LIVRE y

Cette coïncidence cependaïit n'a lieu qu'en supposant que les angles plans égaux sont disposés de là même manière dans les deux angles solides ; car si les angles plans égaux étaient disposés dans un ordre inverse ^ ou , ce qui revient au même , si tes perpendictilaires OB, PE, au lieu d'être dirigées dans le même sens par rapport aux plans ASG , DTF , étaient dirigées en sens contraires , alors il serait impossible* de faire coïncider les deux angles solides l'un * aTec. l'autre. Il n'en serait cependant pas moins vrai , conformément au théotème, que les plans dans lesquels sont les angtes égaux seraient également inclinés entre eux ; de sorte que les deux angles solides seraient ég;aux dans toutes leurs parties constituantes , sans néanmoins pouvott être superposés. Celte sorte d'égalité, qui n'est pas absolue ou de superposition , mérite d'être distinguée par une dénomination particulière : nous l'appellerons égalOé par ffméirie.

Ainsi les deux angles solides dont il s'agit, qui sont formés, par trois angles plans égaux chacun à chacun, mais disposés dans ui^ ordre inverse , s'appelleront angles égaux par syméMs^ ou simplement angles symétriques.

La même remarque s'applique aux angles solides formés de plu» de trois angles plans : ainsi un angle solide formé par les angles plans A , B, C, D , ^, et un autre angle solide formé par les mêmes angles dans un ordre inverse A, £, D, C, B, peuvent être tels que les plans dans lesquels sont les angles égaux soient également inclinés entre eux. Ces deiix angles solides, qui seraient égaux sans que la superposition fût possible, s'appelleront angles solides égaux par symétrie y ou angles solides symétriques.

Dans les figures planes il n'y a point proprement d'égalité par symétrie , et toutes celles qu'on voudrait appeler ainsi seraient des égalités absolues ou de superposition : la raison en est qu'on peut renverser une figure plane , et prendre indifféremment le dessus pour le dessous. Il en est autrement dans les solides , où la troisième dimension peut être, prise dans deux sens différents. '

GÉOltTRIC.

PROPOSITION xxrv.

PHOBLftlB.

Étant donnés les trots angles plans qui forment un ^mgle solide y trouver par une construction plane V angle que deux de ces plans font entre eux.

H' iqB- Soit S l'angle solide proposé , dans lequel on oonnait les trois angles plans ASB , ASC , BSC ; on demande l'angle qne font entre eax deux de ces plans, par exemple les plans ASB, ASC.

Imaginons qu'on ait fait la m^nie construction que dans le théorème précédent , l'angle OAB serait l'angle requis, n s'agit done de trouver le même angle par une construction plane ou tracée sur un plan.

Pour cela faites sur un plàn les angles B%A, ASC, B''SG , égaux aux angles BSA , ASC , BSG , dans la figure solide ; prenez B'S et B'^S égaux chacun à BS de la figure solide ; des points B' et B" abaisse^ B'A et B^G perpendiculaires sur SA et SG , lesquelles se rencontreront en un point 0. Du point A comme centte et du rayon AB' décrivez la demi-circonférence B'^Ë ; au point élevez sur B^Ë la perpendiculaire Oh y qui rencontra la circonférence en h , joignez A^, et l'angle ËA^ sera l'inclinaison cherchée des deux plans ASG , ASB , dans l'angle solide.

Tout se réduit à faire voir que le triangle AO^ de la fi^re plane est égal au triangle AOB de la figure solide. Or les d^ux triangles B'SA , BSA , sont rectangles en A , les angles en S sont égaux ; donc les angles en B et B' sont pareillement égaux • Mais l'hypoténuse SB' est égale à l'hypoténuse SB ; donc ces triangles sont égaux ; donc SA de la' figure plane est égale à SA de la figure solide, et aussi AB', ou son égale kh dans la figure plane est égale à AB dans la figure solide. Qn démontrera de même que SG est ' égal de part et d'autre ; d'où il suit que le quadrilatère S AOG est égal dans l'une et dans l'autre figure , et qu'ainsi AO de la figure plane est égal à AO de la figure solide ; donc dans l'une et dans l'autre les triangles rectangles

IIVRI V.

AObj AOB, ont l'hypoténuse é^ale et tm côté égal ; donc ils sont égaux, et l'angle EAd, trouvé par la constrnçtion plane , est égal à riRolinaison des deux plaps SAB, SAC , dans Tangle solide. ;

Lorsque le point toinbe entre A et B' dans la fi^rq plane, Fangle ËA^ devient obtus, et mesure toujours la vraie inclinaison des plans : c'est pour cela que Ton a désigné par EAôy et non par OA^^ l'inclinaison demandée » afin que la même solution convienne a tous les cas sans exception.

Scholie, On peut demander si , en prenant trois angles pians à tolonté , on pourra former avec ces trois angles plans un angle solide.

D'abord il faut que la somme des trois angles donnés soit plus petite que quatre angles droits , sans quoi un angle solide ne peut être formé*; il faut de plus qu'après avoir * a», pris deux des angles à volonté B'SA, ASC, le troisième CSW^ soit tel , que la perpendiculaire B"G au côté SG rencontre le diamètre B'Ë entre ses extrémités B' et £. Ainsi les limites de la grandeur de l'angle GSB'' sont celles qui font aboutir la perpendiculaire B'^G aux points B' et £, De ces points abaissez sur GS les perpendiculaires B^I, EK, qui rencontrent en I et K la circonférence décrite du rayon . SB'', et les Umites de l'angle GSB"" seront CSI et GSK.

Mais dans le triangle isoscèle B'SI, la ligne CS prolongée étant perpendiculaire à la base Bl, on a l'angle GSIa GSB' = ASC+ASB'. Et dans le triangle isdscèle ËSK^ la ligne se étant perpendiculaire à ËR , on a langle CSK==GSË. D'ailleurs , à cause des triangles égaux ASE, ASB', l'angle ASE=ASB'; donc CSE out:SK==ASC — ASB\

Il résulte de là que le problème sera possible toutes les fois que le troiàième angle GSB'' sera plus petit que la somme des de^x autres ASC, ASB', et plus grand que leur différence : condition qui s'accorde avec le théorème xxif car , en vertu de ce théorème , il faut qu'on ait CSB" < ASC + ASB'; il faut aussi qu'on ait ASC < GSB" + ASB' ,^ ouCSB">ASG — ASB'.

GftOHtTRTI.

PROPOSITION XXV

PROBLÈME

Étant donnés deux des trois angles plans qui forment un angle solide y avec l'angle que leurs plans font entre eux, trouver le troisième angle plan.

H' '98- Soient ASC , ASB', les deox angles plans donnés^ et supposons pour un moment qiie CSB" soit le troisième angle que l'on cherche, alors, en faisant la même construction que dans le problème précédent, Tangle compris entre les plans des deux premiers serait £A^. Or, de même qu'on dét^mine l'angle EA& par le moyen dé CSB" les deux autres étant donnés, de même on peut déterminer GSB" par le moyen de EA^, ce qui résoudra le problème proposé. ' Ayant pris. SB' à volonté , abaissez sur SA la perpendiculaire indéfinie B'E, faites l'angle EA& égal à l'angle des deux plans donnés ; du point h où le côté A^ rencontre la circonférence décrite du centre A et du rayon AB', abaissez sur AE la perpendiculaire bOy et du point O abaissez sur se la perpendiculaire indéfinie OCB", que tous terminerez en Bî' de manière que SB"= SB' ; l'angle CSB" sQra le troisième angle plan demandé.

Car si on forme un angle solide avec les trois angles plans. B'SA , ASC , CSB", l'inclinaison des plans où sont les an- ^es donnés ASB^ ASC , sera égale à l'angle donné EA&.

fig. 199. Scholie, Si un angle solide est quadrujjle, ou formé par quatre angles plans ASB , B3C , CSD , DS A , la connaissance de ces angles ne suffit pas pour déterminer les^inclinaisons mutuelles de leurs plans ; car avec les mêmes angles plans on pourrait former une infinité d'angles solides* Mais si on ajoute une condition , par exemple , si on donne l'inclinaison des deux plans ASB , BSC , alors l'angle solide est entièrement déterminé , et on pourra trouver l'inclinaison de deux de ses plans quelconques. Ën effet , imaginez un angle solide triple formé par les angles plans ASB , BSC, ASC; les deux premiers angles sont donnés, ainsi que l'inclinaison de leurs plans; on pourra donc déter-