LIVRE I

PROPOSITION XVI

THÉORÈMR.

Si d^un point A situé hors d'une droite DE on mène Cg 3i la perpendiculaire AB sur cette droite , et différentes obliques AE, AC, AD, etc. y à différents points de cette même droite :

V La perpendiculaire AB sera plus courte que toute oblique.

1^ Les deux obliques AC, AE, menées de part et d'autre de la perpendiculaire à des distemces égales B'G, 'B£, seront égales.

8" De deux obliques AC et AD, ou AE et AD, menées comme on voudra^ celle qui s'écarte le plus de lu perpendiculaire sera la plus longue.

Pi^longcz la perpendicalaîre AB d*une quantité BF= AB, et joignez FC, FD.

1° Le triangle BCF est égal au triangle BCA, car Fangle àroW. CBF=:CBA, le côté CB est commun, et le côté BF=:BA; donc* le troisième côté GF est égal au *pr. o troisième AC. Or, ABF ligne droite est plus coarfe que ACF ligne brisée; donc AB moitié de ABF est plus courte que AC moitié dé ÀCF; donc 1** la perpendiculaire est pliis courte que toute oblique.

2<> Si on suppose BE=BG, comme on a en outre AB commun et l'angle ABE=ABG, il s'ensuit que le ttîatigle ABE est égal au triangle ABC*; donc les côtés AE, AC *pr. 6 sont égaux; donc deux obliques qui s'écartent également de la perpendiculaire sont égales.

S° Dans le triangle DFA la somme des lignes AC , CF , est plus petite* que la somme des côtés AD, DF ; donc *pr.fj AG, moitié delà ligne ACF, est plus courte que AD moitié ADF; doiac S^, les obliques qui s'écartent le plus de la perpendiculaire sont lés plus longues.

Corollaire I. La perpendiculaire mesure 1» vraie dis«

16 GioilftTKn.

tance d'un point à une ligne , puisqu'elle est plor courte que toute oblique.

II. D*un môme point on ne peut mener à une même ligne trois droites égales : car si cela était j il y aurait d'un même côté de la perpendiculaire deux obliques égales, ce qui est impossible. •

PROPOSITION XVII

THiOBÈHI.

33. Si par le point milieu de la droite Afi, onëlàve Ai perpendiculaire EF sur cette droite; V chaque pmnt de la perpendiculaire sera également distant des deux extrémités de la ligne AB ; 2° tout point situé hors^ de la

^ perpendiculaire sera inégalement distant des mêmes extrémités A et B.

Car, 1<> puisqu'on suppose AG = GB , les deux obliques

AD, DB, s'écartent également de la perpendiculaire; donc elles sont égales. Il en est de même des deux obliques

AE, EB, des deux AF, FB, etc. ; donc 1*», tout point de la perpendiculaire est également distant des extrémités A etB.

2^ Soit I un point hors de la perpendiculaire; si on joint lA , IB , l'une de ces lignes coupera la perpendiculaire en D, d*où tirant DB, on aura DB^sDA. Mais la ligue droite IB est plus petite que la ligne brisée ID+DB , et ID-f-DB= ID-f-DA =IA ; donc IB < lA ; donc i% tout point hors de la perpendiculaire est inégalement distant des extrémités A et B.

PROPOSITION XVIII

THÉOBkaS.

Deux [triangles rectangles sont égaux lorsqu'ils ont l'hypoténuse égale et un côté égal,

33. Soit l'hypoténuse AG=DF, et le côté AB=^DE, je dis que le triangle rectangle ABG >sera égal au triangle rectangle DEF,