LIVRE T

1?ar une construction semblable , rapportée au côté AB , on démontrerait que Hlil : MG : : AË : £B.

PROPOSITION XVIL

TBÉOBtBI.

Vem^lè coinpris entre les deux plans MAN , M , fig. 193 péût être mesuré y œnformément à la définition ^ par Vangle NAP que font entre elles les deux perpendicu. laires AN, AP, menées dans chacun de ces plans à l'intersection commune AM.

Poitf démôntrer la légitimité de cette mesure , il faut prouvei:,. !'' qu'elle eat constante , on qu'elle serait la même es quelque point de l'intersection commune qu'on menât les deux perpendiculaires.

En ^et , si on prend un autre point H , et qu'on mène M G dan» le plan MN, et MB dans le plan MP , perpendicnlaîre^ à l'intersection commune AM ; puisque MB et AP sont perpendiculaires à une même ligne AM , elles sont parallèlee entre elles. Par la même raison MG est parallèle à AN; donc l'angle BMG=PAN*; donc il est indifférent " i3. de mener les perpendiculaires au point M ou au point A ; l'angle compris sera toujours le même.

Il faut prouver que si l'angle des deux plans augmente ou diminue dans un certain rapport, Tangle PAN augmentera ou diminuei^a dans le même rapport.

Dans le plan PAN décrivez du centre A et d'un rayon à volonté l'arc NDP , du centre M et d'un rayon égal décri- Ttsz l'arc GEB, tirez AD à volonté; les deux plans PAN, BMG, étant pierpendiculaires à une même droite MA, se- , " ront parallèles*; donc les intersections AD, ME , de ces * 9. denx plans par un troisième AMD, seront parallèles ; donc l'angle BME sera égal à PAD *. « i3.

Appelons pour un moment coin l'angle formé par deux plans MP , MN ; cela posé , si l'angle DAP était égal à DAN , il est clair que le coin DAMP serait égal au coin DAMN ; car la base PAD se; placerait exactement sur son égale DAN , la hauteur AM serait toujours la même; donc les deux

GÉOHÉTIIC.

coin» coïncideraient l'un avec TaHtre. On voit de même que si Fangle DAP était contenu un certain nombre de foîs juste dans Tangle PAN, le coin DAMP serait contenu autant de fois dans le eoin PAMN. D'ailleurs , du rapport en nom* bre entier à un rapport quelconque la conclusion est légitime , et a été démontrée dans une circonstanca tout-à-fait * 17- semblable*; donc quel- que soit le rapport de Tangle.DAP à l'angle PAN , le coin DAMP sera dans *ce mêpie rapport avec le coin PAMN ; donc l'angle NAP peut être pris pour la mesure du coin PAMN , ou de l'angle que font entre eux les deux plans MAP , M AN.

SeholU. ti en est des angles formés par dèux'pléns eorinme des angles formés par deux droites. Ainsi, lorsque deox plans se traversent mutuellement , les angles opposé»* au sommet sont égaux , et les angles adjacents valent ensemble deux angles droits ; donc si un plan est perpendiculaire à un autre, celui-ci est perpeiyliculaire au premier. Pareillement dans la rencontre des plans parallèles par un troisième plan , il existe les mômes égalités et les mêmes propriétés que dans la rencontre de deux lignes parallèles par une troisième ligne.

PROPOSITION XVIII

THtORÈHE.

fig- 194. La ligne AP étant perpendiculaire au plan MN, tout plan APB, conduit suivant AP, sera perpendiculaire au plan HN.

ScMt BG l'interscjction des plans AB , MN; si dans le plan MN on mène DE perpendiculaire à BP , la ligne AP , étant perpendiculaire au plan MN , sera perpendiculaire à cha« cune des deux droites BC , DE : mais l'angle APD , formé par les deux perpendiculaires PA , PD , à l'intersection commune BP , mesure l'angle des deux plans AB , MN ; donc , puisque cet angle est droit , les deux plans sont perpendi- ♦ déf. 5. culaires entre eux *•

Scholiê.liOtw^p trois droites, telles que AP, BP, DP, sont perpendiculaires entre elles , chacune de ces droites

uvRB y.

est perpendiculaire an plan des deux autres et les trois plans sont perpendiculaires ebtre eux.

PROPOSITION XIX

THtOatMI.

Si le plan AB esi perpendiculaire au plan MN, et fig. 194. que dam le plan AB on mène la ligne P A perpendicu-latre à l'tntersectim commune PB , Je dis que PA sera perpendiculaire au plan HN.

Car si dans le plan MN on mène PD perpendiculaire à Pfi, l'angle APD sera droit, puisque les plans sont perpendiculaires entre eux ; donc la ligne AP est perpendiculaire aux deux droites PB , PD ; donc elle est perpendiculaire à leur plan MN.

Corollaire. Si le plan AB est perpendiculaire au plan MN, et que par un point P de l'intersection commune on élève une perpendiculaire au plan MN; je dis que cette. perpendiculaire sera dans le plan AB , car , si elle n*y était pas , on pourrait mener dans le plan AB une perpendiculaire AP à l'intersection commune BP, laquelle serait en même temps perpendiculaire au plan MN ; donc au même point P il y aurait deux perpendiculaires au plan MN ; ce qui est impossible*. *4-

PROPOSITION XX

THtORÈMIi.

Si deux plans AB , AD , sotii perpendiculaires à un ng. 194. troisième MN , leur intersection commune AP sera perpendiculaire à ce troisième plan.

Car si par le point P on élève une perpendiculaire, au plan MN, cette perpendiculaire doit se trouver à la fois dans le plan AB et dans le plan AD*; donc elle est leur 'cor. 19. intersection commune AP.

lU GftOHlTail.

PROPOSITION XXI

THtOlÈBI.

fig. 195. «Si un angle solide est formé par trois angles planSî, la somme de deux quelconques de ces angles sera plus grande que le troisième.

Il n'y a lieu à démontrer la proposition que lorsqné l'angle plan qu'on compare a la somme des deux autres est plos grand que chacun de ceux-ci. Soit donc l'angle solide S formé par trois angles plans ASB , ASC , BSG , et supposons que l'angle ASB soit le plus grand des tnûs ; je dis qu'on aura ASB < ASC + BSC.

Dans le plan ASB faites l'angle BSD = BSC, tirei à volonté la droite ADB; et, ayant pris SC=SD, jeijgnei AC , BC.

Les deux côtés BS , SD, sont égaux aux deux BS, SC, rangle BSD=BSG; donc les deux triangles BSD, BSC, sont égaux ; donc BD=BG. Mais on a AB < AC + BC; retranchant d'un côté BD , et de l'autre son égale BC , il restera AD<^ AC. Les deux côtés AS, SD, sont ^ux aux • deux AS, se, le troisième AD est plus petit que le troi-

* 10, 1. sième AC; donc* l'angle ASD< ASC. AjontantBSDsBSC, on aura ASD + BSD ou ASB < ASC + BSC.

PROPOSITION XXU.

ntovUx.

La soMune des angles plans qui finment un angle solide, est toujours wurindre que quatre angles droits. fig Coupet l'angle solide S par un plan qudconque ABCDE ;

d'un point O pris dans ce plan menei à tous les angles les lignes OA , OB , OC, OD, 0£.

La somme des angles des triani^ ASB , BSC , etc., formés autour du sommet S, équivaut i la somme des angles d'un pareil nombre de trian^ AOB , BOC, etc., forma autour du sommet O. Mais au point B les an|^ ABO, OBC, pris ensendile, font l'angle ABC plus petit que la somme

uvai y. 1S3

des aingles ABS , SBC'*' ; de même au point G on a BGO + * ai. OCD <^ BCS + SGD ; et ainsi à tons les angles du polygone ABCDË. n suit de la que dans les triangles dont le sommet est en O , la somme des angles à la base est plus petite que la somme des angles a la base dans les triangles dont le sommet est en S ; donc , par compensation , la somme, des angles formës autour du point O est plus grande que. la somme des angles autour du point S. Mais la somme des angles autour du point O est égale à quatce angles droits * ; * 5, i. donc la somme des angles q^i forment l'angle solide S est môindre que quatve angles droits.

Scholiê. Cette démonstration suppose que Fangle solide ^ est convexe , ou que le plan d'une face prolongée ne peut jamais couper l'angle solide; s'il en était autrement, la soibme des angles plans n'aurait plas de l»oi:nes et pourrait être d'une grandeur quelconque.

PROPOSliTION XXIIL THtOBiai.

Si deux angles solides sont composés de trois angles pbms égaux chacun à chacun , les plans dans lesquels sont les angles égaux seront également inclinés entre eux s

Soit l'angle ASG=DTF, l'angle ASB=DTË, et l'angle fig. 197. BSG =£TF; je dis que les deux plans ASC , ASB , auront eptre eux une inclinaison égale à celle des plans t)TF , DTE.

Ayant pris SB à volonté , menez BO perpendiculaire au plan ASC; du point 0, où cette perpendiculaire rencontre le plan, menez OA, OC, perpendiculaires sur SA, SG; joignez AB , BG ; prenez ensuite TË =:SB ; menez EP perpendiculaire sur le plan DTF; du point P menez PD, PF , perpendiculaires sur TD , TF; enfin joignez DE, £F.

Le triangle SAB est rectangle en A , et le triangle TDË en D *, et puisque l'angle ASB=DTE, on a aussiSBA=;TED. * 6. D'ailleurs SB =TË; donc le triangle SAB est égal a^ triangle TDE*; donc SA = TD , et AB=DE. On démontrera '5, 1, semblablement que SG=TF, et BC=5=EF. Cela posé, le qua-

GtOMtTBIB.

drilatère SAOC est égal au quadrilatèfe TDPF ; car posant l'angle ASC sur son égal DTF, à eaase de SA=:TD et SCssTF , le point A tombelra en D et le point G en F. En môme temps AO , perpendiculaire à SA , tombera sar DP perpendiculaire à TD, et pareillement OG sur FF ; donc le point O tombera sur le point P, et on aura AO=^DP. Mais les triangles AOB , DPE ^ sont rectani^les en et P , l'hypoténuse AB = D£, et le côté AO = DP; donc ces X- triangles sont égaux * ; donc l'angle OAB = PDE. L'angle OAB est l'inclinaison des deux plans ASB, ASG; l'angle PDE est celle des deux plans DTE, DTF; donc ces deiTx inclinaisons sont égales entre elles.

Il faut obserrer cependant que l'angle A du triangle rectangle OAB n'est proprement l'inclinaison desdeivc plans ASB, ASG , que lorsque la perpendiculaire BO tombe, .par rapport à SA, du môme côté que SC; si elle tombi^it de l'autre côté, alors l'angle des deux plans serait obtus, et, joint à l'angle A du triangle OAB , il ferait deux angles droits. Mais dans le môme cas l'angle des deux plans TDE , TDF, serait pareillement obtUs^ et, joint à l'angle D du triangle DPE , il ferait deux angles droits ; donc , comme l'angle A serait toujours égal à D , on conclurait de môme que l'inclinaison des deux plans ASB , ASG , est égale à çelle des deux plans TDE , TDF.

Seholie. Si deux angles solides sont composés de trois angles plans égaux chacun à chacun, et qu'en môme temps les angles égaux ou homologues soient àiêfOM de la même manière dans les deux angles solides , alors ces angles seront égaux , et posés l'un sur l'autre ils coïncideront. En effet on a déjà vu que le quadrilatère SAOG peut être placé sur son égal TDPF \ ainsi en plaçant SA sur TD, SG tombe sur TF, et le point sur le point P. Mais , à cause de l'égalité des triangles AOB, DPE, la perpendiculaire OB au plan ASG est égale à la perpendiculaire PE au plan TDF ; de plus ces perpendiculaires sont dirigées dans le môme sens; donc le point B tombera sur le point £ , la ligne SB sur TE, et les deux angles solides coïncideront entièrement l'un avec Vautre.