L1V1|E VI

PROPOSITION XXII

THtORÈlB.

St an coupe un prisme triangulaire dont ABC est la fig- a 16. basej par un plan DES incliné à cette base, le solide ABGDES , qui résulte de cette section y sera égal à la somme de trois pyramid^es dont les sommets sont I) , E , S, et la base commune ABC.

Par les trois points S , A , C , faites pajsser le plan SAC , qui retranchera da prisme tronqué ABGDES la pyramide triangulaire SABG : cette pyramide a pour base ABC et pour sommet le point S.

Après avoir retranché cette pyramide , il restera la pyramide triangulaire SAGDË , dont S est le sommet^ et ACDE la base. Par les trois points S , E , G , menez encore un plan SEG , qui divisera la pyramide quadrangulaire en deux pyramides triangulaires SAGE , SGDE.

La pyramide SAEC , qui a pour base le triangle AEG et pour sommet le point S , est équivalente à une pyramide EABG, qui aurait pour base AEC et pour sommet le point B. Car. ces deux pyramides ont même base ; elles ont aussi même hauteur, puisque la ligne BS , étant parallèle à chacune des lignes AE, CD, est parallèle à leur plan AGE; donc la pyramide SAEG est équivalente à la pyramide EABG , laquelle peut être considérée CQmme ayant pour base ABG et pour sommet le point E.

La troisième pyramide SGDE peut être changée d'abord en ASGD ; car ces deux pyramides ont la même base SCD ; elles ont aussi la même hauteur, puisque AE est parallèle au plan SGD ; donc la pyramide SGDE est équivalente à ASGD. Ensuite la pyramide ASGD peut être changée en - ABGD, car ces deux pyramides ont la base commune AGD ; elles ont aussi la même hauteur, puisque leurs sommets S et B sont situés sur une parallèle au plan de la base. Donc la pyramide SGDE, équivalente à ASGD, est aussi équivalente à ABGD ; or, celle-ci peut être regardée comme ayant pour base ABG et pour sommet le point D.

GftoHtnn.

Donc enfin , le prisme troncpië ABGDES est égal à la somme de trois pyramides qui ont pour base commune ABC , et dont les sommets sont respectivement les points

Corollaire. Si les arêtes AE , BS , CD , sont perpendiculaires an plan de la base , elles seront en même temps les hauteurs des trois pyramides qui composent le prisme tronqué ; de sorte que la solidité du prisme tronqué sera exprimée par ^ABG x AE+f ABC x BS+îABG X CD, quantité qui se réduit à ^ABC x (AE+BS-hCD).

PROPOSITION XXIII

THtoakiB.

Deux pyramide» triangulaires semblables ont les faces homologues semblables , et les angles solides homologues égaux.

Suivant la définition , les deux pyramides triangpolaires SABC , TDEF, sont semblables si les deux triangles SAB , fig- ao3. ABC , sont semblables aux deux TDE , DEF, et semblable^ ment placés, c'est-à-dire, si l'on a l'angle ABSs=DET, BASssEDT, ABCniDEF, BACsssEDF, et si en outre l'inclinaison des plans SAB, ABC, est égale a celle des plans TDE , DEF : cela posé , je dis que ces pyramides ont toutes les faces semblables chacune à chacune , et les angles solides homologues égaux.

Prenez BG*=ED , BHr=EF, BI=ET, et joigne» GH, GI , IH. La pyramide TDEF est égale à la pyramide IGBH; car ayant pris les côtés GB, BH, égaux aux côtés DE, EF, et l'angle GBH étant , par hypothèse , égal à l'angle DEF, Je triangle GBH est égal à DEF; donc, pour opérer la superposition des deux pyramides , on peut d'abord placer la base DEF sur son égale GBH ; ensuite , puisque le plan DTE est incliné sur DEF autant que le plan SAB sur ABC, il est clair que le plan DËT tombera indéfiniment sur le plan ABS. Mais , par hypothèse , l'angle DET=GBI , donc ET tombera sur son égale BI ; et puisque les quatre points D ,

E, F, T, coïncident avec les quatre G , B, H , 1 , il s'en-

LIYBK VI.

guit * que U pyramide TDEF coïncide avec la pyramide * i. IGBH.

Or, à c^use des triaoglçs égaux DEF, GBH , ou a Fangle BGHssËDF=BAG ; donc GHest parallèle à AG. Par une raison semblable GI est parallèle à AS ; donc le plan IGH est parallèle à SAG"*". De là suit que le triangle IGH , ou * i3, 5. son égal TDF,. est semblable à SAC * , et que le triangle * i5. IBH, ou son égal TËF, est semblable à SBG; donc les deux pyramides triangulaires sen^blables 3 ABC, TDEF, ont les quatre faces semblables cbacune a cbaoune : de plus elles ont les angles solides homologues égaux.

Car on a déjà placé l'angle ^oli(ie £ son homologue B , et on pourrait faire de même pour dçux autres angles solides homologues ; nuiis on yçit immédiatement que deux angles solides homologues sont égaux » par exemple , les angles T etS, panse qu'ils sont formés par trois angles plans égaux ehacun à chacun, ,et semblablement placés.

Donc, deux, pyramides triangulaires semblables; ont les Caees homologues semblables et les angles solides homolo*gues égaux^

CàroHaiTÊ L l^es triangles semblables dans les deux pyramides fournissent les proportions AB : DE ;: BC ; EF :: AG : DF :: AS : PT SB : TE :: 5C : TF ; donc , dan» les pyramides iriangultUree eemUMes, les eétèê homologues sont proparti'ennels.

Corollaire IL Et puisque les angles solides homologues sont égaux, il s'ensuit que l'ineUnaison de deux faces quelconques d'une pyramide est è^le à l'inclinaison des deux faces homologues de la pyramide semblable.

Corollaire m. Si on coupe la pyramide triangulaire SÀBC par un plan GIH parallèle à l'une des faces SAC , la pyramide partielle BGIH sera semblable à la pyramide entière BASC : car les triangles BGI, BGH, sont semblables aux triangles BAS , BAG, chacun à chaena, et semblablement placés; Tinclinaison de leurs plans est la même de part et d'autre; donc les deux pyramides sont semblables.

Corollaire iV. En général , si on eoupe une pyramide quel- fig. 214. conque SASCDEpar un plan aboàe parallèle à la base, la

QtOHATRIB.

pyramide partielle Sabcde eera eemblable à la pyramide entière SABCDE. Car les bases ABCDË , abede, sont semblables , et enjoignant AC, ac, on vient de prooYer que la pyramide triangulaire SABC est semblable à la pyramide S^be; donc le point S est déterminé par rapport à la base *4éf. i8. ABC comme le point S l'est par rapport à la base ahc*; donc les deux pyramides SABCDE, Sabcde, sont semblables.

Seholie, Au lieu des cinq données requises par la définition pour que deux pyramides triangulaires soient semblables , on pourrait en substituer cinq autres , suivant diffo-» rentes combinaisons, et il en résulterait autant de théorèmes, parmi lesquels on peut distinguer celui-ci : Deu» pyranUdee triangulairee eont eemblablee lorequ'ellee oril lee eôtée homoléguée proportionnele»

fig. ao3. Car, si on a les proportioQs AB : DE :: BG : £F : : AC : DF :: AS : DT :: SB : TE : : SC : TF, ce qui tenferme cinq conditions , les triangles ABS, ABC, seront semblables aux triangles DËT, DEF, et semblablement placés. On aura aussi le trian^^ SBC semblable à TEF ; donc les trois angles plans qui forment l'angle solide B , seront égaux aux angles plans qui forment l'angle solide £, chacun à chacun ; d'où il suit que l'inclinaison des plans SAB, ABC, est égale à celle de leurs homologues TDE, DEF, et qu'ainsi les deux pyramides sont semblables.

PROPOSITION XXIV

THÉORtn.

Deti^ paiffèiires semblables ont les faces homologues semblables y et les angles solides homologueâ ^aux. fig. 319. Soit ABCDE la base d'un polyèdre ; soient M et N les sommets de deux angles solides , hors de cette base , déterminés par les pyramides triangulaires M ABC , NABC, dont la base commune est ABC; soient dans l'autre polyèdre , abcde la base homologue ou semblable à ABCDE ein les sommets homologues à M et N , déterminés par les pyramides mahc, nabe, semblables aux pyramides MABC,

LIVB» VI. 169

NABG ; je dis d'abord que les distances MN , mn, . sont proportionnelles aux côtés homologaes AB, a5.

En efiet, les pyramides M ABC, m(^e, étant semblables, l'incUnaison des plans MAC , BAC , est égale à celle des plans mac y bac; pareillement les pyramides NABG, nahc^ étant semblables , l'inclinaison des plans NAG , BAG , est égale a celle des plans nac , bac : donc , si on retranche les premières inclinaisons des dernières, il restera Tinclinaison des plans NAG , MAC , égale à celle des plans nac, mme. Mais 9 à cause de la similitude des mêmes pyramides , le triangle MAC est semblable à mac, et le triangle NAG est semblable i nao : donc les deux pyramides triangulaires MN AG 9 mnae , ont deux faces semblables chacune à chacun^, semblablement placées et également inclinées entre elles; donc ces pyramides sont semblables"" , et leurs côtés homologues donnent la proportion MN : mn :: AM : am. D'ailleurs AM ; am:: AB : ab; donc MN : mn : : AB : aè.

Soient P etp deux autres sommets homologues des mêmes polyèdres, et on aura semblablement PN : pn :: A^ : ab, PM : pm i: AB : ab. Donc MN : mn : : PN : ; : PM : pm. Donc le triangle PNM qui joint trois sommets quelconques dhin polyèdre est semblable au triangle pnm qui Joint les trois sommets homologuer de l'autre, polyèdre, *

Soient encore Q et ; deux sommets homologues , et le triangle PQN sera semblable à pqn. Je dis de plus que l'inclinaison des plans PQN , PMN 9 est égale i celle des plans pmn,

Gar si on joint QM et qm, on aura toujours le triangle QNM semblable à qnm , et par conséquent l'angle QNM égal à qnm. Concevez en N un angle solide formé par les trois angles plans QNM , QNP , PNM , et «n n un angle solide formé par les trois angles plans qnm, qnp, pnm : puisque ces angles plans sont égaux chacun à chacun 9 il s'ensuit que les angles solides sont égaux. Donc l'inclinaison des deux plans PNQ^ PNM, est égale à celle de leurs homohffuespnqj pnm; donc 9 si les deux triangles PNQ, PNM , étaient dans un même plan , auquel cas on aurait l'angle QNM =; QNP + PNM , on aurait aussi l'angle

qnm = gnp'{'pnm, et les deux triangles qnp, pnm, seraient aussi dans un même plan»

Tout ce qui vient d'être démontré a lieu, quels que soient les angles M, N, P, Q, comparés à leurs homologues m, jr.

Suj^osons maintenant que la surface de l'on des polyèdres soit partagée en triangles ABC 9 AGD, MNP, NPQ, etc., on Toît que la surface de l'autre polyèdre èontiendra un pareil nombre de triangles abc, œdj mnp, npq, etc., semblables et semblablement placés ; et si plusieurs triangles , comme MPN, NPQ, etc., appartiennent à une même face et sont dans un même plan, leurs homologues mpn, npq, etc., seront pareillement dans un même plan. Donc toute &ce polygone dans un polyèdre répondra à une fsoe polygone semblable dans l'autre polyèdre ; donc les deux polyèdres seront compris sous un même nombre de plans semblables et semblablement placés. Je dis de plus que les angles solides homologues seront égaux.

Car, si l'angle solide N , par exemple , est formé par les angles plans QNP , PNM , MNR , QNR , l'angle solide homologue n sera formé par les angles plans qttpj pnm , mnr, gnr. Or, ces angles plans sont égaux ehacun à chacun , et Finclinaisou de deux plans adjao^ts est égale à celle de leurs homologues; donc les deux angles solides sont égaux , comme pouvant être superposés.

Donc enfin deux {M>lyèdres semblables ont les faces homologues semblable^ et les, angles solides homologues égaux.

Corollaire. 11 suit de la démonstration précédente que si, avec quatre sommets d'un polyèdre, on forme une pyramide triangulaire , et qu'on en forme une seconde avec les quatre sommets homologues d'un polyèdre semblable, ces deux pyramides seront semblables ; ci^r elles auront les i,sch. côtés homologues proportionnels'".

On voit en même temps que deux diagonales homolo- 17, a. gués"*" , par exemple,. AS, an, sont entre elles comme deux côtés homologues AB , ab.

uvEi yi.

PROPOSITION XXV

TBÉORfcltt.

Deux polyèdres semblables peuvent se partager en un même nombre de pyramides triangulaires semblables chacune à chacme, et semblablement placées.

Car oa a déjà vu que les surfaces de deux polyèdres peuvent se partager en un même nombre de triangles semblables chacun à chacun , et semblablement placés. Considérez tous les triangles d'un polyèdre, excepté ceux qui forment l'angle solide A , comme les bases d'autant de pyramides triangulaires dont le sommet est en A; ces pyramides prises en&emblç composeront le polyèdre : partagez de même l'autre polyèdre en pyramides qui aient pour sommet commun celui de l'angle a homologue à A ; il est clair que la pyramide qui joint quatre sommets d'un polyèdre sera semblable à la pyramide qui joint les quatre sbmmets homologues de l'autre polyèdre. Done deux polyèdres semblables , etc.

PROPOSITION XXVI

THtoat».

Deux pyramides semblables sont entre elles comme les cubes des côtés homologues.

Car deux pyramides étant semblables, la plus petite fig. a 14. pourra être placée dans la plus grande , de manière qu'elles aient l'angle solide S commun. Alors les bases ABGD£, ahcde, seront parallèles ; car, puisque les faces homologues sont semblables"^, T^gle Sah est égal à SAB^, ainsi que *aa. She à SBC \ donc le plan abc est parallèle au plan ABC * i3, 5. Cela posé , soit SO la perpendiculaire abaissée du sommet S sur le plan ABC , et soit o le point où cette perpendiculaire rencontre le plan ahc'^ on aura, suivant ce qui a été déjà démontré'*' , SO : S^» : : SA : Sa : : AB : ah; et psjir con* * i5. séquent ,

^SO:iS<?:: AB:aA.

173 GftOHftTRiK.

Mais les bases ABGDË, abcde, étant des fibres semblables, on a,

ABGDË : aàcde itÂBi o^'

Multipliaot ces deux proportions terme à terme , il en résultera la proportion y

ABGDË X ^SO : abeâe x : : Âl': ô^; .

* 18. or, ABGDË x j SO est la solidité de la pyramide SABGDE*,

et aàcdeXjSo est celle de la pyramide Sabcde; donc deux pyramides semblables sont entre elles comme les cubes de leurs côtés homologues.

PROPOSITION XXVIK THtoatn.

Deux polyèdres semblables sont entre eux commfi ks cubes des côtés homologues.

Car deux polyèdres semblables peuvent âtee partagés en un même nombre de pyramides triangulaires semblables

* a3. chacune à chacune'". Or, les deux pyramides semblables

APNM, apnm, sont entre elles comme les cubes des côtés homologues AM , am , ou comme les cubes des côtés homologues AB, ab. Le même rapport aura lieu entre deux autres pyramides homologues quelconques ; donc la somme de toutes les pyramides qui composent un polyèdre , on le polyèdre lui-même , est à l'autre polyèdre , comme le cube d'un côté quelconque du premier est au cvbe du eôté homologue du second.'

Scholie général.

On peut présenter en termes algébriques , c'est-i-4ire , de la manière la plus succincte , la récapitulation des principales propositions de ce livre concernant les solidités des polyèdres. /

Soit B la base d'un prisme, H sa hauteur ; la solidité du prisme sera B X H ou BH.

UYHI YI. nh

Soit B la base d'une pyramide, H sa hauteur; la solidité de la pyramide sQraBxjH, ou Hx jB, ou-jBH.

Soit H la hauteur d'un tronc de pyramide à bases parallèles , soient A et B ses bases ; y/AB sera la moyenne proportionnelle entre elles , et la solidité du tronc sera j H x (A + B+J/ÂB).

Soit B la base d'un tronc de prisme triangulaire, H, H^, H^, les hauteurs de ses trois sommets supérieurs, la solidité du prisme tronqué sera |B x (H+H'+H^).

Soient enfin P et ^ les solidités de deux polyèdres semblables , A et a deux côtés ou deux diagonales homologues de ces polyèdres $ on aura P : j9 : : : a^.