OOOOO
+ . OOOOO OOOOO 656596 ^ — . OOOOO OOOOO 005294 ~ + 0.00000 OOOOO 000034 ^
Les sinus et cosinus des arcs depuis xéro jusqu'à 50^, comprennent les sinus etcoi^nus des arcs depuis 50® jusqu'à 100® ; car on a sin (50® -J'^) = C0« (50® — z) et coa (50®-]-^) = «m (5(1® — s). Bonc, dans les formules
qui donnent les valeurs de ain — 100® et coa ~ 100®, on pourra toun w
jours supposer ^ <^ | ; de sorte que les séries seront tellement convergentes, qu'il n'en faudra jamais calculer qu'un petit nombre de termes» surtout si on n'a pas besoin de beaucoup de décimales.
, .«. 1 2 3 4 6 Si OD fait .uccem^ement -=^, ^, ontre
résultats suivans :
ain
coa
ain
coa
ain
coa
ain
coa
ain
coa
ain
coa
ain
coa
ain
coa
ain
coa
tin
coa
TBIGONOHftTHIB.
lesquels s'accordent avec les formules algébriques du 22. On troum 1
vera pareillement, en faisant — =jqq> la même valeur de sin V, qu'on»
a trouvée n*^ 26; et la grande facilité avec laquelle on parvient à ces résultats, est une preuve de l'excellence de la méthode.
De la construction des tables de sinus,
xxxTii. Les savans utiles à qui on doit la première construction des tables de sinus , ont fondé leurs calculs sur des méthodes ingénieuses , mais dont l'application était fort pénible. L'analyse a fourni depuis des méthodes beaucoup plus expéditives pour remplir cet objet ; mais les calculs étant déjà faits , ces méthodes seraient restées sans application,, fii l'établissement du système métrique n'eût fourni l'occasion de calculer de nouvelles tables conformes à la division décimale du cercle.
Pour donner une idée des méthodes qu^nn peut suivre dans la con-r struction des tables , supposons qu'il s'ieigisse de calculer les sinus de tous les arcs de minute en minute, depuis 1 minute jusqu'à 10000 minutes ou 100 degrés; nous ferons le rayon = 1 , l'arc d'une minute = a, et d'abord il faudra trouver le sinus et le cosinus de l'arc a avec un grand degré d'approximation.. ^
Le rayon étant 1 , on sait que la demi-circonférence ou l'arc de. 200" = 3.14159 26535 897932; divisant le nombre par 20000, on. a l'arc de 1' ou = 0.00015 70796 32679 48966, valeur exacte jusque dans la vingtième décimale. Quand un arc est très-petit, son sinus est sensiblement égal à l'arc, ainsi on a à très peu près «m 0=0.00015 70796 32679 48966. Mais cette valeur est déjà en erreur à la treizième décioi^ale , laquelle n'est que le dixième chiffre significatif. Pour en avoir une plus exacte , le moyen le plus simple est de recourir aux formules de l'art» 36 dans lesquelles , si on fait m 1
— = , ^^wN^ t on aura immédiatement, par les deux ou trois premiers^ n 10000 ^
termes de chaque série,
ain a^ 0.00015 70796 32033 525563 cosa = 0.99999 99876 62994 52400 5253.
valeurs exactes jusqu'à la vingtième décimale pour le .et- jusqu'à
la vingt-quatrième pour le cosinu».
xxxviu. Connaissant le sinus et le eosilius de l'arc d'une minute désigné par o, pour en déduire successivement les sinus de tous les arcs multiples de a, on, fera dans les formules de l'art. 22, |i = «-f-.o> ^ = j? o. La première et la troisième donneront par cette substir» tution , et en faisant toujours R = 1 ,
êin (a? + o) = 2 cos a sin x — ain (x — o) C08 {x-\- 0)^2 cos a cos x — • cos (x — o) Il résulte de ces formules que si on a une suite d'arcs en. progression
ZlO TBIGOICOKtTRlE.
arithmétique , dont la différence soit a, leurs sinus formeront une luite récurrente dont l'échelle de relation est 2co« a, — 1, c'est-à-dire, que deux sinus consécutifs A et B étant calculés , on trouTcra le suivant G, en multipliant B par 2 coa a , A par — 1 , et ajoutant les deux produits^ ee qui donnera G = 2 B coê a — A. Les eosinus des mêmes arcs formeront également une suite récurrente dont l'échelle de relation est 2 C08 a,~ l : on aura donc successivement.
tin =
coa
êin a = ain a
coa
a= coa a
sin 2a = 2 coê a ain a
coa
2a = 2 coa a coa a—
ain Za coa a sin la —
ain a
coa
3a = 2co« acaala —
ain 4a = 2 coa a ain 3a —
ain 2a
coa
4a = 2 coa a co» 3a —
ain Sa = 2 coa a ain 4a —
ain 3a
coa
5a = 2co« a coa 4a —
