IV. Le supplément d'un angle ou d'un arc est ce qui

TEIGOIfOKÉTRIB.

reste en ôtant cet angle ou eet arc de âOO® , yalear de deux angles droits on d*une demi-circonférence. Ainsi A étant un angle ou un arc quelconque, S00° — A est son supplément.

Dans tout triangle, un angle est le supplément de la somme des deux autres, puisque les trois ensemble font

Les angles des triangles, tant rectilignes que sphériques, et les côtés de ces derniers , ont toujours leurs suppléments positifs; car ils sont toujours moindres que 200°.

Notions générales sur les sinus ^ cosinus y tangentes, etc.

I- T. te sinuê de Tare AH , ou de l'angle ACM , est la perpendiculaire MP abaissée d^une extrémité de l'arc sur le diamètre qui passe par l'autre extrémité.

Si à l'extrémité du rayon GA on mène la perpendiculaire AT jusqu'à la rencontre du rayon CM prolongé, la ligne AT, ainsi terminée, s'appelle la tangente y et CT la sécante » de l'arc AM ou de l'angle ACM.

Ces trois lignes MP, AT, CT, dépendantes de l'arc i3f , et toujours déterminées par l'arc AM et le rayon , se désignent ainsi : MP ==:#»« AM , ou ein ACM , kH^tang AM, ou iang ACM , CT AM , ou eée ACM.

Yi. Ayant pris l'arc AD égal à un quadrant , si des points M et D on mène les lignes MQ , DS perpendiculaires au rayon CD , l'une terminée à ce rayon , l'autre terminée au rayon CM prolongé; les lignes MQ, DS et CS seront pareillement les sinus , tangente et sécante de l'arc MD, complément de AM. On les appelle , pour abréger, les connue, cofangenie et cosécante de l'arc AM, et on les désigne ainsi : MQ=<?o* AM , ou vos ACM , DS=w/ AM , ou eot ACM , es =ac cosée AM , ou coséc ACM. En général , A étant un arc ou un angle quelconque, on a eos k=stn (100** — A), col A=iang {100''— A), coséc A=*^£? (lOO*-:- A), fig. I . Le triangle MQC est , par construction , égal au triangle CPM , ainsi on a CP = MQ ; donc dans le triangle reclan- * gle CMP , dont l'biypoténuse est égale au rayon , les deax

TEIGOIIOHÊTEIE.

côtés MP , GP sont le sinus et le cosinus de l'arc AM. Quant aux triangles GAT , GDS , ils sont semblables aux triangles égaux CPM , CQM , et ainsi ils sont semblables entre eux. De là nous déduirons bientôt les différents rapports qui existent entre les lignes que nous venons de définir ; mais auparavant il faut voir quelle est la marche progressive de ces mêmes lignes , lorsque l'arc auquel elles se rapportent augmente depuis ^éro jusqu'à âOO''.

vu. Supposons qu'une extrémité de l'arc demeure fixe en A , et que l'autre extrémité , marquée M , parcoure successivement toute l'étendue de la demi-circonférence depuis A jusqu'en B dans le sens ADB.

Lorsque le point M est réuni en A ^ on lorsque l'arc AM est zéro, les trois points T, M, P, se confondent avec le point A ; d'où l'on voit que le smus et la tangente d'un arc zéro sont zéro , et que le cosinus de ce même arc est égal au rayon , ainsi que sa sécante. Donc en désignant par R le rayon du cercle , on aura

9in Oc=0, = 0, cos 0=R, séc 0=R.

vm. A mesure que le point M s'avance vers D , le sinus augmente, ainsi que la tangente et la sécante; mais le cosinus, la cotangente et la cosécante diminuent.

Lorsque le point M se trouve au milieu de AD , ou lorsque l'arc AM est de 50^ , ainsi que son complément MD , le sinus MP est égal au cosinus MQ ou GP , et le triangle CMP , devenu isoscèle , donne la proportion MP : CM :: 1 : ou sin 50« : R :: 1 : |/2. Donc «» 50»=tfM W R

s=— — =±^R^2. Dans ce même cas le triangle GAT de-

vient isocèle et égal au triangle GDS; d'où l'on voit que la tangente de 50<^ et sa cotangente sont toutes deux égales au rayon , et qu'ainsi on a tang ^O^=eot 50** = R.

IX. L'arc AM continuant d'augmenter, le sinus augmente jusqu'à ce que le point M soit parvenu en D : alors le sinus est égal au rayon , et le cosinus est zéro. On a donc sin 100° s=s R et eo9 100** = j et l'on peut remarquer que ces valeurs sont une suite de celles que nous avons trouvées pour les siiin» et cosinus de Tare zéro; car le complément

288 TftIGOROHÉTEIK.

de 100» étant zéro , on a nn 100» =eo# 0« =R et coe 100°=» #tnO<>sO.

Quant à la tangente , elle augmente d*ane manière trèsrapide à mesure que le point M s'approche do D ^et enfin l<Mrsqu*il est parvenu en D , il n'existei plus proprement de tangente , parce que les lignes AT , CD , étant parallèles , ne peuvent se rencontrer. C*est ce qu'on exprime en disant que la tangente de lOO"" est infinie, et oq écrit iang 100» = oo .

Le complément de 100» étaht zéro, oh aVan^ = cot 100» et eot 0=±s/«ny 100». Donc eot O^-to et cet 100»= 0«

X. Le point M continuant a avancer de D vers B, les sinus diminuent et les cosinus augmentent. Ainsi on voit

^ que Tare A M' a poui^ sinus M' P', et pour cosinus M'Q ou CP^ Mais l'arc M'B est supplément dé AM', puisque AM' 4- M'B est égal a une demi'Circonference; d'ailleurs si l'on mène M'M parallèle à AB, il est clair que les arcs AM« BM'9 compris ^n\re parallèles , seront égaux , ainsi que les perpendiculaires ou sinus MF , M'P'. Donc le sinus d'un arc ^ou d'un angle est -égqJ, au sinus du supfflément ^ds cet arc ou de cet angle.

L'arc ou l'angle A a pour supplément 200» ^ A : ainsi on a en général

stn A = sin (200» — A).

La même propriété s'exprimerait aussi par l'équation stn (100» + B)==*m (100» — B),^ étant Varc DM ou son égal DM'.

XI. Les mêmes arcs AM', AM , qui sont suppléments l'un de l'autre , et qui ont des sinus égaux , ont aussi les cosinus égaux GP', CP ; mais il faut observer que ces cosinus sont dirigés dans des sens difierens. Cette différence de situation s'exprime dans le calcul par l'opposition des signes : .de sorte que si on regarde comme positifs, ou afifectés du

signe + , les cosinus des arcs moindres que 100», il faudra regarder «orame négatifs ou affectés du signe^, les cosinus des arcs plus grands que 100». On aura donc en général

CM A = — cas (200* — A) , ou ces (100» + B)=:— CM(100»— B)j c'est-à-dire, que/»

TRfGOIfOïÊTittK» 289

coêinttê d'un arc ou d'un angle plus grand que 100® eei égal au eoeinu» de son supplément y pris négativementm

Le complément d'an arc plus grand qne 100"* étant négatif*", il n'est pas étonnant qne le sinus de ce complément * m. soit négatif ; mais pour rendre cette vérité encore plus palpable , cherchons l'expression de la distance du point A à la perpendiculaire MP. Si on fait l'arc AMsa?^ on aura CP=£?M JT^ et la distance cherchée AP = R — cos x. La même formule doit exprimer la distance du point A à la droite MP, quelle que soit la grandeur de l'arc AM, dont l'origine est au point A. Supposons donc que le point M vienne en M' , en sorte que x désigne l'arc AM' , on anra encore en ce point AP'^R — cos x; donc cos J7 = R — AP'±=AC — AP'=-^CP'; ce qui fait voir que cos x est alors négatif; et parce que CP'=CP===:co* (200° — j?), on a cos x = — cçs (200** — jr) , comme on l'a déjà trouvé.

On voit par-là qu'un angle obtus a le même âinus et le même cosinus que l'angle aigu qui lui sert de supplément , avec cette seule différence que le cosinus de l'angle obtus doit être affecté du signe — . Ainsi on a sin 130® = */» 50® = I R l/2 , et CM 1^0® =— S0° = — 4 R j/2.

Quant à l'arc ADB égal à la demi-circonférence, son sinus est zéro, et son cosinus est égal au rayon pris négativement; on a donc sin 200«=0, et cos 200*= — R. C'est aussi ce que donneraient les formules W» A=sin (200® — A) , et cos A=— (200®— A) , en y faisant A«=200®.

XII. Examinons maintenant ce que devient la tangente d*un arc AM' plus grand que 100®. Suivant la définition, elle doit être déterminée par le concoure des lignes AT , GM\ Ces lignes ne se rencontrent point dans le sens AT , mais elles se rencontrent dans le sens opposé AY ; d'où l'on voit que la tapgente d'un arc plus grand que 100® est négative. D'ailleurs , si on observe que AY est la tangente de l'arc AN supplément de AM' (puisque NAM'. est une demi- f*? circonférence) , on en conclura que la tangente d'un are ou d'un angle plus grand que 100® est égale à celle de eon supplémenty prise négativement , de sorte qu'on a iang k^^tang (200°— A)

TaiGOHOHfiTEIK.

11 en est de même de la cotangente représentée par DS% laquelle est égale , et en sens contraire à DS cotangente de AM. On a donc anssi

eotk^-'cot (âOO»— A).

Les tangentes et les cotangentes sont donc négatives , ainsi que les cosinus , depuis 100<* jusqu'à 900®. Et, dans celte dernière limite , on a iang 200*» =0 et ctf/200*» =5 — «0/0=1 — 00 .

xiii. Danf la (rigonométrie il n'y a pas lieu de considérer les sinus ' cosinus, «te, des arcs ou des angles plus grands que 200*; car c'est toujours entre et 200^* que sont compris les angles des triangles tant rectilignes que sphériques, et les côtés de ces derniers. Mais dans diverses applications de la géométrie, il n'est pas rare de considérer des arcs plus grands que la demi-circonférence, et même des arcs comprenant plusieurs circonférences. Il est donc nécessaire de trouver l'expression des sinus et cosinus de ces arcs, quelle que soit leur grandeur.

Observons d'abord que deux arcs égaux et de signes contraires AM , AN, ont des sinus égaux et des signes contraires MP, PN, tandis que le cosinus GP est le même pour l'un et pour l'autre. On a donc en général

SI» (— a?) = — ain x

formules qui serviront a exprimer les sinus et cosinus des arcs négatifs.

Depuis 0* jusqu'à 200^ les sinus sont toujours positifs, parce qu'ib sont situés d'un même côté du diamètre AB ; depuis 200^ jusqu'à 400® les sinus sont négatifs, parce qu'ils sont situés de l'autre côté de ce diamètre. Soit ABN'=: x un arc plus grand que 200*^ , son sinus VW est égal à PM sinus de l'arc AM dr — 200" ; donc on a en général

sin a? = — sin (x — 200').

Cette formule donneniit leti sinus entre 200^ et 400*^ an moyen des sinus entre Qf^ et^o ; elle donne en particulier ain 400<^ = — stn 200<^==0; il est évident en effet que si un arc est égal à la eirconférence entière , les deux extrémités se confondent en un même point, et le sinus se réduit à zéro.

Il n'est pas moins évident que , si à un arc quelconque AM on ajoute une ou plusieurs circonférences, on retombera exactement sur le point M, et l'arc ainsi augmenté aura le même sinus que l'arc AM ; donc si G désigne une circonférence ou 400* , on aura

stf» dr=s««i (G4-T)=;stf»(2G + #)=st«i (aG-f-s), etc. La même chose aurait lieu pour les cosinus, tangente, etc.

TElGONOHtTEIS»

Maintenant, qoel que soit l'arc proposé il est' facile do Toir que son sinus pourra toujours s'ttprimeri arec on signe convenable , par le sinus d'un arc moindre que 100^. Car d'abord on peut retrancher de Tare X autant de fois 400^ qu'ils peuvent y être contenus; soit le reste on aura xssitiny. Ensuite si y est plus grand que 200**, on fera y— 200°+ js , et on aura ain y = — sin z. Tous les cas sont donc réduits à celui où l'arc proposé est moindre que 200^ , et' conmie d'ailleurs on a êin (100*+*) =*t» (lOO*— «) , il est clair qu'ils se réduisent ultérieurement au cas où Tare proposé est entre zéro et lOO».

xiT. Les cosinus se réduisent toujours aux sinus en vertu de la fof^ mule C08 A=«tn (100° — A), ou, si l'on veut, de la formule oo«As «s» (100* t A) ; ainsi, sachant évaluer les sînus dan» tous les cas possibles, on saura de même évaluer les cosinus. Au reste, on voit directement par la figure que les cosinus négatifs sont séparés des cosinus positifs par le diamètre DE , en sorte que tous les arcs dont l'extrémité tombe à gauche de DE «at un cosinua positif, tandis que ceux dont l'extrémité tombe à droite ont un cosinus négatif.

Ainsi de 0° à 100° les cosinus sont positifs , de 100° à 300° ils sont négatifs , de 300° à 400° ils redeviennent positifs ; et après une révolution entière , ils prennent les mêmes valeurs que dans la révolution précédente, car on a aussi cos (400°4-^) = co« ^«

D'après ces explications , il est aisé de voir que les sinus et cosinus des arcs multiples du quadrant, ont les valeurs suivantes :

sin 0*=:0 sin 200'=0 «M» 400« = sin 600** =0 *t*^''=0 etc.

ain 100* =R sin 300' = — H sin 500* =R sin 700*:?=— R sin 900* =R etc.

cos 0* = R cof 200*=— R cos 400* =R cos 600* =—R cos 800* = R etc.

cos 100*::;=0 eosdfXr^O

cos soorz=zO

cas 700* =0 cos 900" =0 etc.

£n général k désignant un nombre entier quelconque, on aura :

sin 2k. 100* = 0, sin (4*+ 1). 100''=R sin (4A — 1). 100»=:-R

cos (2ik+ 1). 100* =0

cos Ak, 100*= R

oos (4* + 2). 100* = -R

€e que nous venons de dire des sinus et cosinus nous dispense d'entrer dans aucun détail particulier sur les tangentes, cotangentes, etc., des arcs plus grands que 200°; car les valeurs de ces quantités et leurs signes sont toujours faciles à déduire de celles des sinus et cosinus des mêmes arcs , ainsi qu'on le verra par les formules que nous allons exposer. >

TniGO!fOHÊTniS«

Théorèmes et fonnules concernant les sinus ^ cosinus^ tangentes j etc.

XT. Le sinus d'un arc est la moitié de la corde qui

sous'tend un arc double.

i- Gir le rayon CA , perpendicalaire à M N , divise en deux