LIVRE VI

Ayant placé les deux solides Vun à côté de l'antre^ comme la figure les représente , prolongez le plan ONKL , jusqu'à cé qu'il rencontre le plan DCGH suivant PQ, vous aurez un troisième parallélipipède AQ, qu'on pourra comparer à chacun des parallélipipèdes AG, AK. Les deux solides AG, AQ, ayant môme basé AEHD, sont entre eux comme leurs hauteurs AO, AB; pareillement les deux solides AQ , AK, ayant même base AOLE, sont entre eux comme leurs hauteurs ÂJ), AM. Ainsi on aura les deux proportions ,

9ol. AG : soi. AQ ; : AB : AO ,

êoL AQ : 90Î. AK : : AD ; AM.

Multipliant ces deux preportions par ordre, et omettant , dans le résultat, le multiplicateur commun 9ol, AQ, on aur«i ,

êol. AG : sol. AK : ; AB X AD : AO x AM.

Mais ABx AD représente la base ABGD, et AOx AM représente la base AMNO; donc deux parallélipipèdes rectangles de même hauteur sont entre eux comme leurs bases.

PROPOSITION XIV

THiORÈflB.

Deux parallélifdpèdeê rectangles quelconques sont entre eux comme les produits de leurs bases par leurs hauteurs, ou comme les produits de leurs trois dimensions.

Car ayant placé les deux solides AG , AZ , de manière fig* ai 3. que leurs surfaces aient l'angle commun BAE , prolongez les plans nécessaires pour former le troisième parallélipipède AK de même hauteur avec le parallélipipède AG. On aura ^ par la proposition précédente ,

êoL AG : soi. AK :: ABGD : AMNO.

Mais les deux parallélipipèdes AK, AZ, qui ont même base AMNO, sont entre eux comme leurs hauteurs AE, AX^ ainsi on a ,

sol. AK : sol. AZ :: AE : AX.

GtOMiTlIB.

MaltîpHant ces deux proportions par ordre , et omettant , dans le résultat, le multiplicateur commun êoL AS.^ on aura ,

sol. AG : soi. AZ : : ABCD x AE : AMNO x AX.

A Ja place des bases ABCD et AMNO, on peut mettre ABx AD et AOx AM, ce qui donnera ,

sol. AG: sol. AZ : : ABx ADx AE : AOx AMx AX.

Donc deux parallélipipèdes rectangles quelconques sont entre eux, etc.

Scholie, n suit dé là qu'on peut prendre pour mesure d'un parallëlipipède rectangle le produit de sa base par sai hauteur, qu le produit de ses trois dimensions. C'est sur ce principe que nous évaluerons tous les autres solides*

Pour l'intelligence de cette mesure il faut se rappeler qu'on entend. par produit de deux ou de plusieurs lignes , le produit des nombres qui représentent ces lignes , et ces nombres dépendent de l'unité linéaire qu'on peiit prendre à volonté : cela posé , le produit des trois dimensions d'un parallélipipède est un nombre qui ne signifie rien en luimême, et qui serait différent si on avait pris une autre unité linéaire. Mais si on multiplie de même les trois dimensions d'un autre parallélipipède, en les évaluant d*après la même unité linéaire , les deux produits seront entre eux comme les solides , et donneront l'idée de leur grandeur relative.

La grandeur d'un solide , son volume ou son étendue constituent ce qu'on appelle sa solidité, et le mot de solidité est employé particulièrement pour désigner la mesure d'un solide : ainsi on dit que la solidité d'un parallélipipède rectangle est égale au produit de sa base par sa hautear, ou au produit de ses trois dimensions.

Les trois dimensions du cube étant égales entre elles , si le côté est 1 , la solidité sera 1x1x1, ou I ; si le côté est 2, la solidité sera 2x2x2, ou 8; si le côté est â, la * soliditéseraSxSxS, ou27,et ainsi de suite; ainsi les côtés des cubes étant conmie les nombres 1,2, S, etc., lés cubes eux-mêmes ou leurs solidités sont comme les nombres 1 ,

LIVEl VI,

6 , 27 , etc. De là vient qu'on appelle en arithmétique tu6e d'un nombre le produit qui résulte de trois facteurs égaux à ce nombre.

Si on proposait de faire un cube double d'un cube donné , il faudrait que le côté du cube cherché fut au côté du cube donné comme la racine cube* de S est à l'unité. Or on trouve facilement , par une construction géométrique , la racine carrée de â ; mais on ne peut pas trouver de même sa racine cube , du moins par les simples opérations de la géométrie élémentaire , lesquelles consistent à n'employer que des lignes droites dont on connaît deux pointa ^ et des cercles dont les centres et les rayons sont déterminés.

A raison de cette difficulté le problème de la duplication du ûuhe a été célèbre parmi les anciens géomètres , comme celui de jla trisection de l'angle y qui est à-peu-près du même ordre, itfais on connaît depuis long-temps les solutions dont ces sortes de problèmes sont susceptibles , lesquelles , quoi* que moins simples que les constructions de la géométrie élémentaire, ne sont cependant ni moins exactes, ni moins rigoureuses.

PROPOSITION XV

THÉORÈm.

La solidité d'un parallélipipède, et en général la solidité d'un prisme quelconque, est égale au produit de sa base par sa hauteur.

Car 1^ un parallélipipède quelconque est équivalent à un parallélipipède rectangle de même hauteur et de base équivalente*. Or la solidité de celui-ci est égale à sa base mul- * ii. tipliée par sa hauteur ; donc la solidité du premier est pareillement égale au produit de sa base par sa hauteur ;

â** Tout prisme triangulaire est la moitié du parallélipipède construit de manière qu'il ait la même hauteur et une base double"^. Or la solidité de celui-ci est égale à sa base * & multipliée par sa hauteur ; donc celle du prisme triangulaire est égale au produit de sa base, moitié de celle du parallélipipède, multipliée par sa hauteur.

158 GiOKÉTlIB.

â<» Un prisme qaeloonqae peut être partagé en antant de prismes triangulaires de même haatear qu'on peut former de triangles dans le polygone qai lui sert de base. Mais la solidité de chaque prisme triangulaire est égale à sa base multipliée par sa hauteur ; et puisque la hauteur est la même pour tous, il s*en8uitt[ue la somme de tous les prismes partiels sera égale à la somme de tous les triangles qui leur serrent de bases, multipliée par la hauteur commune. Donc la solidité d'un prisme polygonal quelconque est égale au produit de sa base par sa hauteur.

Corollaire, Si on compare deux prismes qui ont même hauteur, les produits des bases par les hauteurs seront comme les bases ; donc ieux priomês do mémo hauteur sont entre eux comme lèure baeee; par une raison semblable, deus priemee de même haee sont entre eux comme leure hauteurs.

PROPOSITION XVl.

Bg. 9i4- St une pyramide SABCDE est coupée par un plan abd parallèle à sa base,

V Les côtés SA, SB, SC,-... la hauteur SO, seront divisés proportionnellement en a, h, c,.,, et o;

2® La section abcde sera un polytfone semblable à la basé ABCDE.

Car lo les plans ABC , abc, étant parallèles , leurs intersections AB , , par un trobième plan SAB , seront paral- * 10, 5. lèles'i' , donc les triangles SAB , Sab, sont semblables , et on a la proportion SA : Sa : : SB : S^; on aurait de même SB : S& : : Sdx Se , et ainsi de suite. Donc tous les côtés SA , SB , se , etc. , sont coupés propcurtionnellement en a, b, e» etc. La hauteur SO est coupée dans la même proportion au point ; car BO et ^ sont parallèles , et ainsi on a SO : So : : SB : Sb,

2» Puisque ab est parallèle à AB , à BC , à CD, etc., l'angle a«c = ABC, l'angle ^^=:s=BCD, et ainsi de suite. De plus, à cause des triangles semblables SAB, Sab, on a

UYftB TI, , 159

AB ; : : SB : Sè; et à cause des triangles semblables SBC, on a SB : S^ : : BG : Bc ^ donc AB : ab i : BG : be : on aurait die même BC : be : : GD ; ed, et ainsi de suite. Donc les polygones ABCD£ , aèede, ont les angles égaux chacun à chacun et les cètés homologues proportionnels; donc ils sont semblables.

Corollaire. Soient SABCDE, 5XYZ, deux pyramides dont le sommet est commun , et qui ont même hauteur, ou dont les bases sont situées dans un même plan ; si on coupe ces pyramides par un même plan parallèle au plan des bases , et qu'il en résulte les sections abede, xyt; je dis que le9 sections abcde, xyz, seront enire elles comme les boises ABCDE,XyZ.

Car les polygones ABCDE, abede, étant semblables^ leurs surfaces sont comme les carrés des côtés homologues AB ,

ab; mais AB : ab :: SA : Sa; donc ABCDE : abcde :: SÂ": Sa.

Par la même raison , XYZ : xyz :: SX : Si. Mais puisque abcxyz n'est qu'un même plan, on a aussi SA : Sa :: SX : Sx; donc ABCDE : abcde :: XYZ : xyz; donc les sections aScde, syz, sont entre elles comme les bases ABCDE, XYZ. Donc si les bases ABCDE , XYZ sont équivalentes , les sections faites à égale hauteur sont paBeiUement équivalentes.

PR0P0SITI0]>1 XYII.

TlUORÈHI,

Deux pyramides triangulaires qui ont des bases équivalentes et des hauteurs égales y sont équivalentes.

Soient S ABC, sabc les deux pyramides dont les bases fig. ai 5. ABC , abe, que nous supposons placées sur un même plan , sont équivalente^ et qui ont même haateur TA ; si ces pyramides ne sont pas équivalentes , soit sabc la plus petite et soit A^ la hauteur d'uji prisme qui, étant construit sur la base ABC , serait égal à leur différence.

Divisez la hauteur commune AT en parties égales plus petites que A^ ^ et soit h une de ces parties ; par les points de division de la hauteur, faites passer des plans parallèles

GtOfltTRII «

au plan des bases ; les sections faites par chacon de ces cor. plans dans les deux pyramides, seront équivalentes*, telles que DEF et àtf, GHI et ghi^ etc. Cela posé , sur les triangles ABC, DEF, GHI, etc., pris pour bases, construisez des prismes extérieurs qui aient pour arêtes les parties AD, DG, GK, etc., du côté SA; de même sur les triangles àtfj ghij klm, etc., pris pour bases, construisez dans la seconde pyramide des prismes intérieurs qui aient pour arêtes les parties correspondantes du côté #a; tous ces prismes partiels auront pour hauteur commune k,

La somme des prismes extérieurs de la pyralnide SABG est plus grande que cette pyramide , la somme des prismes intérieurs de la pyramide saàe est plus petite que cette pyramide ; donc' par ces deux raisons la différence entre les deux sommes de prismes devra être plus grande que la différence entre les deux pyramides.

Or à partir des bases ABG , abe, le second prisme extérieur DEFG est équivalent au premier prisme intérieur defa, puisque leurs bases DEF, def, sont équivalentes et qu'ils ont une même hauteur k; sont équivalents par la même raison le troisième prisme extérieur GfllK et le second intérieur ghtd, le quatrième extérieur et le troisième intérieur, ainsi de suite jusqu'au dernier des uns et des autres. Donc tous les prismes extérieurs dé la pyramide SABG , À l'exception du premier ABCD , ont leurs équivalents dans les prismes intérieurs de la pyramide êoie. Donc le prisme ABCD est la différence entre la somme des prismes extérieurs de la pyramide SABG et la somme des prismes intérieurs de la pyramide sabe ; mais la différence de ces deux sommes est plus grande que la différence des deux pyramides ; donc il faudrait que le prisme ABGD fût plus grand que le prisme ABGX ; or au contraire il est plus petit , puisqu'ils ont une même base ABG , et que la hauteur k du premier est moindre que la hauteur kx du second. Donc l'hypothèse d'où l'on est parti ne saurait avoir lieu ; donc les deux pyramides SABG , saie, de bases équivalentes et de hauteurs égales , sont équivalentes.