HOTE XII

un nombre entier à volonté et M une surface donnée ; on peut prendre n de manière qu'dn ait n M plus grand que le double du segment

A M B , puisqu'il suffit pour cela de faire n ^ ^ ^ ^ ; donc alors le

rectangle AB X AF' ou la surrace plane ABG'F' serait plus grande que la surface enveloppante , composée de la surface convexe S' et de deux segments circulaires égaux A u B^-F'^'G'. Or, au contraire, la seconde surface est plus grande que la première , suivant le premier lemmo préliminaire ; donc , 1* on ne peut avoir S ^ ABGF.

Je dis en second lieu que la même surface convexe S ne aanrait être égale à celle du rectangle ABGF. Car supposons, s'il est possible, qu'en prenant A£ = AB , la surface convexe AMK soit égale au rectangle AFK£ ; par un point quelconque M de l'arc AME , menez les cordes AM , ME , et élevés MN perpendiculaire sur le plan de la base. Les trois rectangles AMNF, MEKN , AEKF, ayant même hauteur, sont entie eux conune leurs bases AM , ME , AE. Or on a AM-{-ME^A£ , donc la somme des rectangles AMNF, MEKN est plus grande que lè rectangle AFKE. Celui-ci est équivalent par hypothèse à la surface convexe AMK , composée des deux surfaces partielles AN , MK. Bodc la somme des rectangles AMNF, MEKN est plus grande que la somme des surfaces convexes correspondantes AN , MK. Donc il faudra que l'un au moins des rectangles AMNF, MEKN soit plus grand que ia surface convexe correspondante. Cette conséquence est contraire A la première partie déjà démontrée. Donc , 2* la surface convexe S ne saurait être égale A celle du rectangle correspondant ABGF.

Il suit de la qu'on a S^ABGF, et qu'ainsi la surface convexe du cylindre est plus grande que celle de tout prisme inscrit.

Par un raisonnement absolument semblable , on prouvera que la surface convexe du cylindre est plus petite que celle de tout prisme circonscrit.

NOTE ÎII.

Sur r égalité et la similitude des polyèdres.

On trouve A la tête du XP livre d'Euclide , les définitions 9 et 10 ainsi conçues :

9. êolidêê êont sêmblahh», lonqu'iU sont oompriê «oiw tut mémê nombre de plans semblables chacun à chacun.

10. Deu» solides sont égaux et semblables, lorsqu'ils sonteoutpris eous un même nombre de plans égaux et semblables chacun à chacun,

Voï^ei de ces définitions étant un des points les plus difficiles des élémens de géométrie, nous Texaminerons avec quelque détail, et nous discuteroaa en même temps les remarques faites A ce sujet par Robert Simson dans son édition des élémens, pag. 388 et suiv.

NOTE XH.

D'abord nous obseryerons avec Robert SimBon que la définition 10 n'est pas proprement une définition, joiais bien un théorème qu'il faudrait démontrer ; car il n'est pas évident que deux solides «oient éjj^ox par cela seul qu'ils ont les faces égales; et si cette proposition est vraie y il faut la déknontrer soit par la superposition , soit 4e toute autre Manière. On voit ensuite que le vice de la définition 10 est cQmïnunÀ la définition 0. Car, si la définition 10 n'est pas démontrée, on pourra croire qu'il existe deux solides inégaux et dissemblables dont les faces sont égales; mais^ alors, suivant la définition 9^ un 'troisième solide qui aurait les faces semblables à celles des deux pre* miers serait semblable à chacun d'eux , et ainsi serait semblable à deux corps de différente forme , conclusion qui implique contradictio^i , ou du moins qulihe s'accorde pas avec l'idée qu'on attache naturellement au mot aemhloble.

Plusieurs propositions des Xr et XII' livres d'Êuclide sont fondées sur les définitions 9 et 10, entre autres la proposition XXYIII , livre XI, de laquelle, dépend la mesure des prismes et des pyramides. Il semble donc qu'on pourrait reprocher aux élémens d'Ëuclide de contenir un assez grand nombre de propositions qui ne sont pas rigoureusement démontrées. Mais il y a une circonstance qui sert à affaiblir cette inculpation , et qu'il ne faut pas omettre.

Letf figures dont Euclide démontre l'égalité ou la similitude en se fondant sur les définitions 9 et 10, sont telles, que leurs angles solides n'assemblent pas plus de trois angles plans : or, si deux angles solides sont composés de trôis angles plans égaux chacun à chacun , il est démontré assez clairement dans plusieurs endroits d'Ëuclide que ces^^ angles solides sont égaux. D'un autre côté , si deux polyèdres ont les faces égales çu semblables chacune à chacune , les angles solides homologues seront composés d'un même nombre d'angles plans égaux , chacun à chacun. Donc, tant que les angles'plans ne sont pas en plus grand nombre que trois dans chaque angle solide, il est clair que les angles solides ^homologues sont égaux. Mais, si les faces homologues fiont égales et les angles solides homologues égaux , il n'y a plus de doute que les solides ne soient égaux; car ils pourront être superposés, ou au moins ils seront symétriques l'un de l'autre. On. voit donc'<fUe l'énoncé des définitions 9 et 10 est vrai et admissible, au moins^dans le cas de^s angles solides triples,' qui est le seul dont Euclide ait fait usage. Ainsi le reproche d'inexactitude qu'on pourrait faire à cet auteur, ou à ses commentateurs, cesse d'être aussi grave, et ne tombQ plua que sur des restrictions et des explications qu'il n'a pas données.'

Il reste à examiner si l'énoncé de la définition 10, qui est vrai dans le cas des angles solides triples , est vrai en général. Kobert Simson assure qu'il ne l'est pas, et qu'on peut construire deux solides inégaux qui seront compris sous un même nombre de faces éj^ales chacune à

S74 mnrirxn. \

chacane. Il cite , à l'appui de icni aiieitio^ , nn eumple qu'oa peut fésénlifler ainii*

Si à UB polyèdre qaelcoaque oa ^ovte «ne pyramide, en hu dosnant ponr baie une de« lacet du polyèdre; ti enioite , an lien d'ijonler k pyramide, on la retranche, en formant -dans le polyèdre une oarîté égale à la pyramide, on. aura ainii deux nonTeans'aolidee'qm anroat le« faœa égalea chacune à chacune, et cependant tfea dem mlidif «eront inégaux.

' U n*y a aucun doute aur Tinégatité des deux tolidef ainai oomtruHi; «ait nout ohtèrreront que Tnn de cet tolidet contient det aa^ telidet rentrantt : or, il ett plut que prohable qu'Euclide a entenda exclure let corpt irrégnliert ifui ont det cavitét oit det anglbt toUdei rentrantt, et qull t'eli homé aux polfèdret convexcp. En a ilme i li a t cette rettrietion, tant laquelle d'niHÉay d^autret propOMt&ont ne feraient pat miet,* l'exemple de Robeji(|]Hpiton ne conclut point ooatee k définition ou le théorème d'Euolide.

Quoi qu'il en toit, il rétulie de toutet cetobterrationt que let définitions 9 et 10 d'Euclide ne peuvent être oonterréet, tétiet qu'eUef tont. Robert Simton t^pprime la définition det toUdet égaux , qni «i «0BtnedoittrouTer place qùe partni let théorèmet ; et il définit t«K^ l^tÊHibUhîêê ceux qui tont comprit tout un même nombre de pfauM ^«nablablet, et. qui ont les angles tolidet égaux chacun 4 ohaon. iBetie définitioi ett Traie, mais elle a rincourénient de contenir biea dea eondftiont tuperflues* Si on tupprimait la condition det anglmt toUdet égaux, on retomberait dant l'énoncé d'Euolide, qui ett d^^M»tueux en ce qu'il tuppose la démonttration du théorème rar let 'polyèdret égaux. Pour éviter tout«mbarras, nous ayons cru à propos de diyiser la définition des solides semblables en deux parties : d'aberd nous ayons donné la définition des pyramides triangulairee semblables, ensuite nous avons défini solides semblables ceux qui ont de» bases semblables ) et dont les sommets homologues hors de ces bases sont déterminés par des pyramides triangulaires semblàbles chacune é chacune.

Cette définition exige pour les bases , en les supposant triangulaires, deux conditions , et pour chacun des sommets hors des bases , trois conditions;, de sorte que, si S est le nombre des angles solides de chacun det polyèdres , la similitude de ces deux polyèdres exigera 2 -|- 3 (S — 3) angles égaux de part et d'autre , ou 3 S — 7 conditions; et aucune de ces conditions n'est superflue ou comprise dans lef autres. Car nous con/sidérons ici deux polyèdres comme ayant simplement le même nombre de sommets ou d'angles solides ; alors il faut rigoureusement , et sans en omettre une , les 3 S — 7 conditiont pour que les deux solides soient semblables ; mais si on supposait ayant tout qu'ils sont de la même espèce l'un et l'autre , c'est-à-dire qu'ils ont un égal nombre de faces , et que ces faces comparées chacune à

noTi XII.

chacune ont un égal nombre de côtés , cette supposition renfermerait des conditions dans le cas où il y aurait des faces de plus de trois côtés, et ces conditions diminueraient d'autant le nombre 3 S — 7, de sorte qu*au lieu de 3 S — 7 conditions il n'en faudrait plus que A — 1 ; sur quoi Toyez la note viii. On Toit par là ce qui donne lieu à la difficulté de poser une bonne définition des solides semblables j c*est qu'on peut les considérer conune étant de la même espèce, ou seulement comme ayant un égal nombre d'angles solides. Dans ce dernier cas toute dif^ ficulté est écartée , il faut que les 3 S — 7 conditions renfermées dans la définition soient remplies toutes pour que les solides soient semblables , et on en conclura à plus forte raison qu'ils sont de la même espèce. Au reste, notre définition étant complète, nous en aTons déduit comme théorème la définition de Robert Simson.

On voit donc qu'il est possible de se passer , dans les élémens , du théorème concernant l'égalité des polyèdres; mais, comme ce théorème est intéressant par lui-même , on sera bien aise d'en trouver ici la démonstration, qui servira à compléter la théorie des polyèdres (1).

La question qu'il faut examiner, est de savoir à , en faisant varier les inclinaisons des plans qui composent la surface d'un polyèdre convexe donné , on peut former un second polyèdre convexe , compris sous les mêmes plans polygonaux, assemblés entre eux dans le même ordre.

rïous observerons d'abord que, s'il y a un second polyèdre qui satisfait à la question, ce ne peut pas être le polyèdre symétrique du po lyèdre donné, puisque dans ces deux polyèdres les plans égaux sont disposés dans un ûrdre inverse autour des angles solides correspondans. Ainsi la considération des polyèdres symétriques doit être entièrement écartée de l'objet dont nous nous occupons.

Tfous observerons, en second lieu, que si le polyèdre donné contient un ou plusieurs angles solides triples , ces angles sont de leur nature invariables , puisque la connaissance de trois angles plans suffit pour déterminer les inclinaisons mutuelles de ces plans, lorsqu'ils sont réunis en angle solide. On peut donc supprimer dans le solide proposé toutes les pyramides triangulaires qui forment les angles solides triples (2) ; et si le nouveau polyèdre qui résulte, de cette suppression , offre encore des angles solides triples , on pourra de même les supprimer, et ainsi successivement, jusqu'à ce qu'on parvienne à un polyèdre dont tous les ancfles solides n'assemblent pas moins de quatre angles plans chacun. £n effet, si le solide proposé peut changer de figure par des variations quelconques daiis les inclinaisons de ses plans, ce changement ne peut

(i) La démonstration que nous donnons ici est, i quelques développemens près, la même que M. Canchy a présentée à l'Institut en i8ia, et qu'il a décou^ verte en partant de quelques idées qui avaient été proposées pour le inéme objet dans la première édition de ces Élémens, pag. 3a7 et suiv.

(a) Si une même arête était commune à deux angles solides triples, on ne supprimerait dans la première opération qu'an de ces angles.

NOTE XIU

atoir lieu fur les pyramides triangulaires retfaqchées, et il devra s'opérer tout entier sur le polyèdre restant après la suppression de toutes les pyramides*triattgulaires. Nous ne nous occuperons donc dans ce qui suit, que des polyèdres dont tous les angles solides assemblent au moins quatre angles plans.

)86. Cela posé , soit S l'un quelconque des angles solides du polyèdre, et soit décrit , du sommet S comme centre , une surface sphérique dont l'intersection avec les plans de l'angle solide formera le polygone sphérique ÂBGDEF. Les c6tés de ce polygone AB, BG, etc. servent de mesure aux angles plans ASB , BSQ, etc. et sont par conséquent invariables; quant aux angles A, B, G, etc. du polygone, chacun d'eux est la mesure de ^inclinaison de deux plans acyacens de Tangle solides ^nsi l'angle B est la mesure de l'inclinaison des plans ASB, SBG, que nous appellerons pour abréger, inclinaison sur Varête SB ; de même l'angle C est la mesure de l'inclinaison sur l'arête SG, et ainsi de suite.

Nous pourrons donc juger des changemens de figure de chaque angle solide S, par ceux du polygone sphérique ABGDEF, dont les côtés sont constans , et dont les angles varient d'une manière quelconque , pourvu que le polygone ne cesse pas d'être convexe. Or, dans ces j^plygones, les signes des variations sur les angles offrent des lois assez remarquables,

que nous aUcns exposer dana les deux lemmes suivans.

xxni T.

use. Tou9 les eéUè d'mn polygone ophèrique KR, BG, CD, DE, étant donnes y à l'exception du dernier AF, si Von fait varier l'un des angles B, G , D , opposés au côté AF , les autres étant constans , Je dis que le côté AF augmentera si l'angle augmente , et qu'il diminuera si l'angle diminue. Dans tous les oasy oUi s upp o s e que le polggone est connexe avant et après son changement de Jigurè.

Supposons d'abovd qu*<« ftnae vnrier Tsagle B, les trois autres G, D, étaat coBstass , si Vom jomt BF, la figure BGDEF ■'éprouver* ascme varialioa, et Vf sera cowluÉ. am éomc mm triaagle ^hériqve AAF, d<ml l«s oètés AB, BF, son* CfMSsteM, et daM lequel l'aide ABF varie d^uM néiae qiMuatilé que Fa*^ ABC dha polysoM , psôsqoe la paHie FBC reste ooMtettte. Or, par les pnpriclics cti— n (1), os^t qœ le oMiè AF a«snMiitcn si Tavelé ABF aais>iBeBte, et qull diûiMrm si raasteABFdiattmie,

Supposow maittteMMit qiie rasglc C varie, les trois antres B, D, E ,

(l^ 0KI« pta p o si tîo» «e d r.ioni e 4e la mi m t mtmmèn ^«e k proposition X , liT, K poor l«s tnaocWs reciUifoes.

KOTE Xlï. 277

étant constans ; si on tire les diagonales AC , PC, il est TÎsihle que ces diagonale* demeureront constantes, ainsi que les angles ACB, FGD ; on aura donc encore un triangle sphérique AGF , dônt les côtés ACT, GF , sont constans, et dans lequel l'angle AGF yarie de la même quantité que l'angle G du polygone ; d'où l'on conclura de même que le coté AF augmentera si l'angle G augmente , et qu'il diminuera si l'angle G diminue..

Il est évident que le même raisonnement peut s'appliquer à la variatibn de l'un ou l'autre des angles B et £, et qu'il aurait également lieu pour tout«utre polygone sphérique de plus de trois côtés. Ainsi la conclusion ser«, dans tous les.cas, canforme ft l'éncmcé de la proposition, si toutefois le polygone est convexe avant et après son changement de figure. Gette restriction est nécessaire , car si^l'Ang^e E, par exemple, diminuait jusqu'à ce que le point F tombât sur la diagonale AE-, alorfl AF serait un minimum,- e# si> à compter de ce point, on continuait de diminuer l'angle £ , il est visible que le côté AF augmenterait au lieu de diminuer ; mais , dans oe dernier cas , l'angle AFE deviendrait un a^le rentrant', et le polygone cesserait d'être convexe.

€»rùllaire. Les mêmes choses étant pesées , si plusieurs des angles opposés au dernier côté AF augmentent, et qu'aucun d'eux ne diminue, le côté AF augmentera nécessairement parl'effet de toutes les variations réunies. Le contraire aura lieu, si plusieurs des angles opposés au côté AF diminuent, et qu'aucun d'eiu n'augmente. '

Gar, si par l'effet de l'augmentation -ou de la diminution simultanée , les angles A , B , G , etc. , du polygone doivent êâ'e changés en A', B', G', etc., on pourra passer successivement du polygone proposé a celui qui ne contient qu'un angk) varié A') de celui-ci au polygone qui ne contient que les deux angles, variés A' et B', et ainsi de suite. Or, dans chacun de ces passages, l'application de la proposition est manifeste, et conduit toujours au même résultat.

lEHIS IT.

Étant donné un polifgono êphérique eonvêae dont les côtés sont constans, et qui en a plus de trois, si. on fait varier les angles d^nné manière quelconque^ sans cependant que le polygone cesse d'être convexe ^ si on met ensuite le signe au sommet de chaque angle qui augmente, le signe — au sommet de chaque angle qui diminue ^ et qu'on fie mette aucun signe aux angles qui demeurent constans ; je- dis qu'en faisant le tour du polygone , on devra trouver au moins quatre changemens de signe d'un sommet au sommet suivant.

En effet, 1* si n est le nombre des angles du polygone, il ne pourrait

non XII*

y aToir n — 2 angles consécutifs , qui augmentent tous A-la-fois, ou dont les uns augmentent et les autres restent constansj car si Tun ^ou l'autre de ces cas avait lieu , il s'ensuiTrait, par le corollaire du lemme précédent, que le côté du polygone qui est opposé i ces n — 2 angles, augmenterait ; ce qui est contraire A l'hypothèse que tous les côtés du polygone sont constans. Par une raison semblable , on ne pourra supposer que n — 2 angles consécutifs diminuent tous A-la-fois, ou que quelques-uns diminuent, les autres restant constans. Donc, dans la série de 2 angles consécutifs, il detra y atoir au moins un changement de signe; A plus forte raison ce changement devra-t-il étce observé dans la série des n angles consécutifs , lorsqu'on fera le tour entier du polygone.

2^ Les variations dans les angles du polygone ne peuvent être telles, qu'elles offrent seulement une série de signes ^ , et une de signes — , de sorte qu'il n*y ait que deux ohangemens de signes dans le tour entier du polygone.

fig* 387. Car soient, par exemple. A, B, C, les trois angles marqués du signe

et D, £, F, G, les quatre marqués du signe — (cette hypothèse comprend celle où il y aurait un nombre de signes moindre dans chaque série, A raison de l'invariabilité de quelques angles). Si la figure représente l'état initial du polygone, la diagonale GD devra augmenter lorsqu'on augmentera tous les angles A, B, G, ou seulement quelques-uns d'eux ; mais la même diagonale GD , comme appartenant au polygone GF£D,dont les autres côtés sont constans, devra diminuer en même temps que les angles F et £, ou au moins rester , constante, si des quatre angles B, £, F, G, il n'y a que B et G, ou seulement l'un d'eux qui diminue ; donc l'hypothèse dont il s'agit ne saurait avoir lieu; donc la variation des angles ne peut être telle, qu'elle offre seulement deux séries, l'une de signes -{-, l'autre de signes — .

3** Il est encore impossible qu'en faisant le tour du polygone, on ne trouve que trois séries alternatives de signes -f- et de signes — • ; car, dans cette hypothèse , la première et la troisième série seraient de même signe, et se suivraient inunédiatement, de sorte qu'elles ne formeraient qu'une seule série ; d'où l'on voit qu'il n'y aurait réellement dans le tour du polygone que deux séries, l'une de signes-f-, l'autre de signes — ; ce que nous avons démontré impossible.

Bonc enfin , les changements de signe qu'on trouvera en faisant le tour du polygone, doivent être au moins au nombre de quatre.

ComUain. Ce que nous venons de démontrer pour les polygones sphériques, s'applique immédiatement aux angles solides dont ces polygones sont la mesure. Ainsi, étant donné un ongle éolide convexe, qui Oêêembh^ plus de irois angles plans, si on fait varier les jnelinaisons sur les Ofétes d'une manière quelconque, telle cependant que Vangle solide ne cesse fos d'être convexe ; si ensuite on met le signe ou le signe — sur chaque arête, selon que l'inclinai'

non XII.

•on sur ceitv arête augmenta ou diminMe, et qu'on ne marque d'aucun signe lee arêtes sur lesquelles VineKnaison reste constante f je dis qu'en faisant le tour de Vangle solide, on efevm trouver au moins . quatre changements de signe d'une arête à la suivante.

Au moyen de cette proposition et du théorème d^uler fur les poly^ dres*, nouspouTons maintenant démontrer le théorème suiyant dans * ^5, toute sa généralité.

Étant donné un polyèdre convexe, dont tout les anglee êolidee asêemblent plue de troie anglee plane , il est impoe- Hhle défaire varier lee inelinaieons dee plans de ce solide , de manière à produire un second polyèdre , qui serait formé avec les mêmes plans disposés entre eux de la mime manière que dans le polyèdre donnée

Pour démontrer cette proposition , il fSaut distinguer deux cas , selon, qu'on fait Tarier les inclinaisons sur toutes les arêtes , ou seulement quelques-unes de ces inclinaisons^

Premier eas^

Supposons qu'on fasse Varier à la fois les inclinaisons sur toutes les arêtes, et soit N le nombre total des changements de signe qu'on trouYora d'une arête à la suiYtnte, en faisant le tour de chaque angle solide. .

On a TU dans le lemme II , que le nombre des changements de si^e ne peut être moindre que quatre pour chaque angle solide.

Donc si on appelle S le nombre des angles solides, on aura H ^4 S , le signe ^ n'excluant pas l'égalité.

J'observe maintenant que deux arêtes consécutites d'un angle solide appartiennent toujours à une face du polyèdre, et n'appartiennent qu'à une seule ; donc le nombre total des changements de signe obserTés sur les arêtes consécutiTes de chaque angle solide, doit être ^gal au nombre total de changements de signe observés sur les c6tés consécutifs de chaque face; car il n'est aucun changement de signe dansùn système qui ne réponde à un pareil changement dans l'autre.

Or, pour chaque face triangulaire , le nombre des changements de signe ne peut être plus grand que deux ; car en faisant rentrer sur ellemême la suite*}- )-» suite ■ — , on n'obtient que deux

changements de signe.

Pour chaque face quadrangulaire , le nombre des changements de signe est de quatre au plus, ce qui est évident.

£h général, si le nombre des côtés d'une face esi pair, =2fi, le

ROTE xn.

plus grand nombre deslchaagementu de signe qu'on puisse trouTer en faisant le tour des côtés, est 2 «i; ce qui aura lieu lorsque les côtés portent alternativement les signes-}- et .

Mats si le nombre des côtés d'une face est impair, =;2 n«f-l, le plus grand nombre des changements de signe sera 2 n seulement , parce qu'«n donnant alternativement aux côtés les signes 4- et — , le premier et le dernier auront nécessairement le même signe ; ce qui fait un changement de moins qu*il n'y a de côtés.

Gela posé, soit a le nombre des triangles , h le nombre des quadrilatères, c le nombre des pentagones, etc., qui composent la sur&ce du polyèdre donné , il résulte de ce qu'on vient de dire , que le nombre total des changements de signe observés en ffiisant le tour de chaque face, ne pourra excéder 2<i sur les faces triangulaires, Ab sur les faces de quatre côtés, 4 c sur celles de cinq côtés, 6(1 sur celles de six côtés. Bdnc on aura :

N <2o +46 + 4c + 6(i+6e + 8/'+89 +etc.

Soit A le nombre des arêtes du polyèdre, et H celui de ses faces, on aura :

2 A=3fl+46 +6c +6d+7«-f 8/*+894. etc.

Esza+h-\'C+d+e+f+g-\- etc.

Mais, suivant le théorème d'EuIer S4-H=A-f-2 ; donc 4S=84-4A— 4H, et en faisant les substitutions :

4 S =8 + 2a + 46 + 6p + 8(i + 1 Oe + etc .

Comparant cette valeur à la limite trouvée ci-dessus, on en tire : lî<4S--8.

Mais on ne saurait avoir à la fois N^4S etN^4S — 8; donc il est impossible que les incUnaisons sur les arêtes du polyèdre yarient toutes à la fois , sans détruire la cohérence des plans qui forment la surface du polyèdre.

Second cas.

Supposons maintenant que les inclinaisons sur les arêtes ne varient pas toutes à la fois , et qu'il y en ait quelques-unes qui demeurent ' constantes.

2o4' Soit FI une de ces arêtes , on pourra imaginer qu'elle soit supprimée , et que les deux fkces adjacentes FIG , EFIH , se réunissent en une seule non plane terminée par le contour de forme invariable EF&IH. Appelons S', H' et A' ce que deviennent les nombres S , H et A , après la suppression d'une arête, nous aurons H'=H^] , et A'=A — 1; d'ailleurs on a S'= S , puisque le nombre des angles solides est le même dans les deux solides; donc on aura S'-|-H' — A'=S-|-H— A=2. D'où l'on voit que le théorème d'Euler a encore lieu dans le nouveau solide qui contient une arête de moins , et une face de moins , puisque deux faces se sont réunies en une seule non plane.

non xn.

Si de €0 second solide on retranche encore Vune des arêtes sur lesquelles l'inclinaison reste inyariable , la suppressio|i de cette arête occasionera de nouyeau la réunion de - deux faces contiguês -en une seule ; et on prouTera de mênie que le théorème d'Euler a encore lieu dans le troisième solide qui résulte de la 6uppressioi\ de deux arêtes.

On peut continuer à supprimer lent d'arêtes qu'on Tbudra>, pourvu que cette suppression n'entraîne celle d'aucun Éngle solide; et te théorème d'Ëuler 'aura toujours lieu danç le solide restant : c'est aussi ce qu.'on peut voir directement et généralement, en examinant la démonstration que nous avons donnée du théorème d'Ëuler ; en effet , cette démonstration ne' suppose pas que les faces du polyèdre soient planes ; elle aurait également lieu , quand mêine ces faces seraient terminées par des contours non situés dans les mêmes plàns ; elle suppose seulement que chaque contour soit représenté, suivant notre construction , par un polygone sphérique^ et que la somme des surfaces de ces polygones soit égale à la surface. 'de la sphère. Et il n'est pas même nécessaire que tous ces polygones soient convisxes ; il suffit que chacun d'eux puisse être regardé conu&e la somme de plusieurs polygones convexes ; ce qui arrivera toujours , lorsque , par la suppression de plusieurs arêtes appartenant au polyèdre donné , plusieurs faces planes* se réuniront en une seule non plane ^ car alors le polygone 8phéri<^ue qui représente celle-ci, sera Composé de la somme des polygones sphériques convexes qui reprèsentiaient les faces planes supprimées.

Tenons maintenant au cas où la suppression des arêtes sur lesquelles l'inclinaison ne varie pas , entraine celiç d'un ou de plusieurs angles solides, soit parce que les inclinaisons sur toutes les arêtes, dans chacun ' de ces angles, sont invariables, soit parce que ces inclinaisons ne pourraient varier que sur trois arêtes seulement , et qu'alors elles seraient nécessairement constantes.

Supposons d'abord qu'on ne supprime qu'un angle solide , èt soit m le nombre des faces de cet angle, ou le nombre d 'arêtes qui aboutissent à son sommet. En supprimant l'angle solide dont il s'«git, on supprimera en même temps m arêtes, et les m faces formant l'angle solide se réduiront à une seule ; donc , si on appelle S', A', H', ce que deviennent les nombres S, A, H, après la suppression d'un angle solide,'on aura S'=S — 1 , A'=A— m, H'=H— (m— 1). De là on tire S'-f H'— A'=S-f H- A;=2: donc 1& théorème d'Ëuler a encore lieii dans le nouveau solide.

Il est clair maintenant qu'on peut supprimer tant d'angles solide» qu'on voudra du polyèdre donné, et que le théorème d!£uler aura toujours lieu dans le polyèdre restant; car en supprimant les angles solides un à un, on a successivement différens polyèdres, dont deux cousécutifs rentrent dans le cas que nous venons d'examiner.

Donc en général, si du polyèdre proposé on supprime toutes les arêtes sur lesquelles l'inclinaison ne varie pas ; soit que par cette suppression

sas

HOTB XII.

le Bombre des «iifles'solidea reste le même, on qu'il detiene iM^ndie, le polyèdre restant satisfera tonjoun an théorème d'Enter, c'estanUre qu'en appelant », A, les quantités qui pour ce polyèdre correspondent aux quantités S, H, A, du polyèdre proposé, ou aura s [h a S | H—

lUis dans ce denier solide» les incliusisons sur les arêtes devront Tarier toutes à4a-fois, puisqu'on a si^rinsé toutes les arêtes sur lesquelles l'inclinaison ne Tarie pas; donc ce solide rentre dans le premier cas; donc la Taitation simultanée de tentes coa inrlMisons ne saurait avoir lieu sans dénaturer le aolîde.

Donc enfin un polyèdre coureie qndconquo ne peut être changé en un a«tre polyèdre convexe qui aemil coaipris anus les mênues plans poiyg— «, et disp nséi liai lu même ordre lus — à rcçmA d— antres.