COS
Za
etc.
xxxix. Il ne s'agit plus que d'exécuter les opérations indiquées, en substituant les valeurs de ain a et ooa a. Si on veut construire des tables de sinus avec 10 décimales , il suffira de prendre les valeurs de $in a et coa a approchées jusqu'à 16 décimales i savoir :
ain a = 0.00015 70796 320335 , a = 0.99999 99876 629945
mais comme coa a diffère très peu de l'unité, il y a un moyen d'abréviation dont il faut profiter. Soit k=x2{i-coa a) =0 . 00000 00246 740110, on aura 2 coa a = 2 — k, ce qui donnera,
*t» (x-i-a) — ain x = ain s — ain (dp a) — k ain * coa (x^a) — coê x = coa x — coa {x — a) — A coa x,
Pour avoir le terme ain suffit d'ajouter au terme précédent
ain X la différence ain {x'\'d) — ain x , laquelle sera toujours très petite : or cette différence est , suivant la formule , égale à une différence semblable déjà calculée ain x — > ain (x a) moins le produit de ain x par le nombre constant A. Cette multiplication est donc la seule opération un peu longue qu'on ait à faire pour déduire un sinus des deux précédents; mais il faut observer 1» que l'on n'a besoin de connaître le produit que jusqu'à la seizième décimale , ce qui donnera fort peu de chiffres à calculer ; 2*^ que ces multiplications peuvent être abrégées beaucoup en formant d'avance les produits du nombre constant 246740110 par 1, 2, 3 jusqu'à 9; car, par ce moyen, on aura immédiatement les produits partiels qui résultent des ditférens Chififres du jgitultiplicateur ain x, et il ne restera plus qu'ià faire Toddition de ces produits , en se bornant toujours à la seizième décimale.
Les mêmes procédés devront être suivis dans le calcul des cosinuts, et , lorsqu'on aura prolongé l'une et l'autre série jusqu'à 50", la table sera complète.
XL. Il est nécessaire , nous le répétons , de calculer les siiras avec
TBIGONOXfiTMB.
16 décimales, c'est-à-dire arec cinq ou six décimales de plus qu'oa n'en Teut avoir réellement, afin d'être assuré que les erreurs, qui peuvent se multiplier dans le cours de '5000 opérations, n'influeront cependant pas sur la dixième décimale des derniers résultats. Le calcul fait , on retranchera les décimales superflues et on ne conservera dons la table que dix décimales.
Au reste, quand il s'agit d'exécuter tant de calculs, on doit chercher à vérifier les résultats aussi souvent qu'il est possible. Dans l'exemple que nous avons apporté d*une table calculée de minute en minute , il serait nécessaire de calculer préalablement les sinus et cosinus de degré en degré , ce qui fera , de 100 termes en 100 termes ,^ une vérification très utile. Or, pour calculer les sinus de degré en degré, on a les formules et les valeurs qui suivent r
ain — ^ = ^ ~" — — ^ *
co8\a;-\-l^) — cos xz=ico8 x — coa {œ — \^ — h cea x ain 10=0.01570 73173 11820 67^ c«« P = . 99987 66324 8t660 599 À = 2 (l 10)=0.00024 67350 36678 802^
Les sinus calculés de degré en degré se vérifieront eux-mêmes de Aix en dix par les valeurs déjà connues de «inlO^, ««o20^, etc. Enfin lorsque la table entière est construite , oa peut encore la vérifier de tant demanières qu'on voudra par l'équation
«f«(1000-ar)-f (200— ar)+*tw(20<>+a?) «tn(600'— ar)-f*m(600+ar).
XLi. Les sinus, tels qu'ils résultent des calculs que nous venons d'indiquer y sont exprimés en parties du rayon, et on les appelle ainua naturela ; mais on a reconnu dans la pratique , qu'il y a beaucoup d'avantage à se servir des logarithmes des sinus , au lieu des sinus eux-mêmes ; en conséquence la plupart des tables ne contiennent point les sinus naturels, mais seulement leurs logarithmes. On conçoit que les sinus étant calculés, il a été facile d'en trouver les logarithmes; mais comme la supposition du rayon = 1 rendrait négatifs tous les logarithmes des sinus, on a préféré de prendre le rayon = 10000000000, c'est-à-dire qu'on a multiplié par 10000000000 tous les sinus trouvés dans la supposition du rayon = 1 . Par ce moyen le rayon ou sinus de 100^, qui se rencontre fréquemment dans les calculs , a pour logarithme 10 unités , et il faudrait que les angles fussent beaucoup plus petits qu'on ne les rencontre dans la pratique , pour que leurs sinus eussent des logarithmes négatifs.
Les logarithmes des sinus étant trouvés, on en déduit très aisément les logarithmes des tangentes par de simples soustractions ; car, puisqu'on a
/o«<7« =5-fiîî-^ , il s'ensuit log. tang x = lO-f-Zojr. ain x — log. coa x. coa X
Quant aux logarithmes des sécantes, ils se trouveraient d'une manière
ai2
TRlGOIfOHÉTnE
encore plus simple , « l'aide de l'équation sec x C'est parce
qu'on peut y «uppléer si facilement qu'oa n'insère dans les tables que les logarithmes des sinus et ceux des tangentes. '
Il resteraità expliquer l'espèce d'interpolation dont on se sert, soitpour trouver les logarithmes des sinus et tangentes des arcs qui contiennent des fractions de minute , soit pour trouver l'arc qui répond à un logarithme donné de sinus ou de tangente, lorsque ce logarithme tombe entre deux logarithmes des tables. Mais pour ces détails on ne peut mieux faire que de consulter l'explication dont les tables sont toujours accompagnées.
Principes pour la résolution des triangles rectilignes.
xLii. Dans tout triangle rectangle le rayon est au sinus d'un des angles aigus j comme F hypoténuse est au côté opposé à cet angle.
fig. 3. Soit ABC le triangle proposé rectangle en A ; du point C, comme centre, et du rayon CD, égal au rayon des tables, décrivez Tare DE qui sera la mesure de l'angle G ; abaissez sur CD la perpendiculaire £F qui sera le sinus de Tangle C. Les triangles GBA, GEF sont semblables et donnent la proportion GE : EF :: GB : BA ; donc
R : 9in G : : BG : BA.
XLiii. Dans tout triangle rectangle le rayon est à la tangente d'un des angles aigus y com me le côté adjacent à cet angle est au côté opposé.
Ayant décrit Tare DE, comme dans Farticle précédent, éleyez sur GD la perpendiculaire DG qui sera la tangente de l'angle G. Par les triangles semblables GDG , GA6 , on aura la proportion GD : DG : : GA : AB ; donc
R : tang G : : GA : AB.
XLIY . Dans un triangle rectiligne quelconque les sinus des angles sont comme les côtés opposés.
H' 4* Soit ABG le triangle proposé , AD la perpendiculaire
REGTILIGIIE.
abaissée da sommet A sur le côté opposé BG, il pourra arriver deux cas :
P Si la perpendiculaire tombe au-dedans du trian£;]e ABC , les triangles rectangles^ A6D , AGD donneront , suivant l'art, xui,
R lêinB :: AB : AD.
R : stn G : : AG : AD.
Dans ces deux proportions , les extrêmes étant égaux , on pourra, avec les moyens , faire la proportion
êinQzHn B : : AB : AC.
2^ Si la perpendiculaire tombe hors du triangle ABG , fig- 5* les triangles rectangles ABD , AGD donneront encore les proportions
R : nn ABD : : AB : AD.
R : êin G : : AC : AD : •
d*où Ton déduit sin G : êin ABD : : AB : AG. Mais Tangle ABD est supplément de ABG ou B ; donc êin ABD = êin B ; donc on a encore
êin G : *in B : : AB : AC,
XLV. Dans tout triangle rectiligne le cosinus d'un angle est au rayon , comme la somme des carrés des côtés qui comprennent cet angle moins le carré du troisième côté y est au double rectangle des deux premiers côtés; c'est-à-dire qu'on a :
coêB :R :: AB + BC"— AG*: S AB x BÇ, ou co* B = R
ÂB + BC'— ÂC' ^ 2ABxBG •
Soit encore abaissée du sommet A la perpendiculaire AD sur le côté BG :
1® Si cette perpendiculaire tombe -au-dedans du trian- fig. 4*
gle, on aura* ÂcV="ÂB + Bc'— 2BC x BD ; donc BD'ia,5. "^^BC — ~' ^^^^ ^^"^ triangle rectangle ABD, on
ZI A TftlGOnOMÊTBIE
a R : sin BAD : : AB : BD ; d'ailleurs Tangle BAD étant complément de B, on a êin BAD=icos B; donc cof B
~ ^ AB^ , ou en substituant la valeur de BD ,
^ ÂB + BC^—AC ^^'^==^^-2Âb7BC--
