ÎL

Mais en mettaot successÎTenient dans cette éq[uatioB s 4^1 , 1 4-2, etc.^ à la place de il en résultera

Donc la valeur de ^ : s peut s'exprimer par la fraction continue : ^ :«=- , a

a 4-2+ etc.

Réciproquement cette fraction continue , prolongée à l'infini , a pour

somme z, ou son égale ? .Lliiiii j et cette somme , développée s f '

en suites ordinaires , est

Soit maintenant s=i , la fraction continue deviendra ^6+ etc.

dans laquelle les numérateurs y excepté lé premier, sont tous égaux é 4 a, et les dénominateurs forpient la siiite des nombres impairs 1,3, 5,7, etc. La valeur de* cette fraction continue peut donc aussi s'exprimer par

Mais ces suites se rapportent à des formules connues, et on sait qu'en représentant par e le nombre dont le logarithme hyperbolique est 1 , l'expression précédente se réduit à

"^p^ V^^f d« so'to qu'on aura en général

as8

van tu

Nouf aTons prouTé d'abord d'une manière rigoureuse que la somme des angles d'un triangle ne peut être plus grande que deux angles .droits , proposition qui sépare tout d'un coup par une différence essen« tteUe f les triangles rectilignes des triangles sphériques. Cette première partie établie , il restait à prouver que la somme dés angles ne peut être plus petite que deux angles droits ; or , comme l'excès des trois angles sur deux angles droits , qui a lieu dans les triangles sphériques , est proportionnel à l'aire du triangle; de même le déficit, s'il y en avait un dans les triangles rectilignes , serait proportionnel à l'aire du triangle. Dès-lors il est aisé de voir que si on réussit à construire , d'après un triangle donné , un autre triangle dans lequel le triangle donné soit contenu au moins m fois , le déficit de ce nouveau triangle égalera au moins m fois le déficit du triangle donné , de sorte que la somme des angles du grand triangle diminuera progressivement à- mesure que m augmente, jusqu'à devenir nulle ou i^égatiye. Résultat absurde et qui prouve que la somme des angles d'un triangle ne peut être moindre que deux angles droits.

Prenant pour guide ce principe de démonstration qui est infaillible , nous avons fait voir que toute la difficulté se réduisait à construire un triangle qui contint au moins deux fois le triangle donné ; mais la solution que nous avons donnée de ce problème , en apparence très simple , suppose que par un point donné dans un angle moindre que deux tiers d'angle droit , on peut toujours faire passer ui^ ligne droite qui rencontre i la fois les deux côtés de l'angle.

Hous avions ainsi beaucoup approché de notre but I mais nous ne l'avions pas atteint entièrement, puisque notre démonstration dépendait d'un postulatum qui à toute force pouvait être nié (l). C'est cette considération qui nous a fait revenir, dans la 9"* édition, à la simple marche d'Ëuclide, en renvoyant aux notes pour la démonstration rigoureuse.

En examinant les choses avec plus d'attention, nous sommes resté convaincu que pour démontrer complètement notre postulatum, il fallait déduire de la définition de la ligne droite une propriété caractéristique de cette ligne qui exclût toute ressemblance avec la forme d'une

(0 On voit dans un article du PhUosophical magazine de mars iSaa , qu'un savant géomètre a essayé de perfectionner cette démonstration et de la rendre indépendante de tont postulatum ; mais la construction employée pour déntontrer la seconde partie consiste  mener d'un point donné diiTérentes droites k tous les sommets d'une ligne qu'on doit considérer comme polygonale, pour ralsonnerdans Thypothèse decelui qui nie la proposition : or la convexité de cette Ugne, si elle avait lieu, ne permettrait pas de continuer indéfiniment la construction de l'auteur , comme il le falidrait pour l'exactitude de sa démonslration.