LIVRE Vf

PROPOSITION XVIII

THtORtHlE.

Toute pyrdmide triangulaire est le tiers du prisme triangulaire de même base et de même hauteur.

Soit âAËGD une pyramide triangalaire , ABCDËS un fig. ai6, pri&me triangalaire de même base et de même hauteur, je dis que la pyramide est le tiers du prisme.

Retranchez du prisme la pyramide SABG , il restera le solide SAGDE, qu'on peut considérer comme une pyramide quadrangnlaire dont le sommet est S et qui a pour base le parallélogramme AGDË: tirez la diagonale G£ et conduisez le plan SGË qui partagera la pyramide quadrangnlaire en deux pyramides triangulaires SAGE , SDGE. Ges deux pyramides ont pour hauteur commune la perpendiculaire abaissée du sommet S sur le plan AGDE; elles ont des bases égales , puisque les triangles AGE , DGE , sont les deux moitiés du même parallél(^ramme ; donc les deux pyraihides SAGE , SDGE , sont équiTalentes entre elles ; mais la pyramide SDGE et la pyramide SABG ont des bases égales ABG, DES; elles ont aussi même hauteur, car cette hauteur est la distance des plans parallèles ABG, DES. Donc les deux pyramides SABG , SDGE, sont équivalentes ; mais on a démontré que là pyramide SDGE est équivalente à la pyramide SAGE ; donc les trois pyramides SABG, SDGE, SAGE, qui composent la prisme ABD sont équivalentes entre elles. Donc la pyramide SABG est le tiers du prisme ABD qui a même base et même hautear.

Coroîlairei La solidité d'une pyramide triangalaire est égale au tiers du produit de sa base par sa hauteur.

PROPOSITION XIX

THtoaftKE.

Toute pyramide SABCDE ù pour mesure le tiers du fig. 2114. produit de sa base ABGI)E par sa hauteur AO.

Gar en faisant passer les plans SEB , SEG , par les diago-

GtOHtTllI.

ilales EB , EG, on divisera la pyramide polygonale SABGDE en plnfienrs pyramides triangulaires qoi auront toutes la même hauteur SO. Mais par le théorème précédent chacune de ces pyramides se mesure en multipliant chacune . des bases A6E , BCE , GDE , par le tiers de sa hauteur SO; donc la somme des pyramides triangulaires , ou la pyramide polygonale SABGDE, aura pour mesure la somme des triangles ABE, BGE, GDE, ou le polygone ABGDE, mul- . tiplié par jSO ; donc toute pyramide a pour mesure le tiers du produit de sa base par sa hauteur.

Corollaire I. Toute pyramide est le tiers du prisme de même base et de même hauteur.

Corollaire II. Deux pyramides de même hauteur sont entre elles comme leurs bases, et deux pyramides de même base sont entre elles comme leurs hauteurs.

Scholie, On peut évaluer la solidité de tout corps polyèdre en le décomposant en pyramides , et cette décomposition peut se faire de plusieurs manières : une des plus simples est de faire passer les plans de division par le sommet d'un même angle solide ; alors on aura autant de pyramides partielles qu'il y a de faces dans le polyèdre , excepté celles qui forment l'angle solide d'où partent les plans de division.

PROPOSITION XX

THiOlt».

Deux polyèdres eyméMqttes sont ëquivaietUs entre eux ou égaux en solidité.

fig. aoa. Gar deux pyramides triangulaires symétriques, tellea que SABC , TABG , ont pour mesure commune le produit de la base ABG par le tiers de la hauteur SO ou TO ; donc ces pyramides sont équivalentes entre elles.

â<» Si on partage d'une manière quelconque l'un des polyèdres symétriques eh pyramides triangulaires, on pourra partager de même l'autre polyèdre en pyramides triangulaires symétriques; or lesi pyramides triangulaires symétriques sont équivalentes chacune à chacune; donc

LIYU YI. 163

les polyèdres ei^tiera seront équivalents entre eux, on égaux en solidité.

SchoUe, Cette proposition semblait résulter immédiatement de la proposition Ils où l'on a fait voir que dans deux polyèdres symétriques, toutes les parties constituantes ^ d'un solide sont égales aux parties constituantes de l'autre; maïs il n'en était pas moins nécessaire de la démontrer d'une, manière rigoureuse.

PROPOSITION XXI

tBtORÈHE.

Si une pyramide est coupée par un plan parallèle à sa base y le tronc qui reéte en ôtant la petite pyramide , est égal à la somme de trois pyramides qui auraient pour hauteur commune la hauteur du trône, et dont les bases seraient la base inférieure du tronc, sa base supérieure, et une moyenne proportionnelle entre ces deux bases.

Soit ABGDE u^e pyramide coupée par le plan abd parai- fig- ai?, lèle à la base ^ soit TFGH une pyramide triangulaire dont la base et la hauteur soient égales ou équivalentes à cëUes de la pyramide S ABGDE. On peut supposer les deux bases située» sur un même plan | et alors le plan abd , prolongé , détermiliera dans la pyramide triangulaire une section^A , située à la même hauteur au-dessus du plan commun des bases : d'où il résulte que la section>JrA est à la section abd comme la base FGH est à la base ABD et puisque les * i6. bases «ont équivalentes , les sections le seront aussi. Les pyramides Sabcde, Xfyh, s(mt donc équivalentes » puisqu'elles ont même hauteur et des bases équivalentes. Les pyramides entières S ABGDE, TFGH, sont équivalentes par la même raison; 4onc les troncs ABDdab, FGUhfy, sont équivalents, et par conséquent il suffira de démontrer la prc^sition énoncée , pour le seul cas du tronc de pyramide triangulaire.

Soit FGH^ un tronc de pyramide triangulaire à bases fig. ai8. parallèles : par les trois points F, fi, conduisez le plan

GiOKtTRIE.

FyH , qui retranchera du tronc la pyramide triangolaire' yFGH. Cette pyramide a ponr base la base inférieure FGH du tronc, elle a aussi pour hauteur la hauteur du tronc , puisque le sommet ^ est dafis le plan de la base supérieure

Après avoir retranché cette pyramide , il restera la pyramide quadrangulaire sfKSF, dont le sommet est g et la basey%HF. Par les trois points/, H , conduisez le plan fgH , qui partagera la pyramide quadrangulaire en deux triangulaires gYfH , gfkïL, Cette dernière a pour base la base supérieure gfk du tronc , et pour hauteur la hauteur

^ du tronc , puisque son sommet H appartient à la base inférieure : ainsi nous avons déjà deux des trois pyramides qui doivent composer le tronc.

Il reste à considérer la troisième gT^fR : or, si on mène parallèle à /F, et qu'on imagine une nouvelle pyramide /FHK , dont le sommet est K et la base , ces deux pyramides auront môme base ; elles auront aussi mèmp hauteur, puisque les sommets ^ et K sont situés sur une ligne parallèle à ^ et par conséqûeût parallèle au plan de là base; donc ces pyramides sont équivalentes. Mais là pyramide /FKH peut être considérée 6omme ayant son sommet en fy et ainsi elle aura même hauteur que le tronc ; quant à sa base FKH , je dis qu'elle est moyenne proportionnelle entre les bases FGH, fgh. En efiet les triangles FHK ont un angle égal F=/, et un côté égal FK

3. z=zfg; on a donc* FHK ifgh : : FH :/h. On a aussi FHG : FHK : : FG : FK ou^. Mais les triangles semblables FGH , fgh , donnent FG :^ : : FH :/h; donc FGH : FHK : : FHK : fgh; et ainsi la base FHK est moyenne proportionnelle entre les deux bases FGH, fgh. Donc un tronc de pyramide triangulàire , à bases parallèles, équivaut à trois 'pyramides qui ont pour hauteur commune la hauteur du tronc, et dont les bases sont la base inférieure du tronc , sa base supérieure, et une moyenne proportionnelle entre ces deux bases.