LIT» T

le triangle proposé ABC et qui aura l'angle a plus petit que tel terme qu'on voudra de la progression décroissante iA,iA,|A, etc.

On peut donc supposer cette suite de triangles prolongée jusqu'à ce que l'angle a soit moindre que tout angle donné.

Et si au moyen du triangle aèe on construit le triangle suivant a'è'c'y la somme des angles a' -4- 3' de celui-ci sera égale à l'angle a, et sera par conséquent moindre que tout angle donné ; d'où Ton voit que la somme des trois angles du triangle a'6'c' se réduit presque au seul angle e'»

Pour avoir la mesure précise de cette somme , prolongeons le côté a'e' vers et appelons 3/ l'angle extérieur b^c'd' ; cet angle w% joint à l'angle du triangle a'b'c'y fait une somme égaie à deux angles droits'*' ; ainsi en dé- ' pr. signant l'angle droit par on aura c'=âD — or'; donc la somine des angles du triangle a'c'b' sera

Mais on peut concevoir que le triangle a'c'b' varie dans ses angles et ses côtés , de manière à représenter les triangles successifs qui naissent ultérieurement de îa même construction et s'approchent de plus en plus de la limite oÀ les angles et seraient nuls. Dans cette limite la droite a'c'd' se confondant avec a'b', les trois points a% &j h\ finissent' par être exactement en ligne droite; alors les angles b' et x' deviennent nuls en même temps que a', et la quantité âD-4-a'-4-&' — qui mesure la somme des trois angles du triangle a^c'lf, se réduit à SB, donc Aans tout tritmglé la êomme des iroiê an^eê eëi égal» a deux angles droilê.

CoroUaire I. Deux angles d'un triangle étant donnés, ou seulement leur somme , pu connaîtra le troisième en retranchant la somme de ces angles de deux angles droits.

IL Si deux angles d'un triangle sont égaux à deux angles d'un antre triangle , chacun à chacun , le troisième de l'un sera égal au troisième de l'autre , et les deux triangles seront équiangles entre eux..

O&OltTRM.

. 6. dans le premier cas , le côté GB serait égal à ËF'''; dans. ;Ie second , GB serait pins petit que £F ; or l'un et l'autre est contraire à la supposition ; donc l'angle BAG est pluS; grand que EDF.

PROPOSITION XI

Deux triangles sont égaux y lorsqu'ils ont les trois^ côtés égaux chacun à chacun.

a3. Soit le côté AB=DE , AG =DF , BG=;EF, je dis qu'on aura l'angle A=D, B=E , G = F.

Gnr si l'angle A était plus grand que l'angle D, comme les côtés AB , AG , sont égaux aux côtés DE , I>F, chacun à chacun , il s'ensuivrait , par le théorème précédent , que le côté BG est plus grand que EF; et si l'angle A était plus petit que l'angle D , il s'ensuivrait que le côté BG est plus petit que EF; or, BG est égal à EF.; donc l'angle A ne peut être ni phis grand ni plus petit que l'angle D; donc il lui est égal. On prouvera de même que Tangle B=E, et que l'angle G=F.

Scholie, On peut remarquer que les angles égaux sont opposés à des côtés égaux : ainsi les angles égaux A et D sont opposés aux côtés égaux BG, EF.

PROPOSITION XII

THtORÈHB.

Dans un triangle tsoscéle , les angles opposés aux côtés égaux sont égaux, a8. Soit le côté AB = AG , je dia qu'on aura l'angle GsaB.

ïirez la ligne AD du sommet A au point D, milieu de la èasê BG, les deux triangles ABD, ADG, auront les trois côtés égaux chacun à chacun; savoir AD comman, AB=sAG par hypothèse, et BD=DG par construction; donc, en vertu du théorème précédent ^ l'angle B est égal à l'angle G.

imv f.

CoroUatre, Un triangle équilatëral est en même tenyis ëqaîangle, c'est-à-dire, qu'il a ses dtagles égaux.

SchoUe. L'égalité des triangles ABD, AGD, prouve en même temps queTanigle BAD = DAG, et que l'angle BDA =ADG; donc ces deux derniers sont droits ; êonc la ligné menée du sommet d'un triangle teoechle au milieu de ea base, est perpendiculaire à cette base, et divise l'angle du sommet en deux parties égales.

Dans un triangle non isoscèle on prend indifféremment pour base un côté quelconque , et alors son sommet est celui de l'angle opposé. Dans le triangle isoscèle on prenti particulièrement pour base le côté qui n'est point égsxX ^ y à l'un des deux autres. ^'^

PROPOSITION XIII

THtOEÈMI. W

Réciproquement y si deux angles sont égaux dans un triangle, les côtés opposés seront égaux, et le triangle sera isoscèle. ^

Soit Tangle ABC = AGl3, je dis que le côté AC sera égal au côté AB. | d/j ng, 99.

Gar si ces côtés ne sont pas égaux, soit AB le plus grand des deux. Prenez BD=AG, et joignez DC. L'angle DBG est, par hypothèse, égal à AGB; les deux côtés DB, BG sont égaux aux deux AC , GB ; donc le triangle DBG* * pr. 6. serait égal au triangle AGB. Mais la partie ne peut pas éitre égale au' tout; donc il n'y a point d^inégalité entre les côtés AB , AG ; donc le triangle ABG est isoscèle.

PROPOSITION XIV

TlltORÈHI.

De deux côtés d'un triangle, celui-là est le plus jfrand qui est opposé à un plus grand angle, et réciproquement, de deux angles d'un triangle, celui-là est le plus grand qui est opposé à un plus grand côté.

1« Soit l'angle G > B, je dis que le côté AB opposé ng. 3o.

14 ^ p. GtOMtTBiB.

àTangle C est plus grand qae le côté AG opposé à TangleB. Soit fait l*angle BGD = B ; dans le triangle BDC on i>r. i3. aura* BD=DG. Mais la ligne droite AC est plus courte queAD<HDG,et AD + DG=AD-4-DB»:AB; donc AB . est plus grand que AC.

S"" Soit le côté AB AG, je dis que Tangle G opposé au côté AB sera vins grand que l'angle B opposé au côté AG.

Car si on avait C<^B, il s'ensuivrait, par ce qui vient d^ètre démontré, AB<^AG, ce qui est contre la stippopr. i3. sition. Si on avait C= B , il s'ensuivrait * ABsc AG , ce J* qui esjt encore contre la supposition ; donc il faut que ^l'angle C soit plus grand que B.

' i PROPOSITION XV.

'jS THiORÈHE.

fig. D^un point A donné hors d'une droite DE, on ne peut Amener quune seule perpendiculaire à cette droite.

Car supposons qu'on puisse en mener deux AB et AG ; prolongeons l'une d'elles AB d'une quantité BF=sAB, et joignons fîC.

Le triapgle CBF est égal au triangle ABC : c^r l'angle CBF^st, droit ainsi que CBA, le côté CB est commun, et le *pr. 6. côté BF=AB ; donc ces triangles sout égaux et il s'ensuit que Tangle BCF = BCA.. L'angle BCA est droit par hypothèse \ donc l'angle BCF l'e&t aussi. Mais si les angles adjacents Bi(]A, BCFj.valent ensemblQ deux angles droita^

* pr. 4. il faut que la ligne ACF soit droite d'où il résulte

qu'entre les deux mêmes points A et F, on pourrait mener

* ax. 4. deux lignes droites ABF, ACF; ce qui est impossible donc

il est pareillement impossible que deux perpendiculaires soient memées d'un même point sur la même ligne droite. £g- 17 " Seholie. Par un même point C donné sur la ligne AB , il est égaleQient impossible de mener deux perpendiculaires à cette ligne : car si CD et CË étaient ces deux perpendiculaire», l'angle DCB serait droit ainsi qué BCE, et la partie ferait égale au tout.