AB + BC

XL\i. Soient A, G, ]es trois angles d'un triangle quelconque; a, bf c, les côtés qui leur sont respectivement opposés , on aura, suÎTant

cette dernière proposition coa B = R. — >. Le même principe

étant appliqué à chacun des deux autres angles, idonnera semblablement

Ces trois formules suffisent seules pour résoudre tous les problèmes de la trigonométrie rectiligne ; car étant données trois des six quantités A, B, G, Of b, c, on a par ces formules les équations nécessaires pour déterminer les trois autres. Il faut par conséquent que les principes déjà exposés, et ceux qu'on pourrait leur ajouter, ne soient qu'une conséquence de ces trois formules principales.

En effet., la valeur de coa B donne

( 2 a* ft2 + 2 «2 c2 + 2 b^^ — o* — . 6» — c* ) ; donc

îîl^=: |/ (2 oH» 4- 2 a» c> + 2 6» — o* 6* - c*) .

2à abc

Le second membre étant une fonction de a,&, c, dans laquelle ces trois lettres entrent toutes également, il est clair qu'on peut faire

RECTILIGIfl. 315

la permutation de deui de ces lettres à Tolonte y et qu'ainsi on aura

êin B «mA êinC . . , . . , . , ...

— g — = — ^= — —f ce qui est le principe du n* xut. Et de celui-ci

se déduiraient facilement les principes des n*" xui et xuu.

XLvii, Dans tout triangle rectiligne la somme de deux côtés est à leur différence, comme la tangente de la demisomme des angles opposés à ces côtés, est à la tangente de la demi-différence de ces mêmes angles.

Car de la proportion AB : AG :: sin G : êin 6 , on tire AC +AB; AC — AB :: *i»B + *i» G : *m B — *mC. Mais, fig. 4«t5. d'après les formules de l'art, xxix, on a

sin B + «/n G : êin B — sin G :: tang — 5 — : tang — 5~^; donc

AG + AB : AC — AB : : : tang 5:=^ ;

ce qui est le principe énoncé.

Avec ce petit nombre de principes, on est en état de résoudre tous les cas de la trigonométrie rectiligne.

Résolution des triangles rectangles,

xLYiiT. Soit A l'angle droit d'un triangle rectangle proposé, B et G les deux autres angles ; soit a l'hypothénuse , b le côté opposé à l'angle B , et cle côté opposé à l'angle G. Il faudra se rappeler que les deux angles B et G sont compléments l'un de l'autre , et qu'ainsi , suivant les différents cas , on peut prendre sin G = B , sin B = G , et pareillement tang'^=cot tang Çk = cot B. Cela posé, les différents problèmes qu'on peut avoir à résoudre sur les triangles rectangles se réduiront toujours aux quatre cas suivants. *