IX

CCD,

l,STVXY,fig.

'jones égaux.

inme étant les L troisième plan ipris entre les pallie; dpnc NO est s côtés OP, PQ,QR, IX respectÎTement aux ion STVXY. D'ailleurs iips parallèles , il s'ensuit le la première iiection, «ont jles STV, TVX , etc. , de la »nsNOPQR, STVXY, sont des

GiomtTRii.

BAD. Les rencontres mutaelles de ces plans formennit le parallëlipipède demandé.

PROPOSITION V

THtOBÈMI.

Dans ioui parcUlélipipède les angles solides opposés sont symétriques l'un^de r autre; et les diagonales menées par les sommets de ces angles se coupent mutuellement en deux parties égales.

fig. ao6. Comparons, par exemple, Taiigle solide A à son opposé G; Tangle £AB, égal à EFB, est aussi égal à HGC, l'angle DAE=:DHE = CGF, et l'angle DAB=DCBr=HGF; donc les trois angles plans qui forment l'angle solide A sont égaux aux trois qui forment l'angle solide G , chacun à chacun ; d'ailleurs il est facile de voir que leur disposition est différente dans l'un et dans l'autre ; donc l** les deux * a3> 5. angles solides A et G sont symétriques l'un de l'autre

En second lieu , imaginons deux diagonales EC , AG , menées l'une et l'autre par des sommets opposés : puisque AE est égale et parallèle à GG , la figure AEGG est un parallélogramme ; donc les diagonales £G, AG , se couperont mutuellement en deux parties égales. On démontrera de même que la diagonale EG et une autre BF se couperont ausH en deux parties égales ; donc 2<> les quatre diagonales 6e couperont mutuellement en deux parties égales , dans un même point qu'on peut regarder comme le centre du parallélipipède.

PROPOSITION VI

THftoaÈHt.

fig. «07. Le plan BDHF, qui passe par deux arêtes parallèles opposées BF, DH , divise le parallélipipède AG en deux prismes triangulaires ABDHEF , GHFBCD , symétriques Vun de l'autre.

D'abord ces deux solides sont des prismes ; par les trian-

L1VRV TI. 149

pies ABD , EFH , ayaat leuri côtés égaux et parallèles , sont égaux , et en même temps les foces latérales ABFE , ADH£ , BDHF, sont des parallélogrammes ; donc le solide ABDHËF est un prisme : il en est de m'ème du solide GHFBCD. Je dis maintenant qi|e ces deux prismes sont symétriques l'un de l'autre.

Sur la base ABD faites le prisme ABDE'F'H' qui soit le symétrique du prisme ABDEFH. Suirant ce qui a été démontré *, le plan ABF'Ë' est égal à ABFE> et le plan * ADH'Ë' est égal à ADEE ; mais si on compare le prisme ^HFBGB au prisme ABDH'E'F', la base GHF est égale à ABD ; le l>ar»llé]ogramme GHDG, qui est égal à ABFE, est aussi égal à ABF'E', et le parallélogramme GFBG , qui est égal à ADHE , est aussi égal à ADH^E' ; donc les trois plans qui forment l'angle solide G dans^le prisme GHFBCD, sont égaux aux trois plans qai forment l'angle solide A dans le prisme ABDH'ET', cbacun à chacun , ;d'ailleurs ils sont disposés semblablement ; donc ces deur^rismes sont égaux"*", * et pourraient être superposés. Mais l'^in d'eux ABDH'ET' est symétrique du prisme ABDHËF ; donc l'autre, GHFBCD ^ mt aussi le symétrique de ABDHËF.

PROPOSITION vn.

iiiai.

Dans toutprismeÂBCÎJesseciiansJiOVQK.STYXY, fis faites par des plans parallèles , sont des polygones égaux.

Car les côtés NO , ST, sont parallèles , comme étant les intersections de deux plans parallèles par un troisième plan ABGF; ces mêmes côtés NO, ST, sont compris entre les parallèles NS, OT, qui sont côtés du prisme ; dpnc NO es( égal à ST. Par une semblable raison les côtés OP, PQ, QR, etc., de la section NOPQR, sont égaux respectiTcment aux côtés TV, yX, XY, etc., de la section STVXY. D'ailleurs les côtés égaux étant en m^rae temps parallèles , il s'ensuit que les angles NOP, OPQ, etc., de la première section, sont égaux respectivement aux angles STY, TYX , etc* , de la seconde. Donc les deuiç sections NOPQR, STVXY, sont des polygones égaux.

GiOIÉTRIB.

Corollaire, Toate section faite dans un prisme parallèlement à sa base , est égale à cette base.

PROPOSITION VIII

THtOSÈHB.

fig. ao8. Les deux prismes triangulaires symétriques kSù^

BCDFGH , dans lesquels se décompose le parallélipipède AG , sont équivalents entre eux.

Par les sommets B et F menez perpendiculairement au côté BF, les plans làad4!, Feh^, qui rencontreront^ d'une part en a, d, c, de l'autre en e, fi>,g, les trois sfutres côtés AE , DH , CG , du même parallélipipède ; les sections Ba<2c^ Tehff ', seront des parallélogrammes égaux. Ces sections sont égales , parce qu'elles sont faites par des plans perpendi- * 7. culaires à une même droite et par conséquent parallèles elles sont des parallélogrammes , parce que deux côtés opposés d'une même section àB^ de, sont les intersectioAs de deux plans parallèles ABFE , DGGH , par un même plan.

Par une raison semblable, la figure Ba^F est un parallélogramme , ainsi que les autres faces latérales BFgc , eéUiff, * déf. 4. adhe, du solide BadcFehg ; donc ce solide est un prisme ; et ce prisme est droit , puisque le côté BF est perpendiculaire au plan de la base.

Gela posé , si par le plan 6FHD on divise le prisme droit BA en deux prismes triangulaires droits oMèEhy BdcFhg; je dis que le prisme triangulaire oblique ABDEFH, sera équivalent au prisme triangulaire droit dBdeFh,

En effet ces deux prismes ayant une partie commune ABDA^F, il sufi&ra de prouver que les parties restantes , savoir, les «olides BakDdy YeEMh sont équivalents entre eux.

Or, à cause des parallélogrammes ABFE , aBF^ > les côtés AEt égaux à leur parallèle BF, sont égaux entre eux ; ainsi , en ôtant la partie commune A^ , il restera Aa=â. On proiivera de même <Jue J^d = HA.

\i , pour opérer la superposition des deux so- ^ F«EHA , plaçons Ja base Feh sur son égale

LITIE VI.

Bad; alors le .point e tombant en a , et le point % en lës côtés «E, hH^ tomberont sur leurs égaux aÂ, iH), puisqu'ils sont perpendiculaires an même plan Bad. Donc les deux solides dont il s'agit coïncideront entièrement l'un avec l'autre; donc le prisme oblique BADFEH est équivalent au prisme droit BadFeh.

On démontrera semblablement que le prisme oblique BDCFHG est équivalent au prisme droit BdcYhg. Mais les deux prismes droits BadFeh , BdcEhg sont égaux entre eux , puisqu'ils ont même hauteur BF, et que leurs bases Bad, Bde sont moitiés d'un même parallélogramme Donc les ' 3 cor. deux prismes triangulaires BADFEH, BDCFHG, équivalents à des prismes égaux , sont équivalents entre eux.

Corollaire. Tout prisme triangulaire ABDHEF est la moitié du parallélipipède AG, construit sur le même angle solide A , avec les mêmes arêtes AB , AD , AE.

PROPOSITION IX

THÉORÈHB.

Si deux parallélipipèdes AG^ AL, ont une base corn- fis- ^9mune ABCD, et que leurs bases sufférieuresEFGR, IKLM, soient comprises dans, un même plan et entre les mêmes parallèles EK, HL, ces deux parallélipipèdes seront équivalents entre eux.

Il peut arriver trois cas , selon que El est plus grand , plus petit ou égal à EF ; mais la démonstration est la même pour tous : et d'abcvd je dis, que le prisme triangulaire AEIDHM est égal au prisme triangulaire BFKCGL.

En effet, puisque AE est parallèle à BF et HE a GF, l'angle AEI = BFK , HEI = GFK , et HEA = GFB. De ces six angles les trois premiers format l'angle solide E , les antres forment l'angle solide F ; donc , puisque les angles plans sont égaux chacun à chacun , et semblablement disposés , il s'ensuit que les angles solides E et F sont égaux. Maintenant , si on posé le prisme AEM sur le pristne BFL, et d'abord la base AEI sur la base BFK , ces deux bases

GiOHtTRII.

ëtant égales 6oiocideront ; et puisque l'anifle soUde E est égal à l'angle solide F, le côté EH tombera sur sou égi^l : il n'en faut pas davantage pour prouver que les deux prismes coïncideront dans toute leur étendue ; car 1^ base AEI et l'arête EH déterminent le prisme AE^M , comme la

* 3. base BFK et Taréte FG déterminent le prisme BFL"*" : donc

ces prismes sont égaux.

Mais si du solide AL on retranche le prisme AEM , il restera le parallélipipède AIL ; et si du même solide AL on retranche le prisme BFL, il restera le parallélipipède AEG; donc les deux parallélipipèdes AIL, AEG, sont équivalents, çntre eux.

PROPOSITION X

THÉOEÈHE.

Deux paraUélipipèdes de même base et de même hauteur sont équivalents entre eux*

6g. aïo. Soit ABCD la base commune aux deux parallélipipèdes AG , AL ; puisqu'ils ont même hauteur, leurs bases supérieures EFGH , IKLM , seront sur le même pls^n. De plus les côtés £F et AB sont égaux et parallèles , il en est de même de IK. et AB; donc EF est égal et parallèle a IK : par une raison semblable GF est égal et parallèle à LK. Soient prolongés les côtés EF, HG , ainsi que LK , IM , jusqu'à ce que les uns et> les autres forment par leurs intersections le parallélogramme NOPQ , il est clair que ce parallélogramme sera égal à chacune des bases EFGH, IKLM. Or si on imagine un troisième parfiUélipipède qui , avec la même base inférieure ABCD , ait pour base supérieure NOPQ , ce troisième parallélipipède serait équivalent

* 9. au parallélipipède AG"*", puisqu'aj^ant même base inférieure,

les bases supériepres sojait comprises dans un même plan et entre les parallèles GQ , FN, Par la même raison ce troisième parallélipipède serait équivalent au parallélipipède AL; donc les deux parallélipipèdes AG, AL, qui ont inême base et même hauteur, sont équivalents entre eux.

PROPOSITION XI

Tout parallélipipède peut être changé en un paralléliptpède rectangle équivalent qui aura même hauteur et une base équivalente.

Soit AG le parallélipipède proposé ; des points A , B , C, fig. sio. D, menez AI , BK , CL, DM , perpendiculaires au plan de la base , yoqs formerez ainsi le parallélipipède AL équivalent au parallélipipède AG ; et dont les faces latérales AK , BL , etc., seront des rectangles. Si donc la base ABCD est un rectangle, AL sera le parallélipipède rectangle équi- Talent au parallélipipède proposé AG. Mais si ABCD n'est pas un rectangle , menez AO et BN perpendiculaires sur CD, ensuite OQ et NP perpendiculaires sur la base, fig. au- TOUS aurez le solide ABNOIKPQ qui sera un parallélipi- . pède rectangle : en effet , par construction , la base ABNO et son opposée IKPQ sont des rectangles ; les faces latérales en sont aussi , puisque les arêtes AI , OQ, etc. , sont perpendiculaires au plan de la base;; donc le solide AP est un parallélipipède rectangle. Mais les deux paralléli- ' pipèdes AP, AL , peuTcnt être censés avoir même base ABKI et même bauteur AO : donc ils sont équivalents ; donc le parallélipipède AG , qu'on avait d'abord changé en un ^^^^^ parallélipipède équivalent AL, se trouve de nouveau cbangé en un parallélipipède rectangle éc[uivalent AP , qui a la même bauteur AI , et dont la base ABNO est équivalente à la base ABCD.

PROPOSITION XIL

THÉORftMB.

Deux parallélipipèdes rectangles AG , AL , qui ont la même base ABCD , sont entre ew comme leurs hauteurs AE , AI.

Supposons d'abord que les bauteurs AE, AI, soient fig. 21a, entre elles comme deux nombres entiers , par exemple , comme 15 est à 8. On divisera A£ en 15 parties égales,

1S4 GiOHÉTRII,

dont AI contiendra 8, et par les points de division x, y y z, etc., on mènera des plans parallèles à la base. Ces plans partageront le solide AG en 15 parallëlipipèdes partiels qui seront tons égaux entre eux , comme ayant des bases égales et des hauteurs égales; des bases égales, parce que toute section comme MIKL, faite dans un prisme 7- parallèlement à sa base ABCD , est égale à cette base * ; des hauteurs égales , parce que ces hauteurs sont les divisions mêmes Ax, xy, sz, etc. Or, de ces 15 parallëlipipèdes égaux , huit sont contenus dans AL ; donc le solide AG est au solide AL comme 15 est à 8, ou en général comme la hauteur A£ est à la hauteur AI. t

En second lieu, si le rapport de AE à AI ne peut s'exprimer en noipbres, je dis qu'on n'en aura pas moins êolid, AG : solid, AL :: AË : AI. Car, si cette proportion n'a pas lieu, supposons qu'on ait sol, AG ; soi. AL :: AE : AO. Divisez AE en parties égales dont chacune soit plus petite que 01 , il y aura au moins un point de division m entre et I. Soit P le parallélipipède qui a pour base ABGD et pour hauteur Am; puisque les hauteurs AE, Am sont entre elles comme deux. nombres entiers, on aura soL AG : P :: AE : Am, Mais on a, par hypothèse , soi, AG : soi, AL :: AE ; AO ; de là résulte sol. AL : P AO : Am. Mais AO est plus grand que Am ; donc il faudrait , pour que la proportion eût lieu, que le solide AL fût plus grand que P. Or au contraire il est plus petit : donc il est impossible que le quatrième terme de la proportion soi, AG : soL AL :: AE : s, soit une ligne plus grande que AI. Par un raisonnement semblable on démontrerait que le quatrième tçrme ne peut être plus petit que AI ; donc il est égal à AI ; donc les parallëlipipèdes rectangles de même base sont entre eux comme leurs hauteurs^

WtÔPOSITION XIII.

THÉORÈME

^miléiipijjèdes rectangles AG , AK , qui mt r JlB , entre eux comme leurs btises