partie» égales la cordé M N et l'arc sous-tendu M AN ; donc

MP , sinus de Tare MA , est la moitié de la corde MN qui

sous-tend Tare M AN , double de MA.

La corde qui sous-tend la sixième partie de la circonfé-

renée est égale au rayon ; donc nn -j^ou««3ô«j=jR,

c'est-à-dire que le sinus du tiers de l'angle droit est égal à la moitié du rayon.

XVI. Le carré du sinus d'un arc plus le carré de son cosinus est égal au cqrré du rayon y de sorte quon a en général sin 'A + cos »A= R* (1).

Cette propriété résulte immédiatement du triangle rec«

tangle CMP, où l'oh a MP + CP=Cm!

Il s'ensuit qu'étant donné le sinus d'un arc on trouvera son cosinus , et vice versd, au moyen des formules cos A = db|/(R»— «« 'A), sin A=db|/ {R^—eos =»A). Le double signe de ces formules yient de ce que le même sintis MP répond à deux arcs AM , AM' , dont les cosinus GP , GP' sont égaux et de signes contraires , comme le même cosinus GP répond a deux arcs AM, AN , dont les sinus MP, PN sont pareillement égaux et de signes contraires.

Ainsi, par exemple, ayant trouvé «in Sâ*" j = !(. , on en déduira cos SS» - ou sin 66« ^ = |/ (R» — ± R») — î/ 1 R»=iR|/3.

xYii. Étant donnés les sinus et cosinus de l'arc A , on peut trouver les tangente y sécante, cotangente et cosë-

(1) On désigne ici par êin 'A le carré de nin et scmblablemeni par €08 'A le carré de cos A.

TElGOnOltTRlK. 293

cante du même arc au moyen des formules suivantes : . ^sin k , . R« . s R CM A

w# A ' cos A êin A

En efiet les triangles semblables GPM, GAÏ, GDS, donsenties proportions :

CP : PM : : G A : AT oa CM A : « » A : : R : /««y A = ? " ^

CP : CM :: GA ; CT ou cm A : R :: R j *fc A : PM : CP :: CB : DS on tin A : eo9 A :: R zeQfA =

cos A

cos A R eos A

sinA

PM : CM :: CD : CS ou êin A : R :: R : eogéc A =

sin A

d'où l'on tire les quatre formules dont il s'agit. On peut observer au reste que les deux dernières formules se déduiraient des deux premières en mettant simplement 100* — A au lieu de A.

Ces formules donneront les valeurs et les signes propres des tangentes, sécantes, etc., pour tout arc dont on connaîtra le sinus 'et le cosinus; et comme la loi progressive des sinus et cosinus, selon les différens arcs auxquels ils §e rapportent , a été suffisamment développée dans le chapitre précédent, il ne reste rien à désirer sur la loi qu^ suivent sembls^lem^eQt les tangentes, sécantes, etc.

On peut confirmer aussi par leur moyen plusieurs résultats qui ont été déjà obtem» relatiTement aux tangentes , par exemple , si l'on fait

A =100*, on aura sin A=:R, et co* AasO, donc tang 100*^=-^,

expression qui désigne une quantité infinie; car divisé par une quantité très-petite, donnerait un quotient très-grand; donc divisé par zéro donne un quotient plus grand que toute quantité finie. Et parce, que ïéro peut être pris avec le signe ou avec le signe — , on aura la valeur ambiguë iàng 100**= -4- OP.

Soit encore A =200*— B , on aura sin A = ain B, etco« A=— co« B ;

donc iang (200*— B) = = as-^ — rr = — iang B , ce qui

' — coa B y cos B

s'açcoide avec Tart. M.

MA nicoHostrati.

XVIII. Les formales de l'article précédent, combinées entre elles et avec Téquation êin* k + coé^ A =; R', en fournissent quelques antres qui méritent attention.

On a d'abord R • + te»^ » A = +*?--fîî^ =

— \ ; I — . M donc R»+/«»a» k^êèé* A, CM» A ' A' , .

iormule qui se déduirait immédiatement du triangle rectangle GAT ; on aurait de même , par les formules ou par le triangle rectangle CDS, R'+cc^ A=:cc#A?» A.

Enfin , si on multiplie entre elles les formules iang A =

E n A ^ . • R ce* A ^ . - .

^ r— » A= — ; — r-, on aura tang Ax<w/ AkR^.

cas A êtn A ^ '

Ra R»

formule qui donne co/ A =s -r— r> et teiw A = -— r . On ^ iany A eot A

aurait de même eot B = Donc c^ A : ce/ B :: tang B :

iSany A ; c'est-à-dire , que les eotangentet de deus arcs tant en raison inverse de leurs tangentes.

Cette formule eot A x tang A =R» se déduirait immédiatement de la comparaison des triangles semblables CAT , CDS , lesquels donnent AT : CA :: CD : DS, ou tang A : R:;R:cc/A.

XIX. Étant donnés les sinus et cosinus de deuw arcs d eth^ on peut déterminer les sinus et cosinus de la somme- ou de la différence de ces arcs y au moyen des formules suivantes :

sin aces 1 + sin h cas a

sin (a + ^) = sin (a — « h) ces (a -f £ )

sin a eos b — sin b cas a

ses a eos b — sin m sin b R

eos a coè b -f *in a sin b

Soit le rayon ACs&R, Taro AB=a, l'arc BD=*, et par conséquent ABD=:a + b. Des points B et D abaissez

TEIGOnOHftTBIE.

BE , DF , perpendiculaires sur AC ; du point D menez DI perpendiculaire sur BC , enfin du point I menez IK perpendiculaire et IL parallèle à AC.

Les triangles semblables BCE , ICK donnent les proportions

^ ^„ sinaeosb CD : CI :: BE : IR ou R : eos h :: 9in a : IK=

cos a cos b

CE : CI : : CE : CK ou R : eos b : : cas a : CK = g

Les triangles DIL , CBE , qui ont les côtés perpendiculaires cbacun à chacun , sont semblables et donnent les proportions

cos a sin h

CB : DI :: CE : DL ou R : sin b :: cos a : DL = g

sin a sin h

CB : DI ::BE : IL ou R : sin b :: sin « : IL = ^

Mais on a

IK+DL=DF=#m et CK — IL=CF=<rw +

Donc

sin a cosb^ sin b cos a sin [a + 6) = —

cos a cos b — sin a sin b cos (tf + ^) «n g .

Il serait facile de déduire de ces deux formules les yaleurs de sin [a-^b) et de cos [a — 3) ; mais on peut les trouver directement par la même figure. E» eflfet , si on prolonge le sinus DI jusqu'à ce qu'il. rencontre la circonférence en M , on aura BM=BD=3, et MI=ID= sin b. Par le point M menez MP perpendiculaire et MN parallèle à AC ; puisque ]yiI DI^ on auraMN=lL, et IN=DL. Mais on a IK — lN = MP=*Mi (a— 3), et CK + MN==CP=cm (a — 5) ; donc

sinacosb — sinbeosa sin [a — 6) = — g

, eoê a cos b + sin a sin b

cos {a — b)=i ; g •

Ce sont les formules qu'il s'agissait de démontrer.

On pourrait craindre que la démonstration précédente ne fût pa»

TRIOONOXiTBtS*

asaex géodraloi parce que la figure qu'on a suivie suppose les arcs o et et même a-^b plus petits que 100®. Hlais d'abord la déiuonstratioo s'étend sans peine au cas où a et 6 étant plus petits que 100^ , leur somme a-f-6 est ^100®. Alors le point F tomberait sur le prolongement de AG , et le seul cbangementà faire dans la démonstration , serait de prendre cos (a-f-&) = — ; mais comme on aurait en même temps GFsIL — GK, il en résulte toujours ço« (a-f-() = GK^IL, ou K CM (o^ b) = coê a cos b — a4n a ein b.

Supposons maintenant que les formules

R ain (a-)>&) =s:«#n a coa b-^-ain b coa a R coa (a ^) = coa a coa b —-sin a ain b soient reooniiues exactes pour toutes les valeurs de a et de moindres que les limites A et B , ^e dis qu'elles auront encore lieu lorsque ces limites seront lOO^' -f. A et B.

£n effet, oq a çéqéra (entent , quel que soit l'arec,

coa (100* + = ain s.

Ces équations sont manifestes lorsque x est <^ 100®, et on s'assure aisément qu'elles ont lieu pour toutes les valeurs de â;, au moyen de la fig. 18, où MQf et M^JI''' sont deux diaqiètres perpendiculaires entre eux, èl où l'on peut prendre successivement pour x les valeurs AV, ABM', ADBM", ABBEM''', qu cçs valeurs augmentées de tant de circonférences qu'on voudra,

Gela posé , soit x=zm-^b , on aura

ain ( 100« -\^m-}-b)=zcoa (m^b) coa (100<>-|-*>^ + ^) ~ — (w+6)« Mais, suivant l'hypothèse , on connaît les valeurs des seconds membres^ tant que m et 6 n'excèdent pas les limites A et B j doiic dans cette même hypothèse on aura :

R ain (100°-f-w+6) = cùa m coa b — ain m ain b. R cos (100° + ^) = — ^ ^ — coa m ain b.

Soit 100<> m z=: a , puisqu'on a ain ( 100** -f- ^ ) == coa m et cos (lOO®-j-fit) = — t si"» m, il en résultera coa m=iain a et ain fit = — coa A; donc en faisant cette substitution dans les équations précédentes, on aura : v ' R ain {a-^b)r=ain a cos b '\'C08 a ain b R coa (a'^b)=z coa a coa b — ain a sin b.

B'où l'on voit que ces formules, qui n'étaient démontrées d'abord que dans les limites a<^A^ b<^B, le sont maintenant dans les limites plus étendues o^lOO®-f-A, 6, <^B. Mais, par la même raison, la limite de b pourra être reculée de 100**, ensuite celle de a, ce qui peut se continuer indéfiniment; donc les formules dont il s'agit ont lieu, quelle que soit la grai^déur des arcs a et b.

TEIfiOIfOVÉTRIE. 297

L'arc a étant composé de la somme des deux arcs a ^ i et b , on aura , d'après les formules prédédeotes ,

R sin a=8in {a — b) cos b + cos (a — b) tin b R cotf a = cos (a — b) cos b — sin {a — b) sin b. Et de celles-ci on tire :

R sin (o — 6) = sin a cos b — sin b cos a K cos {a — 6) = cos a cos b + sin a sin b , formules qui auront encore lieu pour toutes valeurs de a et de 6.

XX. Si dans les ^annules de l'article précédent on lait ^ =«> la première et la troisième donneront

. « 2 sin a cos H — — sm 2a= , cos 2a =

Celles-ci serviront à trouver le sinus et le cosinus d'un arc double , lorsqu'on connaît le sinus et le cosinus de Tare simple. C'est le problème de la duplication d'un arc.

Réciproquement pour diviser un arc donné a en deux parties égales, mettons dans les mêmes formules^ a à la place de a, nous aurons

sina = 1-, eoê a= '—^ ^.

Or, puisqu'on a tout à la fois eos^ i a + sin^^ a = R' et eos^^a — { 0:=^. cas a ^ i\ en résulte

ia=s=i R'^ + i R eos à et ^ a=^ R»— ^ R eos a, donc

«« ia=|/ (IR» — i R eoê a) £?M la = |/ R> + 4 R coê a).

Ainsi , en faisant a=lOO^, oueoê a=0 ^ on a sin }5Q^=sz cos 50®=|/i R»=R j/^ ; ensuite si Ton fait a = 60», ce qui donne cm a==R|/^, on aura sin 23*» = R|/ (7 — tJ/^) , etcM25«=Ri/(i+i|/f).

XXI. On peut aussi avoir les valeurs de sin ^ a et cos ^ a exprimées par le moyen de sin a, ce qui sera utile dans beaucoup d'occasions ; ces valeurs sont :

sini «= i 1/ (^^+ ^ o) — i |/ (R'— R a) CM J a= 1 1/ (R» + R sin a) +i J/ (R^ — R sin a).

En effet , si on élève la première au carré , on aura sin^ ^ a = l (Rî+R sin a)+l (R^— R*»» a) - i|/ (R* — R> sin^ a) = i R» — i

TItGOIlOHtTin.

KcQsai on aurait de même co^'J a = ^R'-{-i^ ^* qui «'accorde a'vec les Taleurs précédentes de êin ^ a et coa |^ a. H faut cependant observer que, si €0ê a était négatif, le radical |/ (R* — Rma) devrait être pris avec un signe contrairë dans les valeurs de êin ^ a et C08 ^ a, ce qtii changerait l'une dans l'autre.

XXII. Au moyen de ces formules , il est facile de déterminer les sinus et cosinus de tous les dixièmes du quadrant.

Et d'abord soit sin 2ff*=x, 2x sera la corde de 40^, ou le côté du décagone régulier inscrit ; or ce côté est égal au plus grand segment 4* du rayon divisé en moyenne et extrême raison * ; donc si on fait le rayon égals=l, on aura 1 : 2ar :: 2j? : 1— 2ar. De là on tire 4ar*=l — 2j:, ou*' + iar=i;donc = i + lî =7^» donc a;+i=il/5,

et enfin* ou Sfn20» = i(— l + |/5).

Cette valeur , élevée au carré , donne ain^ jtXfi = 5 — t^— î «^o^c

l — tftn» 200 ^ ou cos» 20« = Maig cos^ a^sin^ ix=cos 2 a ,

donc eoê 40" ou stn W= — L J1 — = ' ; .

Maiiftenant, si dans les formules du n^ xxi on fait R=l, o=2(P) et ain a~ J ( — 1+^/5), on en déduira

«« 1 0» = 11/ (3 + 1/ 5) — i 1/ (5 — |/ 5) coê 10» =i 1/(3 +1/5) +11/(5—1/5).

Si ensuite on fait dans les mêmes formules a =60», et 8ina={ (l + ^^5), on aura

«m30o = £|/(5 +|/5)— il/ (3—1/6) co*300 = JI/(5+|/5) + i|/ (3 — 1/5).

Avec ces valeurs et celles qu'on connaît déjà de sin 50, et de sin 100**, on peut former le tableau suivant :

sin 0»=rco»100»=0.

sin Wz=cos 900=Jl/(3+|/5) — i|/(5— 1/6)

êin 20»=co* 80« = i(— 1+1/5)

sin 30»=co* 70«=JI/(5+V5)— il/(3 — 1/5)

êin 40« = co« 60»=i|/(lO — 2|/6)

sin S(fi=zcos 500=il/2

sin e0^z=cos 400=i(l+l/5)

sin W=:cos 300 = J|/(5+|/6)+J|/(3 — 1/5)

sin 800=co« 20»= il/ (10 + 2 1/5)

sin 90»=cM I0»=il/(3+l/5)+i|/(5— 1/5)

«»«ilOO»==co« 0»=i.

Ces valeurs peuvent se simplifier encore, puisqu'on a 1/ (3+1/6) ==il/ lO+il/2 et 1/ (3-1/6) ^il/lO-ik-îi d'où l'on Toit qu'en regardant comme connties |/2, |/e et |/ 10, il

TBlOOROXtTBIE. 299

ne reste que quatre eitractioos de racines carrées à faire pour avoir les valeurs des sinus et cosinus de tous les arcs multiples de 10^.

xxui. Nous tirerons de ces formules deux conséquences remarquables, V Puisque 2 sin ASfi est la corde de 80^, ou le côté du pentagone régulier inscrit, ce côté=J^/ (10 — 2^/6), son carré =r- T"^ ^ ^ « Le

côté du décagone régulier =2 stn 20<^=s| (— 1 4- «on carré = J (6 — 2|/6); or i (10—24/5) =l-f i (6 — 2|/5). Donc la somme faite du carré du rayon et du carré du côté du décagone, est égale au carré du pentagone régulier inscrit.

2^ Entre les sinus des divisions décimales impaires du quadrant , on a cette relation

sin 90^+sin 20^+sin Wz=sin S(fi+sinlQ^,

les divisions paires donnent semblablement sin 60® =«tn 20^4'i* Mais ces formules ne sont que des cas particufiers , et on peut démontrer que X étant un arc d'un nombre quelconque de degrés , on a sin (lOO®— «)-!-«» (20»4-«)+«tf»(20<>--*)=*»»(600— :F)4-stn(60o+jr).

En effet, la formule sin (a^i^b) -{««tn (a — 6) =2 sin a ces b , donne

sin (20«+ jt) + sin (20»— *) =2 sin 20» cos x sin (W +x) + sin (60» — =2 sin 60» cos x.

Donc, puisqu'on a ein 60» — m»20»=|, et co« «ss«tn (¥00^— 1;), ces deux équations retranchées l'une de l'autre , donneront

sin (60»-}-ar)-f*»n (60»— «)— «»»(20»+«)~«m(20»— *)=*»»(100»— *).

Formule d'où l'on tire l'équation des divisions impaires en faisant 10», et qui en général peut servir à la vérification des tables de sinus.

xxiv. Si dans les formules première et troisième de l'article XIX, on fait &=2a, on aura

. ^ sin2acosa-^os2asina - eos'latosa—sinlasina nn &a= g ,cosôtK^ g

Substituant dans celles-ci, au lieu de stnl^a et eos^ay les valeurs trouvées dans l'article xx , et simplifiant les résultats au moyen de l'équation a-^r-eos'* asR^, on aura

^ A coê^ a , eoM »ass: — =- heota.

Ces formules qui lenrent à la trîplication des arcs, peu*

TEIGOIfOHtTEIl.

vent servir aussi à opérer leur trisection^ ou division en ti^ois parties égales. En efiet, si on fait êtn^a—eeiiin a=Xy on aura pour déterminer or l'équation eK'=SK* s — Ax^. D'où l'on voit que le problème de la trisection de l'angle , considéré analytiquement , est du troisième degré.

Si^lans les mêmes formules de Tarticle xix , on fait successivement bs=ia, 6= A a, etc., on aura les sinus et cosinus des arcs Aa^ia, etc.; c'est-à-dire, en général, les sinus et cosinus des multiples de a. Réciproquement les formules qui servent a la multiplication des arcs, donneront les équations à résoudre pour diviser un arc donné en parties égales, c'est-à-dire, pour déterminer sinaou CQS a , lorsqu'on connaît sin n a et cos n a.

xxT. Développons encore les valeurs de sin 5 a et coa 5 a, et pour

cela prenons les formules

. /» . A V 3a C08 2 a4-co« 3a sin 2a «m(3a + 2a)= ^

/« • A V 3 a cos 2 a — êin 3 a sin 2 a cos (3a4-2a)== .

Si on y substitue les valeurs déjà trouvées art. xz et xxiv, on aura, aprèi les réductions ,

20««n'(i , 16 «Va «tn 5 a=r5 atn a p— + HS^

- 20eo«^a , \^ cotfi a eoê6a=:&coa a ^ 1 ^ ,

D'où l'on voit que le problème de la quintisection de Tangle serait du cinquième degré , et ainsi des autres divisions par les nombres premiers 7, 11 , 13, etc.

> zzTi. Soit proposé peur exemple de trouver la valeur de sin V approchée jusqu^â quinze décimales, ce qui peut être utile pour la construction des tables de sinus. L'expression de sin 10^, trouvée n® XXII, étant réduite en décimales dans la supposition de K=l , donne sin l(fi=:0. 15643 44650 40231 ; de là on tire, par laformule du n'' xxi, sin 5»=0.07845 90957 27846.

Soit maintenant sin 1^=«, il faudra, pour avoir s, résoudre l'é- ' quation

Si, pour abréger, on fait le second membre =e, on aura à peu près 5*— 20 «'=c,et«=f c + 4 a c)'. Or f 0=0.01569 18191 et 4 (I c)' = 0.00001 5456; donc on a, pour première approximation, s; ;= 0.0 1570 7275, valeur qui n'est en erreur que dans la huitième