liVre

L'égalité serait manifeste si le troisième côté BG était égal au troisième £F : supposons , s'il est possible , que ces côtés ne soient pas égaux, et que BG soit le plus grand. Prenez BG=EF, et joignez AG. Le triangle ABG est égal au triangle DEF ; car Tanglé droit B est égal à l'angle droit E, le côté AB= DE, et le côté BG = EF; donc ces deux triangles sont égaux * et on a par conséquent AG=a DF ; * pr mais, par hypothèse, DF=aAG; donc AGs=AG. Mais l'oblique AG ne peut être égale à AG'*' , puisqu'elle est * pr plus éloignée de la perpendiculaire AB ; donc il est impossible que BG diffère de EF ; donc le triangle ABC est égal au triangle DEF.

PROPOSITION XIX

THÉOBÈHE.

Dans tout triangle y la somme de trois angles est aie à deux angles droits.

Soit ABG le triangle proposé dans lequel nous suppose- fig. rons (1) que AB est le plus grand côté et IbC le plus petit, et qu'ainsi AGB est le plus grand angle, et BAC le plus petit *. * pr

Par le point A et par le point I milieu du côté opposé BG, menez la droite AI que vous prolongerez en G' jusqu'à ce que AG'== AB ; prolongez de même AB en B' jusqu'à ce que AB' soit double de AL

Si on désigne par A , B , G , les trois angles du triangle ABG et semblablement par A% B', G' les trois angles du triangle AB'G', je dis qu'on aura l'angle G' =B + G , et l'angle A=A'+B', d'où résulte A -i- B -h C=A'+ B' G', c'est-à-dire que la somme des trois angles est la même dans les deux triangles.

Pour le prouver , faites AR = AI et joignez G'K, voû? aurez le triangle G'AK égal au triangle BAI. Car dans ces

(1) Cette supposition n'exclut pas le cas où le côté moyen ÂG serait égal à Tun des extrêmes ÂB ou BC.

GÉOliTRlI.

deax triangles, l'angle commun A est comprit entre côtés égaux chacun à chacun, savoir: AGs^AB, et ARsAl. Donc le troisième côté G'K. est égal au troisième BI ; donc aussi l'angle AG'K = ABC, et l'angle AKG= AIB.

Je dis maintenant que le triangle B'G'R est égal au triangle AGI, car la sonmie des deux angles adjacents

a. AKG' + G'KB' est égale a deux angles droits ainsi que la somme des deux angles AIG+AIB; retranchant de part et d'autre les angles égaux AKG\ AIB, il restera l'angle C'KB'sAlG. Ges angles égaux dans les deux triangles sont compris entre côtés égaux chacun à chacun , savoir , G'K=IB = GI, et KB' = AK=AI, puisqu'on a supposé AB'=3AI=âAK. Donc les deux triangles B'G'K, AGI,

6. sont égaux*; donc le côté G'B'=AG, l'angle B'G'K= AGB, et l'anglb KB'G'=GAI.

Il suit de là que l'angle AG'B' désigné par G' est composé de detix angles égaux aux angtes B et G du triangle ABG, et qu'ainsi on a G'=B + G ; â° que l'angle A du triangle ABG est composé de l'angle A' ou G'AB' qui appartient au triangle AB'G' et de l'angle GAI égal à l'angle B' du même triangle , ce qui donne A==A' -^-B'; donc A H- B -i- G = A' H- B' -H G'. D'ailleurs puisqu'on a par hypothèse AG < AB et par conséquent G'B'<AC', on voit que dans le triangle AG'B' l'angle en À, désigné par A' , est moindre que B', et comnie la somme des deux est égale à l'angle du triangle proposé, il s'ensuit qu'on a l'angle A' ^fA.

Si on applique la même construction au triangle AB'G', pour former un troisième triangle AG"B" dont les angles seront désignés par A'^, B", G", on aura semhlablement les deux égalités G" = G' +B', A'=A"-4-B", d'où résulte A'-t-B'H-C'=A"-*-B"H-C". Ainsi la somme des trois angles est la même dans ces trois triangles : on aura en même temps l'angle A'' <^ j A', et par conséquent A" <iA.

Gontinuant indéfiniment la suite des triangles AC'B', AG"B", etc., on parviendra à un triangle abc dans lequel la somme des trois angles sera toujours la même que dans