Trouver V angle de deux droites

Si les deux droites sont parallèles à l'un des plans de projection, les angles de ces deux droites se projettent en vraie grandeur sur ce plan.

Considérons deux droites quelconques (am, a'w'), (6m, 6'm'), qui se coupent au point (m, m') (fig. 54) ; ces droites ont pour traces horizontales les points a et b, et le plan de ces deux droites a pour trace horizontale ab. Rabattons ce plan sur le

plan horizontal en le faisant tourner autour de sa trace ab. Les traces horizontales des deux droites, étant situées sur l'axe, restent immobiles, de sorte que, pour avoir le rabattement de ces droites, il suffit de trouver le rabattement de leur point d'intersection M. La droite Mm étant perpendiculaire au plan horizontal, si du point m on mène une perpendiculaire mi à la droite ab, la droite qui, dans l'espace joint le point i au point M est elle-même perpendiculaire à la droite ab. Dans le mouvement de rotation, cette droite M reste perpendiculaire à la droite ab ; elle se rabat donc dans le plan horizontal suivant une perpendiculaire à la droite ab menée par le point i, c'est-àdire sur la droite im prolongée. Il s'agit de trouver la longueur de cette perpendiculaire iM. Cette longueur est l'hypoténuse d'un triangle rectangle imM, dont on connaît les deux côtés de l'angle droit, l'un im, l'autre mM égal à ^m'; pour construire ce triangle, nous prendrons sur la ligne de terre une longueur jxa égale à im; l'hypoténuse m'* est égale à la droite cherchée iM. Nous porterons ensuite celte longueur, à partir du point i , sur la droite im prolongée, ce qui nous donnera le point M S| où se rabat le point M. Les deux droites données se rabattent suivant aMi et 6M, f et les angles que forment ces droites dans l'espace se trouvent ainsi rabattus sur le plan horizontal; l'un de ces angles est aMifc, l'autre l'angle supplémentaire.

44. Proposons-nous de mener les bissectrices des angles des deux droites données. Après avoir rabattu le plan de ces droites comme nous l'avons expliqué, on mènera les bissectrices des angles rabattus, puis on ramènera le plan à sa première position. Menons, par exemple, la bissectrice MjC de l'angle aM^, elle rencontre la droite ab au point c. Quand on relève le plan, le point c, qui est sur l'axe, reste immobile, le point M x vient occuper la position M dans l'espace et se projette alors en (?»,?»';. La bissectrice Me, dont la trace horizontale est r, a pour projections me, m'c'.

Cas particulier.

45. Considérons le cas où Tune des droites (mb> m'V) est parallèle au plan horizontal (fig. 55). La trace horizontale aR du Fi 6- plan des deux droites est paral-

lèle à celte droite, et par conséquent parallèle à sa projection horizontale mb.

Si l'on rabat ce plan sur le

i a 11 T plan norizontal en ,e disant

j^ ^^ tourner autour de sa trace hori-

^.^^ ^ î> zontale oR, le point M vient en

M lf la droite aM en aM 4 . Quant ^K»'>\ a la seconde droite, comme elle

^ est parallèle à l'axe de rotation,

' \ elle reste parallèle à cet axe et se

rabat suivant une parallèle M 4 B, à la droite aR.

Si les deux droites données ne se rencontraient pas, par un point de l'une on mènerait une parallèle à l'autre ; c'est l'angle de ces deux droites qu'on est convenu d'appeler, dans ce cas, l'angle des droites données.

Problème XIII.