LIVRE YI

angles saillants ou polyèdres convexes. Ifous appelons ainsi ceux dont la surface ne peut être rencontrée par une ligne droite en plus de deux points. Dans ces sortes de polyèdres le plan prolongé d'une face ne peut couper le solide ; il est donc impossible que le polyèdre soit en partie au-d^essus du plan d'une surface , et ea partie au-dessous il est tout entier d'un même côté de ce plan.

PROPOSITION PREMIÈRE

THftOBtn.

Deux polyèdres ne peuvent apoir les mêmes sommets et en même nombre sans coïncider l'un avec l'autre.

Car supposons l'un des polyèdres déjà construit , si on veut en construire un autre qui ait les mêmes sommets et en même nombre , il faudra que les plans de celui-ci ne passent pas tous par les mêmes points que dans le premier, sans quoi ils ne différeraient pas l'un de l'antre : mais alors il est clair que quelques-uns des nouveaux plans couperaient le premier polyèdre ; il y aurait des sommets audessus de ces plans, et des sommets au-dessous, ce qui ne peut convenir â un polyèdre convexe : donc, si deux polyèdres ont les mêmes sommets et en même nombre , ils doivent nécessairement coïncider l'un avec l'autre.

Sehofiê. Étant donnés de position les points A, B, C, È., etc., qui doivent servir de sommets à un polyèdre, il est facile de décrire un polyèdre.

Ghoisissec d'abord trois points voisins, D, E, H, tels que fig.

plan BEH passe, s'il y a lieu, par de nouveaux points K, G, mais làisse tous les autres d'un même côté, tous audessus du plan ou tous au-dessous ; le plan DEH ouDEHKC, ainsi déterminé, sera une face du solide. Suivant un de ses côtés EH, conduisez un plan que vous ferez tourner jusqu'à ce qu'il rencontre un nouveau sommet F, ou pluaieurs à la fois F, I; vous aurez une seconde face qui sera FEH ou FEHI. Continuez ainsi en faisant passer des plans par les c6tés trouvés jusqu'à ce que le solide soit terminé de toutes parts : cé solide sera le polyèdre demandé , car il n'y en a pas deux qui puissent avoir les mêmes sommets.

StOMtTUB.

PROPOSITION II

THtORtMK.

Dans Hetix polyèdres symétriques les faces hontoloffues sont égaleschaeune à chacune , et rinclïnaison de deux faces adjacentes , ulans un de ces solides , est égale à l'inclinaison des fouies homçlogues dans Pautre. fig. ao5. Soit ABCBE la base çommane aiïx deux polyèdres ; soient M et N lefe sommets de deux angles solides quelconques de Fun des polyèdres , et N' lés sommets homologues de Fautre polyèdre; il faudra, suivant la défibitiob , que les droites MM', NN', soient perpendiculaires au plan ABC, et qu'elles soient divisées en deux parties égales aux points m et n où elles renconirent ce plan. Gela posé , je dis que la distance MN est égale à M'N'.

Car si on fait tourner le trapèze mWWn autour de mn jusqu'à ce que son plan s'applique sur le plan imMN^; à cause de» angles droits en m et en n, le côté mM' tombera sur son égal mM , et nN' sur nN ; donc Tes deux trapèzes coïncideront, et on aura MN = M'N'. '

Soit P un troisième sommet du polyèdre supérieur, et P' sonliomologue dans l'autre, ou aura de même MP=s:M'P' et NP=N'P'; donc le triangle MNP, ^td joint trois sommet* quelconques du polyèdre supérieur, est égal au triangle M'N'P' qui Joint le* trois sommets homologues de Vautre polyèdre.

Si parmi ces triangles on considère seulement ceux qui sont formés à la surface des. polyèdres, on peut déjà conclure que les surfaces des deux polyèdres sont composées d'un même nombre de triangles égaux chs^cun à chacun.

Jé dis maintenant qtie si des triangles sont dans au même plan sur une sifrface et forment une même face polygone , les triangles homologues seront dans un même pbin sur l'autre surface et formeront une face polygone égale.

En eflFet, soient MPN, NPQ, deux triangles adjacents qu'on suppose dans un même plan, et soient M'P'N', N'P'Q', leurs homologues. On a Pangle MNP = M'N'P', l'angle PNQs=P'N'Q'; et si on joignait MQ et M'Q', le