles MN, PQ, sont idoles.

Par les parallèles EG, FH, faites passer le plan EGHF, qui rencontrera les plans parallèles suivant EF et GH. Les

* io* intersections EF , GH , sont parallèles entre elles* , ainsi

que EG, FH; donc la figure EGHF est un parallélogramme; donc EG = FH.

Corollaire, Il suit de là que deux plans parallèles sont partout à égale distance; car si EG et FH sont perpendiculaires aux deux plans MN , PQ , elles seront parallèles entre * 7. elles*; donc elles sont égales.

PROPOSITION XIII

THÉORÈIU.

-H» 190- Si deux angles CAE, DBF, non situées dans le même plan, ont leurs côtés parallèles et dirigés dans le même senSf ces angles seront égaux et leurs plans seront parailèles.

Prenez AGssBD, AEs=BF, et joignez GE, DF, AB ,

LIVIB y.

CD , £F. Puisque AG est égale et parallèle à BD, la figure ABDC est lin parallélogramme*; donc CD est égale et * n. parallèle à AB. Par une raison semblable £F est égale et parallèle a AB ; donc aussi CD est égale et parallèle à £F, la figure CËFD est donc un parallélogramme , et ainsi lé côté CE est égal et parallèle à DF ; donc les triangles CAE , DBF, sont équilatéraux entre eux ; donc l'angle GAEss DBF.

En second lieu je dis que le plan AGE est parallèle au plan BDF; car, supposons que le plan parallèle à BDF, mené par le point A , rencontre les lignes GD , £F , en d'autres points que G et £, par exemple en G et H ; alors, suivant la proposition xii, les trois lignes AB, GD, FH, seront égales : mais les trois AB, GD, EF, le sont déjà; donc on aurait GD^GD, et FH=ËF, ce qui est absurde, donc le plan AGE est parallèle à BDF.

Corollaire. Si deux plans parallèles MN , PQ , sont rencontrés par deux autres plans GABD, EABF, les angles CAE , DBF , formés par l6s intersections des plans parallèles , seront égaux ; car l'intersection AG est parallèle à BD*, AE l'est à BF , donc l'angle GAEasDBF. « u

PROPOSITION XIV

TfltOBÈlI.

Si trois droites AB, GD, EF, non situées dans le fig. même plan y sont égales et parallèles, les triangles AGE, BDF, formés de part et d'autre en joignant les extrémités de ces droites , seront égaux , et leurs plans seront parallèles.

Car, puisque AB est égale et parallèle à GD, la figure ABDG est un parallélogramme; donc le côté AG est égal et parallèle à BD. Par une raison semblable les côtés AE, BF , sont égaux et parallèles , ainsi que CE , DF; donc les deux triangles AGE , BDF , sont égaux : on prouvera d'ailleurs , comme dans la proposition précédente , que leurs plans sont parallèles.

OtOMÉTEIB.

PROPOSITION XV

TBiOlftU.

Deuse droites comprises entre troU plans parallèles, sont coupées en parties proportionnelles,

iig. 191. Supposons que la ligne AB rencontre les plans parallèles MN, PQ , RS , en A , E , B , et que la ligne CD rencontre les mêmes plans en G, F , D ; je dis qu'on aura A£:£B:: CF : FD.

Tirez AD qui rencontre le plan PQ en G, et joignez AG, £G, GF, BD; les intersections EG, BD, des plans * 10. parallèles PQ, RS, parle plan ABD, sont parallèles'*'; donc AE : EB :: AG : GD ; pareillement les intersections AG, GF, étant parallèles , on a AG : GD :: GF : FD ; donc, à cause du rapport commun , AG : GD , on aura AE : EB :: GF : FD.

PROPOSITION XVI

fig. iga. Soit ABCD un quadrilatère quelconque situé ou non situé dans un même plan ; ei on coupe les côtés opposés proportfonnellement par deux droites EF . GH , de êorte qu'on ait AE:EB::DF:FG, BG : GG ;: AH : HD; <7f> que Us droites EF , GH , se couperont en un point M , de manière qu'on aura HM : MG :: AE : EB , ^/ EM : MF :: AH : HD.

Conduises raÎTant AD un plan quelconque A&HcD qui ne paste pas suivant GH ; par les points E , B , C , F , menez é GH les parallèles £e , Bh,Co, ¥ff qui renoontrent ce plan ene,hfC, f, A cause des parallè-

**lo[l\ °" 6H:Hc::BG:GG::AH:HD; donc*Mes

triangles kïLh, DHo, sont semblables. On aura ensuite Ae : «6 ; : AE :EB, et D/* : /b : : DF : FG } donc A.0 zebii'Df: fc, ou , componendo, Ao : D/: : Afr : De; mais, à oause des triangles semblables AH6, DHc, on a Ab : Do : : AH : HD ; donc A0 : D/* : : AH : HD : d'ailleurs les triangles AH6 , cHD, étant semblables, l'angle HA» =HD/*; donc les triangles AH0 ,

"90,3. mf, sont semblables*, donc langle AH0=DH/*. Il s'ensuit d'abord que éUf eêi une ligne droite , et qu'ainsi les trois parallèles Ee^GH, Vf, sont situées dans un même plan, lequel contiendra les deux droites EF, GH; donc oelha^ei doivent se couper en un point M. Ensuite, à cause des parallèles £0, MH, Vf, on aura £M : MF : : «H : H/*. : AH:HD.