LIVRE VI

triangle MNQ serait égal à M'N'Q', ainsi on aurait l'angle MNQ=M'N'Q'. Mais puisque MPNQ est un seul plan, on a rangle MNQ=MNP+PNQ; donc on aura aussi M'N'Q' =M'N'P'+P'N'Q'- Or, si les trois plans M'N'P', P'N'Q', M'N'Q' n'étaient pas confondus en un seul, ceâ trois plans formeraient un angle solide, et on aurait * l'angle M'N'Q'< * ao, 5. M'N'P'+P'N'Q'; donc, puisque Cette condition n'a pas lieu, les deux triangles M'N'P', P'N'Q', sont dans un même plan.

Il suit de là que chaque face, soit triangulaire, soit polygone , dans un polyèdre , répond à une face égale dans l'autre, et qu'ainsi les deux polyèdres sont compris sous un même nombre de plans égaux, chacun à chacun.

Il reste à prouver que l'inclinaison de deux faces adjaceiites quelconques dans l'un des polyèdres est égale à rinclinàisoii des deux faces homologues dans l'autre.

Soient MPN, NPQ, deux triangles formés sur l'arête t;ommune NP dans les plans des deux faces adjacentes ; soient M'P'N', N'P'Q', leurs homologues ; on peut concevoir en N un angle solide formé par les trois angles plans MNQ, MNP , PNQ , et en N' un angle solide formé par les trois M'N'Q', M'N^P', P'N^Q'. Or, on a déjà prouvé que ces angl^ plans sont égaux chacun à chacun ; donc Tinclinaisoii des deux plans MNP, PNQ, est égale à celle de leurs homologues M'N'P', P'N'Q' *. -ai, 5.

i)ôtic , dans les pôlyèdres symétriques , les faces sont égales chacune à chacune , et les plans de deux faces quelconques adjacentes d'un des solides, ont entre eux la même inclinaison que les plans des deux faces homologues de raùtre solide.

Schoîte. On peut remarquer qiie les angle» solide» d'un polyèdre sont lès symétriques des angles solides de l'autre polyèdre; dar si l'angle solide N est formé parles plans MNP, PNQ, QNR< etc., son homologue N' est formé par les plans M'N'P', P'N'Q', Q'N'R', etc. Ceux-ci paraissent disposés dans le même ordre que les autres ; mais comme les deux angles solides sont dans une situation inverse l'un par rapport à l'autre , il s'ensuit que la disposition réelle des plans qui forment l'angle solide N' est l'inversé de celle qui a

GiOHÉTEIK.

lieu dans Tangle homologue N. D'ailleurs les inclinaisons des plans consécutifs sont égales dans l'un et dans l'autre angle solide; donc ces angles solides sont symétriques l'un de l'autre* F'oyet U êcholie de laprop. XXIII, liv. V.

Cette remarque prouve qu'un j^o/y^r» quelconque ne peut avoir qu'un seul polyèdre eymàtrique^ Car si on construisait sur une autre base un nouveau polyèdre symétrique au polyèdre donné, les angles solides de celui-ci seraient toujours symétriques des angles du polyèdre donné ; donc ils awaient égaux à ceux du polyèdre symétrique construit sur la première base. D'ailleurs les faces bomologues seraient toujours égales ; donc ces deux polyèdres symétriques construits sur une base ou sur une autre auraient les faces égales et les angles solides égaux; donc ils coïncideraient par la superposition, et ne fmdent qu'un seul et même polyèdre.

PROPOSITION m.

irtoatni.

Deux prismes sont égaux lorsqu'ils ont un angle solide compris et^fre trois plans égaux chacun à chacun et semhlablement placés.

fis. aoo. Soit la base ABGDE égale à la base mèede, le parallélogramme ABGF égal au parallélogramme migfy et le parallélogramme BCHG égal an parallélogramme heig; je dis que le priime ABQ sera égal au prisme ofct.

Car soit poaae la base ABCDE sur son ^ale eMr, œs deux bases coïncideront : mais les trœs angles pUns qui tonnent Tan^ solide £ sont ^ux aux trois an^es pluis qui fonrait l'anf^ solide h, chacun à cbacun, savoir, ABC =««r» ABGseif» el GBC=y«<r; de plus ces an^ sont semUaUement placés : donc les an|^ solides B et ^ sosil égaux, et par conséquent le côté BG tombetm sur sob égal On voit aussi qu'à cause des panllâogramnws ^ox ABGF, eigf, le coté GF tombara sur son égal j/, et sembla * blemoit GH sur gi; doue la base supéEieiiie FGHIK coïncidera entimBttat ^vee sm égale j^icft^ el les éen solides

LIVBE vr.

seront confondus en un seul , puisqu'ils auront les mêmes sommets *. ■ , * i.

Corollaire • Deux prUmeê droite qui ont dee baeee égalée et de» hauteure égalée eoni égaux. Car ayant le côté AB égal à ah, et la hauteur BG égale khgy le rectangle ABGF sera égal au rectangle ahgf; il en sera de même des rectangles BGHG, hghc; ainsi les trois plans qui fonnent Tangle solide B sont égaux aux trois qui forment Tangle solide h. Donc les deux prismes sont égaux.

PROPOSITION IV

THtORtSB.

Dans tout parallélipipède les plans oppùsés sont égaux et parallèles.

Suivant la définition de ce solide , les bases ABCD , fig. ao6. EFGH , sont des parallélogrammes égaux , et leurs côtés sont' parallèles : il reste clone à démontrer que la même chose a lieu pour deux faces latérales opposées , telles que AEHD, Bf GC. Or, AD est égale et parallèle à BG , puisque la figure ABGD est un parallélogramme; par une raison semblable AE est égale et parallèle à BF : donc Fangle D AE est égal à Uangle CBF*, et lé plan DAE parallèle à CBF 5 i3, 5. donc aussi le parallélogramme DAEH est égal au parallélogramme GBFG. On démontrera de même que les parallélogrammes opposés ABFË, DCGH, sont égaux et parallèles.

CoroUaire, Puisque le parallélipipède est un solide compris sous six plans dont les opposés sont égaux et parallèles, il s'ensuit qu'une face quelconque et son opposée peuvent être prises pour les bases du parallélipipède.

Scholie. Étant données trois droites, AB, AE, AD, passant par un même point A, et faisant entre elle» des angles donnés, on peut sur ces trois droites construire un parallélipipède ; il faut pour cela mener par l'extrémité de chaque droite un plan parallèle au plan des deux autres ; savoir, par le point B un plan parallèle à DAE, par le point D un plan parall^ à BAE, et par le point E un plan parallèle à

146 GiOHÉTAIK.

lieu dans Fangle homologue N. D'ailleurs les inclinaisons des plans consécutifs sont égales dans l'un et dans l'autre angle solide ; donc ces angles solides sont symétriques l'on de l'autre. Vm/et le êcholiê de laprop. XXIII, liv. V.

Cette remarque prouve qpi^xux polyèdre quelconque nepetU avoir qu'un eeul polyèdre eymàtrique. Car si on construisait sur une autre base un nouveau polyèdre symétrique an polyèdre donné, les angles solides de celui-ci seraient tou< jours symétriques des angles du polyèdre donné ; donc ils seraient égaux à ceux du polyèdre symétrique construit m la première base. D'ailleurs les faces bomologues seraient toujours égales ; donc ces deux polyèdres symétriques construits sur une base ou sur une autre auraient les faces égales et les angles solides égaux; donc ils coïncideraient par la superposition, et ne feraient qu'un seul et même polyèdre.

PROPOSITION III

THtOBÈmi^.

Deux prismes sont égaux lorsqu'ils oni un angle solide compris entre trois plans égaux chacun à chacun et semblablement placés.

(îg. aoo. Soit la base ABGDE égale à la base ahede, le parallélogramme ABGF égal au parallélogramme ab§if, et le parallélogramme BGHG égal au parallélogranune bchg; je dis que - le prisme ABGI sera égal au prisme abet.

Car soit posée la base ABGDE sur son égale abcde, ces deux bases coïncideront : mais les trois angles plans qai forment l'angle solide B spnt égaux aux trois angles plans qui forment l'angle solide b, chacun à chacun, savoir, ABC zsiabe, ABQ^sabg, et GBG=^^<?; de plus ces angles so semblablement placés : donc les angles soUdes B et ^ égaux, et par conséquent le côté BG tombera sur se* è^. On voit aussi qu'à cause des parallélogramme ABGF, ab^, le côté GF tombera sur son égal gf. blement GH sur gk; donc la base supérieure ^ Cidera entièrement lavec son égsAe^hik, e* '

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