TRIGONOMÉTRIE

La trigonométrie a pour objet de résoudre les triangles , c'est-à-dire, de déterminer lears angles et lears côtés par le moyen d'un nombre de données suffisant.

Dans les triangles rectilignes il suffit de connaître trois des six parties qui les composent, pourvu que parmi ces parties il y ait un côté. Car si on ne donnait que les trois angles, il est Tisible que tous les triangles semblables satisferaient à la question.

Dans les triangles sphériques trois données quelconques, angles ou côtés , suffisent toujours pour déterminer le triangle , parce que dans ces sortes de triangles on ne considère pas la grandeur absolue des côtés, .mais seulement lear rapport avec le quadrant ou le nombre de degrés qu'ils contiennent.

Dans les problèmes annexés au livre II, on a déjà vu comment les triangles rectilignes se construisent au moyen de trois parties données; les propositions XXIY et XXY du livre y donnent également une idée des constructions par lesquelles on pourrait résoudre les cas analogues des triangles sphériques. Mais cea constructions , qui sont exactes en théorie , ne donneraient qu'une médiocre approximation dans la pratique (l)» à cause de l'imperfection des

(1) Il faut distinguer en effet les figures qui ne serTent qu'à diriger le raisonnement pour la démonstration d'un théorème ou la solution d'un problème, des figures que l'on construit pour connaître quelquesunes de leurs dimensions. Les premières sont toujours supposées exactes ^ les secondes , si elles ne sont pas tracées exactement y donneront des résultats fautifs.

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instraments dont elles exigent Femploi : on les appelle des méthodes graphiques. Les méthodes trigonométriques , aa contraire , indépendantes dé toute opération mécanique , donnent les solutions avec tout le degré d'exactitude qu'où peut désirer : elles sont fondées sur les propriétés des lignes appelées sinus j cosinus, tangentes, etc«. au moyen desquelles on est parvenu à exprimer d*une manière trèssimple les relations qui existent entre les côtés et les angles des triangles.

Nous allons d'abord exf os^ les propriétés de ces lignes et les principales formules qui en résultent; formules qui sont d'un grand usage daos toutes les parties des mathématiques, et qui fournissent même à l'analyse algébrique des moyens de perfectionnement. Nous les appliquerons ensuite a la résolution des triangles rectilignes et à celle àt% triangles sphériques. ^

Division de la Circonférence.

I. Jusqu'à ces derniers temps les géomètres s'étaient accordés à diviser la circonférence en 860 parties égales appelées degrés y le degré en 60 minutes y la minute en 60 secondes y etc. Ce mode présentait quelques facilités dans la pratique , k cause du grand nombre de diviseurs de 60 et de 860 : mais il était réellement sujet à l'inconvénient des nombres complexes , et il nuisait souvent à la rapidité du oalcuL

Les savants, à qui on doit l'invention du nouveau système des poids et mesures , ont pensé qu'il y aurait un grand avantage à introduire la division décimale, dans la mesure des angles. En conséquence ils ont regardé comme unité principale le quart de circonférence ou te quadrant, mesure de l'angle droit , et ils ont divisé cette unité en 100 parties égales appelées degrés y le degré en 100 minutes , et la minute en 100 secondes.

Nous emploierons désormais la nouvelle division ou la division décimale de la circonférence ; cependant comme les tables trigonométriques , calculées suivant cette divi-

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sion , ne sont pas encore assez généralement répandaes , noQS aurons ^oin d'ajouter dans les exemples, les résultats que donnent les calculs faits suivant Tancienne division , ou la division sexagésimale de la circonférence. La différence ne tombe jamais sur la valeur des côtés, mais seule* ment sur la valeur ou plutôt sur l'expression en degrés des angles et des arcs.

II. Les degrés, minutes et secondes se désignent respectivement par les caractères " , ' , " ; ainsi l'expression IG"" 6' 75" représenjte un arc ou un angle de 16 degrés 6 minutes 75 secondes. Si on rapportait ce même arc au quadrant pris pour unité, il s'exprimerait par Û, 160675. On voit en même temps que l'angle me^suré par cet arc , est à l'angle droit:: 160675 : 1000000, rapport qu'on ne déduirait pas aussi facilement des expressions données par l'ancienne division de la circonférence.

Les arcs et les angles sont exprimés indistinctement dans le calcul par des nombres de degrés, minutes et secondes. Ainsi nous désignerons l'angle âxo'it ou le quadrant par 100®, deux angles droits ou la demi-circonférence par 300®, quatre angles droits ou la circonférence entière par 400° ; ainsi de suite.

in. Le complément d'un angle ou d'un arc est ce qui reste en retranchant cet angle ou cet arc de 100®. Ainsi un angle de 25» 40' a pour complément 74® 60'; un angle de 12® 4' 62" a pour complément , 87® 95' â8".

En général , A étant un angle ou un arc quelconque , 100® — A est le complément de cet angle on de cet arc* < D'où l'on voit que , si l'angle ou l'arc dont il s'agit est plus grand que 100®, son complément sera négatif. C'est ainsi que le complément de 160® 84' 10" est — 60® 84' 10". Dans ce cas , le complément, pris positivement, serait la quantité qu'il faudrait retrancher de l'angle ou de l'arc donné , pour que le reste fut égal à 100°.

Les deux angles aigus d'un triangle rectangle valent ensemble un angle droit : ils sont donc compléments l'un de l'autre.