t . iang A

. Soit A=0, on aura co« A = l ; donc puisque — r — est com> ,

pris entre l et ^ , , il faudra qu'on ait exactement — = 1 . ^ cos A A

(i) A.T est plus grand que AM, parce que le triangle ATC est au secteur fig. I. aCM :: ATXi AC : AMX| AC : : AT : AM.

(a) AM est plus grand que MP , parce que Tare MAN est plus grand que sa corde MN.

IU)6 TBIGOnOMtTRIK.

Donc en faisant A=0, on aura

CO.T=CO,nK (l-Ô+rOTi-,. 2/4.5.6

11 rente à voir ce que devient co*'* A, lorsque A diminue de plus en plus , et devient enfin zéro'. Or, ôn a — i-j = séc^ A = l + iang^ A ;

donc eo» A=:(l A)^ ^, donc

cM«A = (l+/a»i^» A) - T =1 - ^ tang^ H'Y^ tang'^k-ttc.

Substituant au lieu de » sa valeur ^ , on aura

c«»A=l -^A— gr-+ 2.4 A'.-^ etc.

Si l'on imagine maintenant que A diminue de plus en plus, x restant la même , la valeur de coê"^ A approchera de plus en plus de l'unité ;

enfin, si l'on fait A=0 et 1 , on aura exactement co*» A=l.

Donc on a les formules

■ etc.

1.2.3^1.2.3.4.6 par lesquelles on pourra colculer le sinus et le cosinus d'un arc dont la longueur est donnée en parties du rayon pris pour unité.

XXXV. Ces mêmes valeurs peuvent être exprimées d'une manière suocinte , par le moyen des exponentielles. Pour cela , il faut se rappeler que e étant le nombre dont le logarithme hyperbolique est l, ona

' + f + o+î3:3+rro+»*''-

Si , dans cette formule , on fait a = 1/ — 1 , il en résultera

eV -1+ j -0-1:2^+13X4+1.2.3.4.5 On aurait semblablement en changeant le signe de |/ — 1

De là on tire

— etc.

TRIG0N0HtT]|1K« 307

«érîes dont les seconds membres sont les -valeurs trouvées pour coê x et êin x. Donc on a

,0, X = , sinx^ ^PZI '

d'où I on tire — ^7 — «=K — 1.— =|/ — 1 #afw r,

e + * formule dont on a fait usage , note it.

Les ;

Les mêmes formules donnent ^^coa «-^|/ — 1 sin

= co8 x-^i/— 1 ain x ; donc , en divisant l'une par l'autre,

axl/ — I coaX'A^i/ — lainx 1+1/ — \ tanq x onaurae == — ^ — t-j-t — = — : — = -J — — ^^ouenpre-

nant les log. de chaque membre , 2*1/ — 1 = lo|ç. (}~^r7 — \ *^*^9 ^ \ ^

Mais on sait que log. A = * + 3 4-^«*+etc.j mettant donc

|/ — 1 tang x au lieu de a , et divisant de part et d'autre par 21/ — 1 , on aDra

X = tang * — ^ tanc^ * +i '««9^ ^ — 7 'ow^' * + etc. *

Formule très simple qui sert à calculer Tare par sa tangente , lorsque celle-ci est plus petite que l'unité.

XXXVI. Pour appliquer les formules précédentes à la détermination dti sinus et du cosinus d'un arc donné en degrés et parties de degré , il faut avoir la longueur de cet arc exprimée en parties du rayon, ou, ce qui revient au même, il faut avoir le rapport de cet arc au rayon. Or, le rayon étant 1, la demi-circonférence ou Tare de 200* = 3. 14159

^535 897932. Soit ce nombre =«, lu longueur de l'arc—. 100» sera

^; donc si on fait dans les formules précédentes ar= — qu'en-

«uite on remette la valeur de ir , et qu'on calcule les coefficients jusqu'à seize décimales , on aura les fomrales suivantes :

TRIOOROHiTBIB.

..•»(^.too.) =

+ . 07969 26262 461670 ^ . 00468 17541 353187 ^ + . 00016 04411 847874 - . OOOOO 35988 432352 + . OOOOO 00569 217292

;;:ïr