XXIX. Enfin , de ces dernières on tire encore par la divi

sin a fana a R „ sion, et ayant égard à ce que 'ÏT'^^'

qui saivcnt :

302 TRIGOIlOHtTBIl»

#/n p + êinq 9in t (j> + g) co* \{p — q) tang y (j? 4- y) ^inp -^€inq cos ^{p f q) Min {(p q) tang^^(p^^) 9in p + 9in g __ un 7 (j^ 4- g) iang^ {p -h gf) p + CM j' 7 + S') R

9inp sinq C09 ~ (/y — q) eot ^(p — q)

coê q — eo9 p sin{ {p — q) R

4in p — nn q 9in^{p — q) iang^{p — q)

cosp + cotq eoê ^{p — q) R

#m p — êin q cos 7 (jg + g) eot ^{p + q)

C09 q — eotp êin \ (j» + g) K

eo9 p coêq ^ 004 t (jP + g) coê ^(p — q) coi ^(p-^-g)

eoê q—eo9p 9in^(p + qY *in{{p-^q) tang ^^(p^q)

êin (p q) ^êin{{p-{'q) eos^[p'\-q) ^ cos

êinp + êinq ^êini{p + q) coê ^{p -^q) coê {(p — q)

êin (p q) ^êin^{p^q)coê^^{p ^q) gin {(p q)

êin p— êin q 2««i^(;?— y) ceê '-{p + q) sin {(p — q)

Formules qui sont l'expression d'autant de théorèmes. De la première il résulte que la êomme deê êinus de deux arc* €êt a la différence de cee mêmee êinuê, comme la tangente de la demi'êomfne deê arcê eet k la tangente de leur demi-Uffèrenée.

XXX. Si on fait èsszaon qs=:o dans les formulea des trois articles précédens, on aura les résultats qui suivent: ro*»a = iR» -f f RcMâa êin^a=^K^ — ^Hcoê^a

^coê^^p B. + coêp = g— ^

B>^coêp = *^

T&IGOROailRII. , tOZ

XXXI. Pour développer aassi quelques formules relatives aux tangentes , considérons Fexpression

teiMT (a + 3)=5r=?i^^iî^i^, dans laquelle la substitution ^ ^ ' coê [a-^-ù) ^

des valeurs de «m (0+^) et co4 9 donnera

/ . R (*^" acosè sin h eos a)

iang{a+h)= — ^ . - . — —,

cosacoêù — êtnoêtna

^ cojt a tanq a ^ . , cot h tang h .

Or on a ëtn a = ^— — et êin à = ■ ; substi-

xv JX

tuant ces valeurs et divisant ensuite tous les termes par cog a coê hj on aura

' K"" — tang a tang b C'est la valeur de la tangente de la somme de deux arcs , exprimée par les tangentes de chacun de ces arcs; on trouverait de même pour la tangente de leur différence

. R' [tanq a — tanq h)

tang (a — ^) = — — ^

' -k- tang a tang b

Soit 5 = a, on aura pour la duplication des arcs la formule

-, â tang a

tang 2 a = ^r- ; — ^~--y

^ R^ — tang"" a

d'où résulterait

cot^a = — : — ^==s ^tanqa^^cota — ^tanqa.

tang 2 a 2 tang a ^

Soit 3=^09 on aurait pour leur triplicatiou la formule :

. B.^ (tang a + tangua)

tang S a = f — ^ — ;

R* — tang a tang 2 a

dans laquelle si on substitue la valeur de tang 2 a, on aura

. â R' tanq a tencr^ a

^^e^" R»-ato«y'« •

xzxu. Le développement deg formules trigooométriqiies, considéré dans toute sa généralité , forme une branche importante de l'analyse , sur laquelle on peut consulter Texcellent ouvrage d'Eulçr, intitule : Introductio in anal. Inf., ou sa traduction par M. Labey. Nous croyons cependant devoir démontrer encore les formules qui servent à exprimer le sinus et le cosinus en fonctions de l'arc, formules dont la con-

TAICOROVftTlltB.

caiMBnee est luppotéa dans la note ▼ et qui d'ailleuri sont béeeualre* pour la construction des tables.

•* £t d'abord, supposant le rayon=l , ce qui n'altère pas la généralité des résultats, on a la formule co#« JL+êin^ A=l, dont le premier membre peut être regardé comme le produit des deux facteurs imaginaires eoê A+l/— 1 ainkétcoÉ A— |/— l ain A. Si on multiplie ensemble deux facteurs semblables co$ A+I/— 1 ain A, C0« B-f-)/^ —1 ain B, le produit sera coa A co« B — ain Lain B + {ain A coa B+ ainBcoa A)^ — 1, et il se réduit par conséquent à la forme coê (A-f B) +^—1 ain (A-f-B), laquelle est semblable à chacun des facteurs. On a donc en général

(cMA+|/--l«fiiA)(co«B+V/— l«»B)==co*(A+B)+J/-.Uf»(A+B) et il est remarquable que la multiplication de ces sortes de quantités s'exécute en ajoutant seulement les arcs , ce qui est une propriété analogtie à celle des logarithmes. On en conclura successivement

Le premier produit est égal à (coa A + |/— l si» A)», le second est égal à {coa + 1 ain A)'; et ainsi de suite. Donc en général, n étant un nombre entier quelconque, on aura

(co*A+|/— 1 •»» A)«=co* nA + |/— 1 «m » A.

De là résulte, en changeant le signe de |/— > 1 ,

{coê A — |/— 1 ain A)« = C0« » A |/— 1 ain n A,

et de ces deux équations qui sont une suite l'une de l'autre, on déduira les valeurs séparées de ain m A et coa n A , savoir :

co« n A = i {coa A^-^^— l ain A)« ^ {coa A — |/— 1 êin)n A ain n A=^pi-j.(co* A+|/— 1 ain A)« — ^p^(cMA-|/— l«iiA)»

XXXIII. Si on veut exprimer les mêmes quantités en séries , il faudra développer par la formule du binôme {coa A + — 1 ain A)" , ce qui donnera

cos» + f A. 5»» A|/— 1 — ^ A. ain^ A

— co*«-3 A sw^ Al/— 1-1 rm coan-^k stVA-J-otc.

£t cette quantité étant la valeur de eoa n A-f-^^-^l » A, on égalera séparémeni la partie réelle à co« » A , et la partie imagine ire à ^ — I ain n A. On aura donc

TRIfiOIVOHtTRIC.

co* » A=co«»A j-^ — co*"— 2 A «tn'' A+ \ 2 ^ ^ cosn—q A nn* A*— etc.

*in w Az=n coa^—i A *t» A — i *^ ^ co*»— ' A A + etc ,

séries dont la loi est facile à saisir, et au moyen desquelles on trouve le sinus et le cosinus d'un arc multiple de A y d'une manière beaucoup plus prompte que par les opérations indiquées art. xxiv. ^

xxxiT. Puisqu'on a ain A= eos A iang A , ces séries peuTent se mettre sous la forme

. /- n.n — 1 , n.n— l.n — 2.»— 3 . . ^ \ cos nA=zcos'*k t 1 Y'^iang^A.-f- 1 2 S A ^ ~~ etc. 1

stnn Asrco*» A f y tang A \ 2 3 *^**9 ^ + ®**^* J

Soit n=~, on aura, en substituant cette valeur et consenrant ce* pendant le facteur cos'* A ,

. /, x.x—Â. tang^ Il . x.x — A.j? — 2A.ir— 3A tang^k \

CO,X=C0.nA ^1 ^^^^ À»—"'"' ;

. /x tangk x.x^k.x — 2A iang^ A . ^ \

""'=''""^ Cî— T rïT- • —ar + "'V

Dans ces formules on peut prendre A à volonté; supposons A très petit, alors sera très peu différent de Tunité , parce que la tangente

d'un arc très petit est presqu'égale à l'arc. Cependant, tant que l'aro n'est pas nul , on a tang A> A (l) ou lî!î^-^> 1 ; on a en même temps

A>"-A(.Moaoï2^<^\,u'^<^.DeUo„ "

voit que le rapport ^ toujours compris entre les limites 1 et