NOTI IX

Dans le dodécaèdre , un angle solide est formé de trois angles plans fig. a^6. ëgaux, chacun, à Tangle d'un pentagone réguHer ; ainsi, en faisant

cos a l+cosa'

.a = o s=: c =:=f «, on aura cos t«= . . ■ ; mais cos -1^ = — sm— - «

donc cos C = __=-., sin C,= î77F,ettang

Z?a#f « Vicosaèdre, il faut faire c = C B' D' = | ic , o = 6 — C B' A' «g. a47-

, ■ ^ C0S| T — C0S2 f 1C i (l-|/5)-f -ï/5 =1 r, et on aura cos G= — !, :

SIU^ i. te * o '

donc sin G = 7. Telles sont les expressions très-simples par lesquelles on détermine l'inclinaison de deux faces dans les cinq polyèdres réguliers. Mais nous remarquerons qu'on aurait pu les comprendre dans une seule et même formule.

En effet , soit n le nombre de côtés de chaque face , m le nombre fig* a48. d'angles plans qui se réunissent dans chaque ang)e solide ; si du centre et d'un rayon = 1, on décrit une surface sphériqué qui rencontre en p, q, r, les lignes OA j OC, OD, on aura un triangle sphériqué pqr,

dans lequel on connaît l'angle droit f; l'angle p = — , et l'angle 9 = - ;

on aura donc, par les formules connues , cos o r = Mais cos a r

. ' sin g '

= cos GOD =: sin GDû = sin | G, G désignant l'angle GDE; donc

ir ■ COS —

sin ^ G — . Formule générale qui, appliquée sucoeisiTement aux sin -

cinq polyèdres , donnerait les mêmes valeurs de cos G ou de I — 2 sin' ^ G qu'on a trouvées par une autre Toie ; pour cela , il faut substituer, dans chaque cas , les valeurs de m et savoir :

Tétraèdre, Hexaèdre, Octaèdre; Dodécaèdre, Icosaèdre. «•=^3 , 3 , 4,3 , S.

n = 3 , 4 , 3 , tt , 3.

Le même triangle sphériqué pqr, d*oq l'on vient de déduire Tinclinaison de deux faces adjacentes ^ donne cos pq = oot p cot q, on